第1章_信号描述_详细_2016-09-01

1、0123456-3-2-10123x(t)t1.1 信号分类与描述1.2 周期信号的频谱1.3 非周期信号的频谱1第1章 信号描述 本章学习要求l掌握信号的类型及其特点；l掌握确定性信号在频域的描述方法及频谱的概念； 本章难点l瞬变信号的频谱。本章所用到的基础知识l高等数学的付立叶级数，工程数学的傅里叶变换等。本章内容可以参考信号与系统、复变函数与积分变换等教材。本章的主要目的l为认识被测信号的性质提供理论支持；l为从所测得的信号中提取信息提供理论支持和手段。2课外作业及要求 各章（第1章第5章）课外作业已经发送到班长邮箱，请自己下载。本章作业第2周星期五交作业要求：l独立完成作业，严禁抄袭（

2、抄袭答案或别人）。抄袭作业记0分，2次及以上抄袭作业者将取消考核资格。部分抄袭，抄袭的题记0分。l作业要有详细解题过程。解题过程不详的将酌情扣分；没有解题过程而直接写出结果的计0分。l作业应尽量全部完成，否则将影响平时成绩。作业完成量少于60%的按未交作业记0分。l按时完成和交作业，2次及以上无故不交作业者取消考核资格。无故延迟交作业将适当扣分，交得越晚，扣得越多，答案公布后交作业记0分。3信号的分类 信号的时域描述和频域描述 41.1 信号分类及描述信息、信号及噪声u信息被研究对象的状态和属性的反映，是要通过测量获取的。l如物体的冷热程度（以温度高低衡量），桥梁的振动特性（以固有频率、振型、

3、阻尼比等参数衡量），轮胎的动不平衡状态（不平衡重量和角度衡量）。这里的温度、固有频率和阻尼比、振型、不平衡重量和角度等都是我们要检测的信息。测试工作的任务就是要尽量准确地获取这些信息，以达到认识世界进而改造世界的目的。但信息往往是很难直接检测到，我们必须借助于某些能够直接检测到的物理量来获取信息，这些能够直接检测到物理量我们称之为信号。 51.1 信号分类及描述信息、信号及噪声u信号信号就是随时间或空间变化的某种物理量，是信息的载体，是可直接检测到的。l如水银温度计中水银的膨胀或收缩量，热电偶传感器中的热电势即包含了被测对象冷热程度的信息；机械振动系统中的位移（速度或加速度）-时间历程即包含了

4、该振动系统的固有频率及阻尼比等信息。l又如 烽火台狼烟报警(光信号)，击鼓鸣金报时或传达命令(声信号)，旗语通信(光信号)，无线电通信(电磁波信号)等。l若信号表现为电压、电流、电荷、电动势、磁链等，则称为电信号，它是现代测试技术中应用最广泛的信号。本课程涉及的主要是随时间变化的电信号。 6第一节 信号的分类与描述信息、信号及噪声u噪声除了所需信号之外的其它所有信号都是噪声。u干扰是由噪声引发的不期望得到的结果。如果一个噪声电压引起电路工作不正常，则它就是一个干扰。所以，可以说干扰是信号中无用的且具破坏性的成分。（不具破坏性的噪声不会产生干扰）。（不少资料将干扰和噪声等同）l干扰会影响电子设备

5、的正常工作，严重的干扰甚至使电子设备遭到破坏，所以必须想法设法减小或抑制干扰。l在测量装置中干扰使所测得的信号产生失真，带来测量误差，严重时会导致信号不可用或虚假的信息，可能造成严重后果，必须引起足够重视。在测试工作中要尽量消除或减小噪声干扰。在控制系统中干扰可能引起失控，造成严重的事故。l干扰可能由测试装置外部输入，如外部电磁干扰；也可能是测试装置内部引起，如电子元器件的热噪声干扰。 71.1 信号分类及描述测量工作的任务就是要尽量准确地通过信号的检测来获取所需的信息。而要采用合适的测量装置检测出信号，并从中提取所需的信息，必须对不同信号的特性有所了解。81.1 信号分类及描述1.1.1 信

6、号分类按信号与独立变量（如时间）的函数关系分 9信号确定性信号周期信号简单周期信号简谐周期信号正弦信号余弦信号复杂周期信号非周期信号非确定性信号又称随机信号平稳非平稳非各态历经各态历经一般非周期信号瞬变非周期信号准周期信号1.1 信号分类及描述1.1.1 信号分类按信号独立变量时间和幅值上取值的连续性分 10信号信号连续时间信号连续时间信号(时间上连续时间上连续)模拟信号模拟信号幅值离散信号幅值离散信号离散时间信号离散时间信号(时间上离散时间上离散)离散模拟信号离散模拟信号抽样信号抽样信号数字信号数字信号1.1 信号分类及描述1.1.1 信号分类按输入和输出的因果关系分类l因果信号l非因果信号

7、若信号x(t)在t0作为初始观察时刻，有x(t)0，在该输入信号作用下，因果系统的零状态响应只能出现在t0的时间区间上，故把从时刻t0开始的信号称为因果信号，否则为非因果信号。 1.1 信号分类及描述1.1.1 信号分类按信号的能量和功率是否有限来分类 12信号信号能量有限信号能量有限信号简称能量信号简称能量信号功率有限信号功率有限信号简称功率信号简称功率信号能量和功率都能量和功率都无限的信号无限的信号1.1 信号分类及描述1.1.1.1 确定性信号与随机信号 1确定性信号：可以由确定的时间函数来描述，对应某时刻有确定的函数值和其对应，可以准确预知未来。确定性信号分为周期信号和非周期信号。（1

8、）周期信号以一定时间间隔周而复始重复出现，且无始无终的信号。x(t)=x(t+nT0) (n=0，1，2，3，) 实际工程中的周期信号是有始有终的。1)简单周期信号简谐周期信号或谐波信号，包括正弦信号和余弦信号。例如：一个无阻尼单自由度自由振动系统的位移-时间信号。131.1 信号分类及描述1）简单周期信号14图1-2 无阻尼单自由度自由振动系统的位移信号t0 x(t)X0000( )sin()x tXt图1-1 无阻尼单自由度自由振动系统kOmx(t)O质点m的静态平衡位置式中：X0、0取决于初始条件的常数，X0振幅，0初相角；m质量；k弹簧刚度； t时间周期 固有角频率 000212Tfk

9、 m无阻尼单自由度自由振动演示002kTm-X01.1 信号分类及描述2）复杂周期信号除简谐周期信号以外的周期信号。n例如周期方波信号：150000(21)2( )(0, 1, 2,)(21)(1)2TAnTtnx tnTAntT n 0tx(t)A-A02T图1-3 周期方波信号（周期为T0）0T02T0T1.1 信号分类及描述（2）非周期信号（分为准周期信号、瞬态非周期信号和一般非周期信号）1）准周期信号l由一些频率不同的简谐信号迭加而成，但组成它的简谐分量中总会（至少）有一个谐波和另一个谐波的频率之比为无理数。例如 16图1-4的波形( )sin2sin 10sin4x tttt5101

10、520-202tx(t)1.1 信号分类及描述2）瞬变非周期信号（或称瞬态信号）l或者只在有限时间段内存在，或者随着时间的增加，函数值逐渐趋于零。l教学示例1：矩形脉冲信号，三角形脉冲信号。170( )00Atx ttt ， Atx(t)0图1-5 矩形脉冲信号Atx(t)0图1-6 三角形脉冲信号132112213233213()( )()0AttAx ttttt ， 1.1 信号分类及描述2）瞬变非周期信号（或称瞬态信号）l教学示例2：单自由度有阻尼自由振动系统的位移信号。18x(t)0t图1-7 单自由度有阻尼自由振动系统及振动位移信号mx(t)ck00d0( )sin()tx tX e

11、t 00tX e 02d0(2)()1k mckm无阻尼固有角频率阻尼比 阻尼度有阻尼固有角频率X0、0取决于初始条件的常数（01）1.1 信号分类及描述3）一般非周期信号l除准周期信号和瞬态非周期信号之外的非周期信号。l例如：斜坡信号，阶跃信号等。19图1-8 斜坡信号0tr(t)Atu(t)0图1-9 阶跃信号0( )00kt tr tt0( )00A tu tt1.1 信号分类及描述2随机信号（或称非确定信号）不能用确定的时间函数来描述，也不可能准确预知未来瞬时值的信号。每一次观测的结果都具有随机性，只能用概率统计方法描述其统计规律，由其过去来估计未来。例如 车间里的噪声，大街上的噪声，

12、汽车在路上行驶时的振动，电台信号，通讯信号等。随机信号更具有普遍性。20 x(t)0t图1-10 随机信号1.1 信号分类及描述1.1.1.2 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号：如果在所讨论的时间内，除若干不连续点之外，对于任意的时间值都可以给出确定的函数值，则此信号称为连续时间信号，简称连续信号。图1-2到图1-10所示的信号都是连续信号。（1）模拟信号l时间和幅值取值均连续的信号称为模拟信号。如图1-7到图1-10都是模拟信号。（2）幅值离散信号（或称量化信号）l时间取值连续，但幅值取离散值。如图1-3所示的周期方波信号即为幅值离散的连续信号。 211.1 信号分类及描述1.1.1.

13、2 连续时间信号与离散时间信号离散时间信号：时间取值离散的信号称为离散时间信号，简称离散信号。例如，每周道琼斯（Dow Jones）股票市场指数。但多数是由连续信号在数字化过程中产生的，如图1-11、1-12所示。220tx(t)图1-11 离散模拟信号t1t2t3tn（1）离散模拟信号l 独立变量取值离散，幅值取值连续（即幅值可以在某一实数范围内取任意值）的信号称为离散模拟信号。l 一般由模拟信号抽样得到，故又称为抽样信号。（2）数字信号l 独立变量和幅值上取值皆离散（即幅值在某一实数范围内取有限个值）的信号称为数字信号。l 一般由AD转换经量化得到。0tx(t)图1-12 数字信号t1t2

14、t3tn1.1 信号分类及描述1.1.1.4 能量有限信号和功率有限信号1能量有限信号：在无限区间(-，)内，能量有限的信号，即满足下式的信号称为能量有限信号，简称能量信号。 232( )dx tt xt2( )其中：称为信号的瞬时功率2( )dx tt称为信号的能量 对能量有限信号有：21lim( )d02TTTx ttT ，即平均功率等于0。 1.1 信号分类及描述1.1.1.4 能量有限信号和功率有限信号1能量信号：例如下列信号就是一个能量有限信号。241220( )d = 10 d =100 x ttt122011100lim( )dlim10 d =lim=0222TTTTTx tt

15、tTTT1001( )0tx tt 其它10tx(t)0图1-13 能量信号示例1能量：平均功率：图1-7中单自由度有阻尼自由振动位移信号也属于能量有限信号。2200201( )d =sin 2arctan41Xx tt1.1 信号分类及描述2功率有限信号在区间(-，)的能量是无限的，而在无限或任意有限区间内的平均功率是有限的，即满足下两式的信号称为功率有限信号，简称功率信号。 252122221( )d11lim( )d( )d2TtTtTx ttx ttx ttTtt 或例如信号x(t)=5以及前述的单自由度无阻尼自由振荡信号都是功率有限信号。 000( )sin()x txt平均功率x0

16、2/2。 5tx(t)0图1-14 功率信号示例1.1 信号分类及描述3能量和功率都无限的信号2622( )d1lim( )d2TTTx ttx ttT 例如单位斜坡信号x(t)=t（t0）就属于能量和功率都无限的信号。【注】上述的能量和功率未必具有真实的功率和能量的量纲。例如，如果x(t)是电压，则上式需要除以电阻R才具有正确的能量和功率的量纲。图1-15 单位斜坡信号0tr(t)1.1 信号分类及描述1.1.2 信号的时域描述和频域描述（一）信号的时域描述l以时间作为独立变量对信号进行描述称为信号的时域描述。例如：27图1-16 周期方波信号的时域波形图0tx(t)A-A0T02T02T0

17、T00002( )20()( )(0123)AtTx tATtx tnTx tn/ ， ， ， ，其时域描述表达式为 1.1 信号分类及描述1.1.2 信号的时域描述和频域描述（一）信号的时域描述l利用时域描述可以研究信号随时间变化的规律。l一般直接检测到的信号都是以时间作为独立自变量来记录的，所以要从所测信号中提取所需的信息，最简单直接的方法就是对信号作时域描述。l从时域描述可以得到很多重要的信息，例如信号的瞬时大小、变化的快慢（频率或周期）、中心趋势（平均值）、强度（均方值）、波动程度（方差或标准差）、波形、不同信号波形的相似程度和相位关系等等信息。 281.1 信号分类及描述（二）信号的

18、频域描述信号的时域描述虽然可以获得很多有用的信息，但还有很多信息不能清晰地表达出来。为了更深入地揭示信号的性质和信号中所包含的信息，往往要对信号作不同域的描述，包括l频域描述（即以频率作为独立变量，如傅里叶级数，频谱密度函数）l幅值域（即以信号的大小值作为独立变量，如概率密度函数等）l时差域描述（即以时间差作为独立变量，如相关函数）等。l本章重点介绍确定性信号在频域的描述方法。【注】对信号在不同域进行描述并不会增加信号中的信息量，只是为了更方便更清晰地提取需要的信息。291.1 信号分类及描述（二）信号的频域描述即以频率作为独立自变量来描述信号。目的 揭示信号的频率结构及各频率成分的幅值、相位

19、关系。如查找振源、故障分析、选取具有合适频响范围的测试仪器等。方法 采用一定的数学方法将信号的时域描述变换到频域描述。如周期信号采用傅里叶级数或傅里叶变换，非周期信号采用傅里叶变换（频谱密度函数），随机信号采用功率谱密度函数。 301.2 周期信号的频谱（二）信号的频域描述例如前述周期方波信号，傅里叶级数为 31000014444( )sinsin3sin5cos()352nAAAAx ttttntn+1,3,5,n , , 0002 /2 Tf式中若以=n0作为独立变量，以t作为参变量，则可得到该周期方波信号的频域描述(频谱)为：频谱描述了组成该复杂周期信号的谐波分量及各次谐波分量的幅值与初

20、相位。如下页图所示。 04( )(1,3,5,)( )/ 2nnAAnnn 各频率分量幅值，各频率分量初相位1.2 周期信号的频谱信号的时域描述到频域描述32周期方波信号的时域和频域描述4A043A3045A5047A7020频域-幅频图时域A-AT0/2-T0/2tx(t)0n0An0230250270频域-相频图时域描述频域描述幅频图频域描述相频图频域描述谐波分量傅里叶级数周期信号的频域描述傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式周期信号的强度表述331.2 周期信号的频谱周期信号的频域描述方法：傅里叶级数或傅里叶变换由高等数学知，凡是满足狄里赫利条件的周期函数（本课称之为信

21、号）x(t)都可以展开成傅里叶级数不同频率的正、余弦函数的叠加，这说明满足狄里赫利条件的周期信号都是由不同频率的谐波叠加而成，如下页图所示。傅里叶级数有两种形式：l三角函数形式l复指数函数形式（工程上常用的形式）这两者尽管表达形式不同，但反映的信息是一样的。341.2 周期信号的频谱正弦波叠加形成周期方波信号演示3501次谐波前2个谐波叠加前3个谐波叠加前5个谐波叠加前10个谐波叠加前100个谐波叠加前1000个谐波叠加x(t)t000014444( )sinsin3sin5sin()()35nAAAAx ttttntnn+取取奇奇数数图1-17 波形合成演示1.2 周期信号的频谱1.2.1

22、傅里叶级数的三角函数展开式 ln取1的整数 360001( )(cossin)2nnnax tan tbn t授课采用的方式以便与复指数函数形式的初相角一致教材采用的方式P10001001cos()2sin()2nnnnnnaAn taAn t或余弦分量正弦分量直流分量1.2 周期信号的频谱1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式37式中：000002( )dtTtax ttTa0/2直流分量（或叫常值分量），即平均值000002( )cosdtTntax tnt tT|an|余弦分量幅值 a0、an、bn合称傅里叶系数。000002( )sindtTntbx tnt tT|bn|正弦分量幅值【

23、注】积分区间可根据计算方便程度选取，只要是一个周期即可。1.2 周期信号的频谱1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式3822nnnAabn次谐波的幅值，是谐波频率的函数，所以有时表达成A()，其中=n0。arctan()nnnban次谐波的初相角，是谐波频率的函数，所以有时表达成()，其中=n0。T0周期信号的周期（也是基波周期（s） 00022fT周期信号的角频率，也是基波频率，也称圆频率（rads-1）【注意】此初相角表达式是将傅里叶级数同频正弦和余弦分量合并成余弦函数形式的初相角。如果合并成正弦函数形式，则初相角表达式为n=arctan(an/bn)。1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开

24、式n取1的整数。T0是复杂周期信号的周期，单位s。a0、an、bn皆为常数，合称傅里叶系数。 390001( )(cossin)2nnnax tan tbn t000002( )dtTtax ttT000002( )cosdtTntax tnt tT000002( )sindtTntbx tnt tTa0/2直流分量平均值|an|余弦分量幅值|bn|正弦分量幅值傅里叶级数余弦分量正弦分量周期信号00022fT0周期信号角频率，rad/s；f0周期信号频率，Hz。1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式同频正弦分量和余弦分量合并400001( )(cossin)2nnnax tan tbn t22

25、nnnAabarctan()nnnban次谐波幅值幅值谱函数A()=n0n次谐波初相角相位谱函数()=n0001cos()2nnnaAn t001sin()2nnnaAn tarctan()nnnab0：基波频率；n0：n次谐波频率。合并后，教材第10页采用的是正弦函数表达，授课采用余弦函数表达，以便使n与复指数函数形式的统一。1,2,3,n , ,形式1形式21.2 周期信号的频谱1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式由上述可知 凡满足狄里赫利条件的复杂周期信号，都是由直流分量和不同频率的简谐信号分量叠加而成，且各简谐分量的频率都是基频0的整数倍。（简谐信号亦称谐波）其中频率为0的简谐分量叫

26、一次谐波或基波，0叫基波频率；频率为k0的简谐分量叫k次谐波。411010101cossincos()atbtAt000cossincos()kkkkaktbktAkt1.2 周期信号的频谱频谱的概念 频谱用于描述信号中所包含的谐波分量（或称频率分量）以及各次谐波的幅值和初相位信息。以或f作为独立变量。正如光谱反映了某种复合光是由哪些波长或频率的单色光组成的一样。这里的某次简谐波即相当于一种单色光。因为对一个简谐信号，只要确定了其频率、幅值及初相位，则该简谐信号即可完全确定。所以，对周期信号，我们可以以或f作为自变量，分别用其各次谐波分量的幅值An和初相位n来描述其频谱。l谐波幅值An或A()

27、或A( f )称作幅值频谱函数，简称幅频函数。=n0，f=nf0，（n=1，2，3，）。l谐波初相角n或()或( f )称作相位频谱函数，简称相频函数。=n0，f=nf0，（n=1，2，3，）。421.2 周期信号的频谱频谱的概念 l以An或A()或A( f )（包括直流分量a0/2）为纵坐标，或f为横坐标作出的图称为幅值频谱图，简称幅频图。l以n或()或( f )为纵坐标，或f为横坐标作出的图称为相位频谱图，简称相频图。 l幅频图和相频图合称频谱图。l由于谐波频率=n0，且n取值为整数（n=1，2，），所以，频谱图谱线的最小间隔为=0=2/T0或f=f0=1/T0，即周期信号的频谱是离散的。

28、 43幅频幅频图图(含直流分量含直流分量)An002030402AA2A3A4A相频图相频图n002030402周期信号的频谱图周期信号的频谱图1.2 周期信号的频谱例如前述周期方波信号，其傅里叶级数为 44000014444( )sinsin3sin5cos()352nAAAAx ttttntn+1,3,5,n , , 0002 /2 Tf式中频谱描述了组成该复杂周期信号的谐波分量及各次谐波分量的幅值与初相位。如图1-18所示。 004( )(1,3,5,)( )/ 2(1,3,5,)nnAAAnnnnn 各谐波分量幅值，各谐波分量初相位，若以=n0作为独立变量，以t作为参变量，则可得到该周

29、期方波信号的频域描述（频谱）为： 1.2 周期信号的频谱信号的时域描述到频域描述45图1-18 周期方波信号的时域和频域描述4A043A3045A5047A7020频域-幅频图时域A-AT0/2-T0/2tx(t)0n0An0230250270频域-相频图时域描述频域描述幅频图频域描述相频图频域描述谐波分量傅里叶级数1.2 周期信号的频谱频谱举例：下图所示周期锯齿波信号的频谱460tx(t)A0T0T0001( )sinsin2cos2222(1,2,3,)nAAAAAx tttntnn2nnAAn 幅值频谱函数：相位频谱函数：幅频幅频图图(含直流分量含直流分量)An002030402AA2A

30、3A4A相频图相频图n0020304021.2 周期信号的频谱1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式根据欧拉公式得到47000000cossincossin(1)jntjntentjntentjntj000000001cos()211sin()()22jntjntjntjntjntjntnteenteejeej1.2 周期信号的频谱1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式代入三角函数形式的付立叶级数公式中得到：48000000010111( )()()22211()()222jntjntjntjntnnnjntjntnnnnnax taeeb jeeaajb eajb e令 1()2nnnc

31、ajb1()2nnncajb002ac nncc即c-n与cn共轭。1.2 周期信号的频谱1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式则4900000001101( )jntjntnnnjnjntntjntjntnnnnnnnx tcc ec ec ec ec ec e这就是复指数函数形式的傅里叶级数。 012n 其中， ， ， ，1.2 周期信号的频谱1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶系数计算式为500000001( )d2tTtacx ttT0000000000000000000001()2122( )cos()d( )sin()d21 ( ) cos()sin() d1 ( )d

32、 ( =1, 2, 3, )nnntTtTtttTttTjnttcajbx tnttjx tnttTTx tntjnttTx t etnT000001( )d (1, 2, 3, )tTjntnntccx t etnT1.2 周期信号的频谱1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式将c0、cn和c-n合写成51000001( )d ( =0, 1, 2, 3, )tTjntntcx t etnT这就是复数形式的付立叶系数，称作复数频谱复数频谱函数函数。因为cn为复变函数，可以写成：RInjnnnnccjcc e实部虚部模相角RI1=(0)2102nnnncancbn （）1.2 周期信号的频谱1

33、.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式其中52IRarctannnncc相位谱函数22RInnnccc幅值谱函数同样反映了组成周期信号各谐波分量的幅值及初相角信息。但幅值谱减半（直流分量谱线高度与三角函数形式的一样）。2222RI122nnnnnnAcccab当n为整数时IR2arctanarctanarctan2nnnnnnnbcbaca1.2 周期信号的频谱1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式因为 ，所以有53nn 即|cn|为偶函数即|n|为奇函数 nnccnncc|cn|-（或f）图为幅值频谱图（简称幅频图）n-（或f）图为相位频谱图（简称相频图）540000RI01( )dntT

34、jntjnnnntcx t etcjcc eT22RInnncccIRarctannnncc0( )jntnnx tc e0,1,2,n 复数频谱函数复数频谱函数复数形式傅里叶级数幅值谱幅值谱函数函数|c()|（偶函数）（偶函数）复数复数的的模，模，=n0相位谱相位谱函数函数()（奇函数）（奇函数）复数的复数的相角相角，=n01.2.2傅里叶级数的复指数函数展开式实部虚部模相角【注】|cn|为偶函数，n为奇函数，前提是x(t)为实函数或虚函数。1j 虚数单位1.2 周期信号的频谱复指数函数形式的频谱示例：46页周期锯齿波的复指数函数形式的频谱图（双边频谱）： 55周期锯齿波复指数函数形式频谱图

35、幅频图2A4A6Anc2A002030-0-20-306A4A2A相频图22n02030-0-20-302nAcjn / 21, 2, 3,/ 21, 2, 3,nnn 00( )22jntnnAAx tjen02Ac (1,2,)n 2nAcn(1,2,)n RI1=(0)2102nnnncancbn ()1()=2, 3,2nnncajbn(1,)1.2 周期信号的频谱两种形式傅里叶级数的傅里叶系数的关系56【注】an是n的偶函数，bn是n的奇函数。0000001( )d2tTtacx ttT1.2 周期信号的频谱两种形式频谱的关系57221122nnnncabAIRarctanarcta

36、nnnnnncbca复指数函数形式傅里叶级数的相频谱函数n表达式与三角函数形式傅里叶级数的相频谱函数n表达式相同，只是n的取值范围不同。当n取正整数时，两者完全相同。1.2 周期信号的频谱三角函数形式频谱与复指数函数形式频谱的区别：p三角函数形式的频谱为单边谱，因为n为正整数；p复指数函数形式的频谱为双边谱，因为n=0，1，2， 3， ，且其幅值谱为偶对称，但幅值减半（直流分量谱线高度与单边谱一样），相位谱为奇对称（纵轴右半部与单边谱相同）。【注】复指数函数频谱中出现负频率完全是数学变换的结果，并不代表信号中含有负频率谐波分量，只有正频率才有实际意义。绝对值相同的负频率和正频率代表一个谐波分量

37、。581.2 周期信号的频谱周期信号频谱的三个特点1.周期信号的频谱是离散的。2.每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，即各次谐波分量的频率都是基频的整数倍。基波频率是诸分量频率的最大公约数，基波周期是诸分量周期的最小公倍数。3.幅频图的谱线高度表示的是各次谐波分量的幅值；相频图的谱线高度表示的是各次谐波分量的初相位角。（注意三角函数形式频谱与复指数函数形式频谱 的区别）59幅频图An0相频图n0周期信号频谱（单边谱）的特点示意图周期信号频谱（单边谱）的特点示意图a0/2A1A2A3A41020304002030402341.2 周期信号的频谱关于周期信号的频率/周期与各次谐波频率/周期的关系说

38、明：l周期信号的频率（基波频率）是各次谐波频率的最大公约数。l周期信号的周期（基波周期）是各次谐波周期的最小公倍数。这里所谓的最大公约数和最小公倍数与大家在小学里所学的（参与运算的数、最大公约数和最小公倍数皆为自然数）不同。这里参与运算的数、最大公约数和最小公倍数都可以是实数。l最大公约数一直约到所有参与运算的实数的剩余因子全为不可公约的整数为止。l最小公倍数则是所有参与运算的实数的整数倍中的最小实数。601.2 周期信号的频谱例如：求周期信号x(t) = 10cos(0.24t) + 5sin(0.8t) + 2.5cos(1.2t)的频率0和周期T0。【解法1】先求0，后求T0。610.0

39、10.240.81.24 24801202 6203031015100.01 420.08 rad s 00222578.540s0.08T1.2 周期信号的频谱例如：求周期信号x(t) = 10cos(0.24t) + 5sin(0.8t) + 2.5cos(1.2t)的频率0和周期T0。【解法2】先求T0，后求0。62222224 8 120.240.81.29608 120024 12024 8021032531 100220.08 rad s25T029602 5 3 124 8 1225sT 1.2 周期信号的频谱周期信号x(t) = 10cos(0.24t) + 5sin(0.8t

40、) + 2.5cos(1.2t)的波形图。63020406080100120140160180200-20-15-10-505101520t/sx(t)251.2 周期信号的频谱【注】周期信号的频谱是离散的，但频谱离散的信号不一定是周期信号。例如：信号的频谱是离散的，但却不是周期信号，如图所示。64( )1.5sin2sin 100.5sin4x tttt幅频图An/rads-101.5421010.52468101214161820-3-2-10123t/sx(t)( )1.5sin2sin 100.5sin4x tttt的波形0123456-202x(t)t/s( )sin(4)sin(5

41、)sin(7)x tttt的波形1.2 周期信号的频谱【注】只有各次谐波频率之比为有理数且频谱离散的信号才是周期信号。 例如：信号x(t)=sin(4t)+sin(5t)+sin(7t)的各次谐波频率之比都为有理数，所以是周期函数，其角频率（即基波频率）0是各次谐波频率的最大公约数，即0= rad/s，对应的线频率为f0=0/2=0.5 Hz，所以该周期函数的周期为T0=1/f0=2 s。如下图所示。65 傅里叶系数与周期信号x(t)奇偶性的关系 1）若x(t)为偶函数，则66 0000001( )d02tTtacx ttT000002( )cosd0tTntax tnt tT000002(

42、)sind0tTntbx tnt tT12nncaI0ncR1=02nnca 为实偶函数2）若x(t)为奇函数，则12nncjb 为纯虚奇函数相位谱与周期信号x(t)奇偶性的关系 1）若x(t)为偶函数，则bn=0， cnI=0 (即cn为实函数)67 IIRI02arctan02nnnnncccc0 0arctan= 0nnnnnabaaRIRR0 0arctan 0nnnnncccc02arctan02nnnnnbbab三角函数三角函数形式形式复指数函复指数函数形式数形式三角函数三角函数形式形式复指数函复指数函数形式数形式nRncInc0ncImRe2）若x(t)为奇函数，则a0=c0=0

43、，an=0，cnR=0傅里叶级数收敛的充分条件 （1）满足狄里赫利（Dirichlet）条件：函数x(t)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点（在间断点上函数是有限值）；函数x(t)在一个周期内只有有限个极值点（包括极大值和极小值），即x(t) 在一个周期内只有有限个起伏变化；（2）函数x(t)在一个周期内必须绝对可积，即这一条件保证了傅里叶系数都是有限值。 68000( ) dtTtx tt 1.2 周期信号的频谱周期信号的频谱举例例1：求下图所示周期性锯齿波的频谱（傅里叶级数）。解：根据图中所标参数，可得到该周期性锯齿波的时域表达式如下6900002( )22()( )1, 2,TTA

44、x tttTx tnTx tn x(t)A-At0-T0T0锯齿波信号02T02T1.2 周期信号的频谱1、周期性锯齿波三角函数形式的频谱为了计算方便，积分区间取因为x(t)为奇函数，所以有a0=0，an=0 7000(,)22TT0000220000022222( )sindsind21,3,5,2cos22,4,6,TTTTnAbx tnt ttnt tTTTAnAnnAnnn 1.2 周期信号的频谱1、锯齿波三角函数形式的频谱71222(1,2,3,4,)nnnnAAabbnn1,3,5,2arctan()2,4,6,2nnnnban幅值谱函数幅值谱函数 相位谱函数相位谱函数 1.2 周

45、期信号的频谱1、周期性锯齿波三角函数形式的频谱该周期性锯齿波的三角函数形式的付立叶级数为720010000( )cos()222cos()cos(2)22222cos(3)cos(4)3242nnnax tAntAAttAAtt式中0=2/T0基波频率（即原周期信号的频率）。即该周期性锯齿波由无穷多个谐波分量组成，各谐波分量的频率都是基波频率的整数倍，频率分别为，各谐波分量幅值分别为，初相角分别为。1.2 周期信号的频谱73-2-1.5-1-0.500.511.52-101-2-1.5-1-0.500.511.52-202-2-1.5-1-0.500.511.52-202-2-1.5-1-0.

46、500.511.52-101t/sx1(t)x10(t)x100(t)x1000(t)A=1T0=1 s1次谐波前10次谐波叠加前100次谐波叠加前1000次谐波叠加1.2 周期信号的频谱该周期性锯齿波信号的三角函数形式的频谱图为 74幅频图相频图周期性锯齿波三角函数形式频谱图A2A23A2AAn0200304022n0200304002(1,2,3,4,)02nAAnna1,3,5,22,4,6,2nnn1.2 周期信号的频谱2、周期性锯齿波复指数函数形式的频谱因为x(t)为奇函数，所以c0=0，cnR=0。75 000000000000000000000002220000022/22/22

47、002200220021122( )ddd2d2222TTtTjntjntjntTTntTTjntjntTTTTTjntjnjnTAAtcx t etteteTTTTjnAteetjnTTTAeeejnTjnA00002200000022sin()cos()cos(1, 2, 3,)TTjnjnjnjneeeeTjn TjnAjnATnjnnjn Tjnn 1.2 周期信号的频谱2、周期性锯齿波复指数函数形式的频谱复数频谱函数cn的实部和虚部分别为76 R=0ncI1, 3, 5,cos2, 4, 6,nAnAncnAnnn 1.2 周期信号的频谱2、周期性锯齿波复指数函数形式的频谱也可以利用

48、两种形式傅里叶级数的傅里叶系数的关系由前述三角函数形式的傅里叶系数得到cn和c0。过程如下：因为x(t)为奇函数，所以cnR=0， c0=0。77I1, 3, 5,1cos22, 4, 6,nnAnAncbnAnnn 复数频谱复数频谱函数函数为cosnnIAcjcjnn 1.2 周期信号的频谱2、周期性锯齿波复指数函数形式的频谱复指数函数形式的付立叶级数为 7800( )cos()(0)jntjntnnnAx tc ejnenn22RI(0,)nnnAcccnnZnIR, 6, 4, 2, 1, 3, 5,2arctan, 5, 3, 1, 2, 4, 6,2nnnnccn 幅值谱函数幅值谱函

49、数：相位谱函数：相位谱函数：1.2 周期信号的频谱2、周期性锯齿波复指数函数形式的频谱锯齿波的复指数函数形式的频谱图(双边频谱)： 79幅频图相频图周期性锯齿波复指数函数形式频谱图22n002030400203040003042AA3A4A02ncA2A3A4A00203040(0,)nAcnnZn,2,2nnn负偶数 正奇数负奇数 正偶数1.2 周期信号的频谱复指数函数形式的频谱与三角函数形式频谱比较80复指数函数形式幅频图复指数函数形式幅频图-双边谱双边谱003042AA3A4A02ncA2A3A4A00203040An三角函数形式幅频图三角函数形式幅频图-单边谱单边谱A2A23A2A02

50、003040周期性锯齿波信号单边谱与双边谱的比较2A即单边谱线高度是谐波的幅值；双边谱线高度是谐波幅即单边谱线高度是谐波的幅值；双边谱线高度是谐波幅值的一半，将负值的一半，将负频率幅值考虑频率幅值考虑进来，两者高度相加才是进来，两者高度相加才是谐波的幅值。谐波的幅值。2nAAn12nnAcAn1.2 周期信号的频谱复指数函数形式的频谱与三角函数形式频谱比较8122n02003040三角函数三角函数形式形式相相频频图图-单边谱单边谱周期性锯齿波信号单边谱与双边谱的比较22n002030400203040复指数函数复指数函数形式相频形式相频图图-双边谱双边谱1,3,5,22,4,6,2nnn,2,

51、2nnn负偶数 正奇数负奇数 正偶数x(t)t01.2 周期信号的频谱1.2.3 周期信号强度的描述周期信号的强度描述是信号在时间域上的描述，用以揭示信号在量值上的大小或强弱，一般以峰值xp、均值x、绝对均值|x|、有效值xrms和平均功率Pav等来描述。 82峰值xp：信号的最大绝对瞬时值。 周期信号的强度表示T0 xp-pxppmax( )xx tp-pmax( ( )min( ( )xx tx t峰-峰值xp-p：信号的最大瞬时值与最小瞬时值之差。 x(t)t01.2.3 周期信号强度的描述平均值（简称均值）x：信号瞬时值对时间的算术平均值，表示信号的直流分量。对周期信号求一个周期平均值

52、即可。83周期信号的强度表示T0 xp-pxpxx00001( )dtTxtx ttT绝对均值|x|：信号绝对值对时间的算术平均值。对周期信号求一个周期的绝对均值即可。 00001( ) dtTxtx ttTx(t)t01.2.3 周期信号强度的描述均方值x2：信号平方对时间的平均值。反映了信号的平均功率大小（平均能量），故也叫平均功率Pav。84周期信号的强度表示T0 xp-pxrmsxpxx00022av01( )dtTxtPx ttT有效值xrms：信号均方值的正平方根，故又称均方根值，反映了信号的平均强度，是信号有效能量的度量(有效值是根据等效热效应计算的)。对周期信号求一个周期的有效

53、值即可。00022rms01( )dtTxtxx ttT1.2.3 周期信号强度的描述【说明1】均方值并不一定具有功率的量纲。例如，如果x(t)是电压，则上式需要除以电阻R才具有正确的功率的量纲。【说明2】上述参数及其定义对非周期信号同样适用，只是对非周期信号而言，上述公式中的T0不再是周期，而是测量时间T（理论上应该是无穷大）。851.2.3 周期信号强度的描述连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：00221( ) dtTntnx ttcT0021( ) dtTtx ttT即一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率（|cn|2）之和。根据帕斯瓦尔（Parseval）定理可得：2222

54、0114xnnnncaA2nc214nA或称作周期信号的功率频谱。所以，周期信号强度的描述举例-民用单相电我国民用电是采用三相四线制的供电网络，其相电压的有效值为Urms=220V，峰值Up=310V，峰-峰值Up-p=620V，均值U=0V，绝对均值|U|=198V。峰值、有效值、绝对均值的关系为：87prms2UUprms22 2UUU【注1】因为一般的电压表和电流表（包括模拟式和数子式）都是按照正弦波的有效值分度的，所以我们用一般的电压表测量单相电电压得到的是220V。要想测量峰值和绝对均值，可采用专用的电压表，如三值电压表，可测量峰值、有效值、绝对均值。峰值也可用示波器测量。周期信号强

55、度的描述举例【注2】因为普通的电压表和电流表是按照正弦波的有效值标度的，所以用它们测量非正弦波的有效值是不准确的。例如，整流式电压表直接检测的是正弦波电压的峰值或绝对均值，然后按正弦波的有效值与峰值或绝对均值的关系换算成有效值并刻在表盘上（模拟表）或以数字显示（数字式表）。显然，用它们测量非正弦波电压的有效值是不可能准确的。要准确地测量非正弦波信号的有效值，应该采用所谓的真有效值测量仪表。如热电式电压表。88周期信号强度的描述举例真有效值测量仪表89傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式xpx|x|xrmsA0A0AAA0AA0( )sinx tAt000411( )sinsin3sin5.35Ax

56、 tttt0002811( )sinsin3sin5.925Ax tttt00011( )sinsin2sin3.223AAx tttt00024111( )coscos2cos3.31535AAx tttt2A2A3A2A2A2A3A2A2A2A几种典型信号的强度90 x(t)t0AT02T03T0 x(t)t0AT0Ax(t)t0AT0T0AT0/2x(t)t0AT0T0AT0/2T0/4x(t)t0AT0T0请抄写以下内容并在签名处签名富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善。1 2 3 4 5 6 7 8 9 0a b c d e f g h i j k

57、l m n o p q r s t u v w x y zA B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 签名签名签名班级序号91非周期信号的频域描述傅里叶变换（频谱密度函数）傅里叶变换的基本性质几种典型信号的频谱921.3 非周期信号的频谱非周期信号包括准周期信号、瞬态非周期信号以及一般非周期信号。准周期信号也是由若干频率不连续的不同频率的简谐信号叠加而成，这与周期信号类似，因此准周期信号的频谱也是离散的。但由于构成准周期信号的各简谐分量的频率比并不都是有理数，所以准周期信号是非周期信号。除准周期信号之外的非周期信号也是由不同频率的谐波

58、叠加而成，这与周期信号一样；与周期信号不同的是，这些非周期信号包括从0到无穷大或某一频段内或某几个频段内的所有频率的谐波。所以，准周期信号除外的非周期信号的频谱是连续的。非周期信号的频域描述采用的数学工具是：傅里叶变换。931.3 非周期信号的频谱94指数衰减振荡信号x(t)t0指数衰减振荡信号的频谱图0|X()|幅值频谱图0-()相位频谱图1.3 非周期信号的频谱周期信号的频域描述采用傅里叶级数，非周期信号的频域描述采用什么手段呢？其频谱又如何表示呢？瞬态信号可以看作是周期为无穷大的周期信号，那么能否利用周期信号的频谱函数来表示瞬态信号的频谱呢？答案是否定的。因为瞬态信号的能量有限，如果仍用

59、周期信号的频谱函数 0001( )dtTj tntcx t etT来描述瞬态信号的频谱，将化为乌有（cn=0），失去意义。所以对瞬态信号的频域描述要用到一个新的函数频谱密度函数傅里叶变换。 1.3 非周期信号的频谱下面来推导频谱密度函数并说明其物理意义。已知周期信号的傅里叶级数为 000002021( )( )dTjntjntjntTnnnx tc ex t et eT其谱线的最小间隔为002T如果将瞬态非周期信号看作是周期T0为无穷大的周期信号，则谱线的间隔 0020T所以可以推断出瞬态信号的频谱是连续的。1.3.1 傅里叶变换与连续频谱前面傅里叶级数式中的各种量可以表示为d0(dnnn 连

60、续变量）n01d22T00()22TT，积分区间变为()，1.3.1 傅里叶变换与连续频谱这样，公式 000002021( )( )dTjntjntjntTnnnx tc ex t et eT便变成 d( )( )d21( )dd2jtjtjtjtx tx t et ex t et e这个式子就是傅里叶积分 1.3.1 傅里叶变换与连续频谱因为傅里叶积分式中括号里的部分是对t积分，积分后为的函数，所以可以将其记为( )( )djtXx t et，叫做傅里叶变换 。1( )( )d2j tx tXe，称作傅里叶逆变换。 记作1( )( )x tFX 记作( ) ( )X x tF 傅里叶变换是瞬