1月北京航空航天大学数学分析期末试题答案

1、北京航空航天大学2005-2006学年第一学期考试统一用答题册考试课程数学分析B班级成绩姓名 学号一二三四五六加选题总分20XX 年1月数学分析（上）期终考试试题班级 学号 姓名 日期：2006.1.20一二三四五六加选题总分sinx. tantdtlim -x0 tan x f0vsintdt、填空题(每小题 4分，共20分)2.不定积分 Jsecxdx= ln secx+tanx+C3.设f (x)有一阶连续导数，则j f (x) dx = f (x) +C ,(1 f(2x)dx = - If (2) - f(0)l - o2x24.设函数f (x)=xe ，则f (x)在x = 0处的

2、5阶甲Peano余项的泰勒公式为_3155f (x) = x -xx o xIn 21115. lim 一n- .、n 1 n 2二、单项选择(每小题 4分,共20分)1.设 f (x)连续,F(x)x20 f (t2)dt.则F (x)等于A. f(x4)B.24、x f(x )C. 2xf (x4)D.2xf (x2)2 .下列命题中正确的是A.若级数XunvnB.若级数Z Un2收敛，则oOzunZ vn2收敛，则C .若正项级数Z un发散，则必有QOZ vn2 一定都收敛。UnVn定收敛。1Un , n =1,2,3nD.若工/收敛，且Un Vn，n= 1,2,3,.,则工Vn也收敛

3、。3.设正项数列an单调递减qQ（-1）nan发散，则级数 n 1QOA.和等于1B.发散zn=1an +1 /C.收敛D.收敛性不能确定、一x 111rr4.设 F(x)=rdt + fx2 dt ，则0 1 t20 1 - t2A. F(x)三0B. F(x)三 7r2.1xsin-,5.设 f (x) =( x O,C. F(x) = arctanx D. F (x) = 2arctan xx - 0x,则 F(x)=(f(t)dt 在 x = 0 处x = 0A.不连续C .连续且可导B .连续但不可导D.导函数连续三、计算题（每小题 6分，共24分）1. arctan、. x dxx

4、 .x arctan dx = x1 x1 dxarctan Vx - xdx1 x=x arctan x -、，x arctan x C二(x 1)arctan x - x C2.x2 1.2(x 1) (x 2)dx，+3dxx +1)21 +x 1 +2 J2.i.-4ln x+1 +5ln x+2 +C1 - x3.二ln xdx二 In xdx-1 lnx d i1x4.V =：In x-be十二 11 x2dx设D是由曲线 y=sinx+1与三条直线 x = 0, x = n,y = 0形，求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。二 22.0 y (x) dx -二 sin x 1

5、 dx二.2 isin x 2sin x 1 dxJI所围成的曲边梯二二2 一 2 二 cosx3二22四、级数判敛(每小题8分，共16分)1.判断级数 、sin n 工的收敛性。n=2 ln n1设 an = sin n, bn = ln n.1 sin n sin2.1 sin2=cosf1 】一 cosI Nann =12sin21 cos I - cos I N22；cos n-1 .cos n21 2sin21 22sin 1 2bn单调减趋于零,由迪里克雷判别法，知该级数收敛。2.讨论级数、n =21.一 ，e,部分和有界, .1sin2-1 n _小一八小一1-的收敛性与绝对收敛

6、性。ln n!(1)此级数为交错级数,an1 工一单调减趋于零,ln n!由莱布尼茨判别法，知该级数收敛;qQ（2）考虑级数工n 2 ln n!11In n! n In n1,可知1 一1一发散;n ln n!bf (x) d x a由于 ln n! Wln nn = nIn n , 二1根据比较原理，由 1 发散（柯西积分判别法） nn ln n综上所述，原级数条件收敛。五、证明题（本题 10分）设f在la,b 上有连续的二阶导数，且 f （a） = f （b） = 0。b1b(1)利用分部积分证明：a f x dx = a (x - a)(x - b) f x dxrr. b .13.(2)证明： f f ( x dx (b 一 a) max f (x)J a 厂12xQ a ,b证法1 :bb(x -a)(x -b) f (x) dx = (x - a)(x - b) d f (x) a- ab ,b=(x -a)(x -b) f (x) - ( f (x)(2x - a - b) d xa 飞b-(2x -a -b) d f (x) - -(2 x - a - b) f (x) a b=2 f (x) dx a证法2:六、证明题（本题 10分）、一 r 】ri U设un单调递增的正数列，证明若 Wn有界，则