平面向量的正交分解极坐标表示

1、12021/8/2丽水学院附中高一数学组丽水学院附中高一数学组2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示22021/8/2知识回顾知识回顾平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a= 1 e1+ 2 e2基底(1)基底不唯一，关键是不共线；基底不唯一，关键是不共线；(2) 基底给定时，分解形式唯一基底给定时，分解形式唯一. 32021/8/2 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为，下滑力为，木块对斜面的压力为，这，下滑力为，木块对斜面的压

2、力为，这三个力的方向分别如何？三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？G1F 2F 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量把向量正交分解正交分解.新课引入新课引入12.GFF =+42021/8/2ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j +aaijxyxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的坐标，

3、记作的坐标，记作a( , )ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aai i = =j j = =0 0 = =（1，0）（0，1）（0，0）52021/8/2OxyijaA(x, y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x ，y）一一 一一 对对 应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用

4、坐标如何表示？两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2121yyxxba 且且62021/8/2ABCDoxyij思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,OAi OBj （1）| |_,|_,|_;ijOC, i j 34ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话，如何表示？表示出来？可以的话，如何表示？CD , i j 23CDij EF_.OC （2）若用）若用 来表示来表示 则：则：OCMN)4 , 3( OC23CDij （2，3）72021/8/2例

5、例1.如图，分别用基底如图，分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 82021/8/2思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122( ,),(,)ax ybxy,ab aba 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）的和（差）12121212(,)

6、(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标92021/8/2例例2.如图，已知如图，已知 ，求，求 的坐标。的坐标。1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy小结：小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的的终点终点的坐标的坐标减减去去起点起点的坐标。的坐标。102021/8/2例例3.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。(2,1),( 3,4)ab ,3

7、4ab abab )19, 6()16,12()3 , 6()4 , 3( 4) 1 , 2( 343)3, 5()4 , 3() 1 , 2()5 , 1()4 , 3() 1 , 2( bababa解解：112021/8/2例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法：设点解法：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且 且(1,2)(3,4)xy

8、1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）122021/8/2例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）132021/8/23.若将向量若将向量 围绕原点按逆时针方围绕原点按逆时针方向旋转向旋转 得到向量得到向量 ，则，则 的坐标为的坐标为（ ）.1.若向量若向量 =（1，-2）的终点在原点，那么）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是这个向量的始点坐标是 a（-1，2）(21)a，4bb，2 3 222课堂练习2a= x-2,3b= 1,y+2 、若若向向量量与与向向量量相相等等，那那么么X= , y=31142021/8/25.已知已知A、B的坐标分别为的坐标分别为 ，与与 平行的向量的坐标可以是平行的向量的坐标可以是_.（填写正确的序号）（填写正确的序号）4.已知点已知点