人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》导学案设计优秀公开课

1、第十一章 三角形教学备注11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想学 生 在 课 前完 成 自 主 学习部分重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题自主学习一、知识链接1. 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？1. 问题引入（ 见 幻 灯 片3）2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？ 为什么？3. 在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？（1）三角形的三

2、边关系： ； (2)直角三角形中边的关系： .4. 如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？教学备注配套 PPT 讲授课堂探究2.探究点 1 新知讲授（ 见 幻 灯 片5-15）一、要点探究实际问题:如图，牧马人从点 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马， 可使所走的路径最短？探究点 1：牧人饮马问题数学问题:如图，点 A、B 在直线 l 的同一侧，在直线 l 上求作一点 C,使 AC+BC 最短.想一想：1. 现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A， 点 B 的距离的和最短？2. 如果点

3、 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等？教学备注3.探究点 2 新知讲授（ 见 幻 灯 片16-24）要点归纳：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B；（2）连接 AB，与直线 l 相交于点 C 则点 C 即为所求如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点 C 使 AC +BC 最短吗？ 证明：要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.典例精析例 1：如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，

4、AD=5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（）A7.5B5C4D不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.为（1，4）和三点不在同一例 2：如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C条直线上，当ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（）A（0，3）B（0，2）C（0，1）D（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交

5、点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点 2：造桥选址问题实际问题：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 画一画：（1）把 A 平移到岸边.（2）把 B 平移到岸边.（3） 把桥平移到和 A 相连.（4）把桥平移到和 B 相连.教学备注配套 P

6、PT 讲授比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得 AM+MN+BN 最短？想一想：如何说明此时AM+MN+BN最 短要点归纳：如图，平移 A 到 A1，使 AA1 等于河宽，连接 A1B 交河岸于 N 作桥 MN，此时路径 AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥 M1N1，连接 AM1，BN1，A1N1.针对训练1. 如图，直线 l 是一条河，P、Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2. 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC

7、上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径3. 如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A村与 B村供水教学备注配套 PPT 讲授4.课堂小结5.当堂检测（ 见 幻 灯 片25-32）(1) 若要使厂址到 A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2) 若要使厂址到 A，B两村的水管最短，应建在什么地方？最短路径问题造桥选址问题牧人饮马问题轴对称+线段公理平移二、课堂小结当堂检测1. 如图，直线 m 同侧有 A、B 两点，A、A关于直线 m 对称，A、B 关于直线 n 对称，直线 m 与 AB 和 n 分别交于 P、Q，下面的说法正确的

8、是（）AP 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A、B 距离相等的点BQ 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A、B 距离相等的点CP、Q 都是 m 上到 A、B 距离之和最短的点DP、Q 都是 m 上到 A、B 距离相等的点第 1 题图第 2 题图第 3 题图2. 如图，AOB=30°，AOB 内有一定点 P，且 OP=10若在 OA、OB 上分别有动点 Q R，则PQR 周长的最小值是（）A10B15C20D30教学备注配套 PPT 讲授5.课堂小结6.当堂检测（ 见 幻 灯 片24-28）3. 如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处

9、，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD, 若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.4. 如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2），B（1，3）点 P 在 x 轴上，当 PA+PB 的值最小时，在图中画出点 P5. 如图，荆州古城河在 CC处直角转弯，河宽相同，从 A 处到B 处，须经两座桥：DD ,EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD E EB 的路程最短？拓展提升6.（1）如图 1，在 AB 直线一侧 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点（2） 如图 2