实变函数与泛函分析教学大纲

1、实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Ana lysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学 分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：实变函数论与泛函分析（上、下册）第2版曹广福,高等教育出版社参考书1夏道行实变函数论与泛函分析（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；2 W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd Edition ;3 W. Rudin , Functional Analysis, 3r

2、d Edition ;周民强实变函数论第2版.北京大学出版社.二、课程介绍实变函数与泛函分析以掌握Lebesgue测 度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach 空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认 识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解 决实际问题的能力。三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十， 期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集 要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原主要内容集合的势，可数集,欧氏空间上的拓

3、扑,Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集 2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章Lebesgue测度 要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性 质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函 数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性 主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测 函数及其性质，可测函数的收敛性 重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数 的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造 4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章 Lebesgue积分要求:

4、1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件、3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理 主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极 限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累 次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的 极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理,Fatou引理,Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理 4学时第四章Lp空间 要求：1、熟练掌

5、握空间的范数、完备性、收敛 性、可分性2、熟悉“空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换 主要内容：空间的范数、完备性、收敛性、可分性， 空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换 重点空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（io学时）1、”空间的范数、完备性、收敛性、可 分性 4学时2、空间的内积，标准正交基，正交化方法 4学时3、卷积与Fourier变换 2学时第五章Hilbert空间理论 要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义,Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共粗算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容:距离

6、空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线 性算子的有界性和连续性,共辗算子、投影算子, 紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理4学时2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性 6学时3、共辗算子、投影算子，紧算子性质及其谱6学时第六章Banach空间理论要求：1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界 线性算子2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理;、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach 定理4、弄清弱收敛、弱收敛，弱列紧、弱*列 紧性主要内容：范数、Banach空间的定义，模等价，有界 线性算子，开映象定

7、理，逆函数定理，闭图像定 理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱 *收敛，弱列紧、弱*列紧性重点Banach空间的定义、模等价、有界线性算 子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱*收敛课时安排（14学时）1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子4学时2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理 6学时3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach4学时实变函数与泛函分析考试大纲院 系：数学与计算机科学学院课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业学 时：72其中，理论学时：72 实践学时：0学 分：4一、设课目的：实变函数与

8、泛函分析以掌握Lebesgue测度空间,Lebesgue积分,Hilbert 空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间, 以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基 本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue 积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定 程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函 数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分 论

9、基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试（一）形成性考核形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况 （占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给 予说服教育，严重者应给予扣分处理。（二）课程期末考试期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参 与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用 教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点

10、内容为： 集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可 测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；”空间的范数、完备性、收 敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和 连续性，共枕算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等 价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期 末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学 习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%,期末考试成绩可占总成绩的70%。五、教材1夏道行实变函数论