湘教版八年级数学上册 第二章 三角形 2.5 全等三角形 ppt课件

1、湘教版八年级数学上册第二章湘教版八年级数学上册第二章 三角形三角形; 如图是两组外形、大小完全一样的图形如图是两组外形、大小完全一样的图形. . 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一同，它们完全重合吗？与另一个图形放在一同，它们完全重合吗？做一做做一做12;12我发现它们可以完全重合我发现它们可以完全重合;结论结论 我们把可以完全重合的两个图形叫我们把可以完全重合的两个图形叫作全等图形作全等图形. .;像上面可以完全重合的三角形叫像上面可以完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形 相互重合

2、的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.记做：记做：ABC ABC 读做：读做：ABC全等于全等于ABC;小提示 全等用符号全等用符号“表示，读作表示，读作“全全等于等于. . 在表示两个三角形全等时，通常把在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上表示对应顶点的字母写在对应位置上. .;结论结论 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等. . 我们知道，可以完全重合的两条线段是相等的，我们知道，可以完全重合的两条线段是相等的，可以完全重合的两个角是相等的，由此得到：可以完全重合的两个角是相等

3、的，由此得到： 例如，例如，A=A B=B C=C . , , , , AB=A B BC=B C CA=C A ., , ,;例例1 1 如图，知如图，知ABC ABC DCBDCB，AB=3AB=3， DB=4 DB=4，A=60A=60. .1 1写出写出ABCABC和和DCBDCB的对应边和对应角；的对应边和对应角；2 2求求ACAC，DCDC的长及的长及DD的度数的度数. .;解解1 1ABAB与与DCDC，ACAC与与DBDB，BC与与CB是对应边；是对应边；AA与与DD，ABCABC与与DCBDCB，ACBACB与与DBCDBC是对应角是对应角. .2 2 AC AC与与DBDB

4、， AB AB与与DCDC是全等三角形的对应边，是全等三角形的对应边， AC = DB = 4 AC = DB = 4， DC = AB =3. DC = AB =3.AA与与DD是全等三角形的对应角，是全等三角形的对应角，D =A = 60D =A = 60. .; 思索 假设知两个三角形有两边一角对假设知两个三角形有两边一角对应相等时，应分为几种情形讨论？应相等时，应分为几种情形讨论？边角边边角边边边角边边角角夹在两条边的中间，角夹在两条边的中间，构成两边夹一角构成两边夹一角 角不夹在两边的中间，角不夹在两边的中间，构成两边一对角构成两边一对角 ;边角边边角边角夹在两条边的中间，构成两边夹

5、一角角夹在两条边的中间，构成两边夹一角 做一做做一做知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形这个角为这两条边的夹角，画一个三角形 3cm4cm456cm3cm120步骤：步骤：1 1、画一线段、画一线段ABAB，使它等于，使它等于4cm4cm；2 2、画、画MABMAB4545；3 3、在射线、在射线AMAM上截取上截取ACAC3cm3cm；4 4、连结、连结BCBCABCABC即为所求即为所求ABMC4cm4cm45453cm3cm;、请同窗们把画好的三角形剪下来、请同窗们把画好的三角形剪下来, ,并和同桌进展比较并

6、和同桌进展比较, ,两人的三角形全等两人的三角形全等吗吗? ?、小组长把本组剪好的三角形收齐、小组长把本组剪好的三角形收齐并进展比较并进展比较, ,一切的三角形全等吗一切的三角形全等吗? ?;由此得到断定两个三角形全等的根身手实：结论 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. .通常可简写成“边角边或“SAS.留意：边角边定理中的角是指两边的夹角.;用几何言语表达为：在ABC与DEF中AB=DEB=EBC=EFABCDEFSASABCDEF|;例例2 知：如图，知：如图，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO， CO=DO. 求证：求证：ACO BDO.

7、证明：证明：在在ACO和和BDO中，中， ACOBDO.SASAO = BO，AOC =BODAOC =BOD，对顶角相等，对顶角相等CO = DO，;练习练习1. 如图，将两根钢条如图，将两根钢条AA和和BB的中点的中点O连在一同，连在一同，使钢条可以绕点使钢条可以绕点O自在转动，就可做成丈量工件内自在转动，就可做成丈量工件内槽宽度的工具卡钳槽宽度的工具卡钳.只需量出只需量出 AB的长，就得的长，就得出工件内槽的宽出工件内槽的宽AB. 这是根据什么道理呢？这是根据什么道理呢？解解 ABOABOABOABO，AB= AB.AB= AB.;2. 如图，如图，ADBC，AD=BC. 问：问：ADC

8、和和CBA 是全等三角形吗？为什么？是全等三角形吗？为什么？解解 ADBC ADBC ADCADCCBA.CBA.DAC=BCA，又 AD=BC，AC公共 ;3. 知：如图，知：如图，AB=AC，点，点E，F分别是分别是AC， AB的中点的中点. 求证：求证：BE=CF.解解 AB=AC, AB=AC, 且且 E E，F F分别是分别是 AC AC，ABAB中点，中点， ABEABEACFACF，AF=AE，又 A公共， BE=CF. BE=CF.; 如图，在如图，在ABC和和 中，假设中，假设BC = ，B=B，C=C，他能经过平移、旋转和轴反射，他能经过平移、旋转和轴反射等变换使等变换使A

9、BC的像与的像与 重合吗？那么重合吗？那么ABC与与 全等吗？全等吗？ A B C B C A B C A B C探探 究究; 类似于根身手实类似于根身手实“SAS“SAS的探求，同样地，我的探求，同样地，我们可以经过平移、旋转和轴反射等变换使们可以经过平移、旋转和轴反射等变换使ABCABC的的像与像与ABCABC重合，因此重合，因此ABC ABC ABCABC;结论结论由此得到断定两个三角形全等的根身手实：由此得到断定两个三角形全等的根身手实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. . 通常可简写成通常可简写成“角边角或角边角或“ASA“ASA. .;例例

10、3 知：如图，点知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，在同一条直线上， ABDC，AB=CD，B=D. 求证：求证：ABE CDF.证明证明 ABDC ABDC， A=C. A=C.在在ABEABE和和CDFCDF中，中， ABEABECDF CDF ASAASA. .A=CA=C，AB = CDAB = CD，B=DB=D，;例例4 如图，为丈量河宽如图，为丈量河宽AB，小军从河岸的，小军从河岸的A点沿着和点沿着和 AB垂直的方向走到垂直的方向走到C点，并在点，并在AC的中点的中点E处立一根标杆，然处立一根标杆，然后从后从C点沿着与点沿着与AC垂直的方向走到垂直的方向走到D 点，使点，使

11、D，E，B恰恰好在一条直线上好在一条直线上. 于是小军于是小军 说：说：“CD的长就是河的宽的长就是河的宽.他能说出这个道理吗？他能说出这个道理吗？图图3-353-35ABECD;解：解：在在AEB和和CED中，中，A =C = 90A =C = 90，AE = CE，AEB =CED (AEB =CED (对顶角相等对顶角相等) ) AEB AEB CED.CED.ASAASA AB=CD .( AB=CD .(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )因此，因此，CD的长就是河的宽度的长就是河的宽度.;练习练习1. 如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎如图，工人师傅不小心把一块

12、三角形玻璃打碎 成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样 的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片 去去. 请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？答：应带玻璃碎片去答：应带玻璃碎片去; ;只需这块玻璃具备决议全只需这块玻璃具备决议全等三角形的几个条件等三角形的几个条件: :在在直角三角形中知一个锐角直角三角形中知一个锐角和一条直角边，由和一条直角边，由AAS断定定理即可确定两个三角形全等，故应带断定定理即可确定两个三角形全等，故应带这块玻璃去这块玻璃去.;2. 知：如图，知：如图，ABC

13、，CF， 分别是分别是ACB和和 的平分线的平分线. 求证：求证： A B C C F A C B CF=C F .证明：证明： ABCABCABCABC， A =A , A =A , ACB =ACB. ACB =ACB. AC=AC证明：证明： CF=CF. CF=CF. 又又CF，CF分别是分别是ACB和和ACB的平分线，的平分线， ACF=ACF. ACF=ACF. ACFACFACFACF;在在ABC和和 中，中， A B C A = A A = A，B = BB = B， C =C. C =C.又又 ，B=B， BC=B C ABC =ABC. ABC =ABC. (ASA).(A

14、SA).;结论结论由此得到断定两个三角形全等的定理：由此得到断定两个三角形全等的定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等. .通常可简写成通常可简写成“角角边或角角边或“AAS“AAS. .;例例5 知：如图，知：如图，B=D，1=2， 求证：求证：ABC ADC.证明证明 1 =2 1 =2，ACB=ACDACB=ACD同角的补角相等同角的补角相等. .在在ABCABC和和ADCADC中，中， ABCABCADC ADC AASAAS. .B =DB =D，ACB =ACDACB =ACD，AC = ACAC = AC，

15、;例例6 知：如图，点知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，在同一条直线上， ACFD，A=D，BF=EC. 求证：求证：ABC DEF.;证明证明 ACFD ACFD，ACB =DFE.ACB =DFE. BF= EC BF= EC， BF+FC=EC+FC BF+FC=EC+FC，即即 BC=EF . BC=EF .在在ABC ABC 和和DEFDEF中，中， ABCABCDEFDEFAASAAS. .A =DA =D，ACB =DFEACB =DFE，BC = EF，;练习练习1. 知：如图，知：如图，1=2，AD=AE. 求证：求证：ADC AEB. ADCADCAEBAEBAAS

16、AAS. .1 =21 =2，A = AA = A，AD = AE，证明证明 在在ADC ADC 和和AEBAEB中，中，;2. 知：在知：在ABC中，中，ABC =ACB， BDAC于点于点D，CEAB于点于点E. 求证：求证：BD=CE.证明证明 由题意可知由题意可知BECBEC和和BDCBDC均为直角三角形，均为直角三角形， 在在RtRtBECBEC和和RtRtCDBCDB中，中，ABC =ACB ABC =ACB ，BC = BC ， Rt RtBEC RtBEC RtCDBCDBAASAAS. .BEC =CDB=90BEC =CDB=90 ，;探求探求 如图，在如图，在ABC和和

17、中，假设中，假设 ， ， ，那么，那么ABC与与 全等吗？全等吗？ A B C BC=BC AB=A B ABC 假设可以阐明假设可以阐明A=AA=A，那么就，那么就可以由可以由“边角边得边角边得出出ABCABCABC.ABC.CA=CA; 将将ABCABC作平移、旋转和轴反射等变换，使作平移、旋转和轴反射等变换，使BCBC的像的像 与与 重合，并使点重合，并使点A A的像的像 与点与点 在在 的两旁，的两旁，ABCABC在上述变换下的像为在上述变换下的像为 B C B CAA B C A B C .; 由上述变换性质可知由上述变换性质可知ABC ABC ， A B C那么那么 ， AB=A

18、B =A B AC=A C =A C .衔接衔接 A A .; 1=2 1=2，3=4.3=4.从而从而1+3=2+41+3=2+4， ， ， A B =A B A C =A C即即 B A C =B A C .在在 和和 中，中， A B C A B C SAS. A B C A B C ABC ABC . A B C ， A B =A B B A C =B A C， A C =A C，;结论结论由此可以得到断定两个三角形全等的根身手实：由此可以得到断定两个三角形全等的根身手实：三边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等. .通常可简写成通常可简写成“边边边或边边边或“SSS“

19、SSS. .;例例7 知：如图，知：如图，AB=CD ，BC=DA. 求证：求证： B=D.证明：证明：在在ABC和和CDA中，中， ABC CDA. (SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共边公共边) B =D.;例例8 知：如图，在知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E 在在BC上，且上，且AD=AE，BE=CD. 求证：求证：ABD ACE.证明证明 BE = CD BE = CD， BE-DE = CD-DE. BE-DE = CD-DE.即即 BD = CE. BD = CE.在在ABDABD和和ACEACE中，中， ABDABDACE ACE SSSSSS.

20、 .AB = AC，BD = CE，AD = AE，;结论结论 由由“边边边可知，只需三角形三边的长度边边边可知，只需三角形三边的长度确定，那么这个三角形的外形和大小也就固定确定，那么这个三角形的外形和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.; 三角形的稳定性在消费和生活中有广泛的运用三角形的稳定性在消费和生活中有广泛的运用. 如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形构造，其道理就是运用三角形的稳定性采用三角形构造，其道理就是运用三角形的稳定性. .;议一议议一议根据以下条件，分别画根据以下

21、条件，分别画ABCABC和和ABCABC1 ， ， B=B= 45； 3cmAB=A B = 2.5cmAC=A C =; 满足上述条件画出的满足上述条件画出的ABCABC和和ABC ABC 一定全等吗？由此他能得出什么结论？一定全等吗？由此他能得出什么结论？ 满足条件的两个三角形满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不的对角相等的两个三角形不一定全等一定全等. .;2 A=A= 80，B=B= 30， C=C=70.; 满足上述条件画出的满足上述条件画出的ABCABC和和 一一定全等吗？由此他

22、能得出什么结论？定全等吗？由此他能得出什么结论？ A B C 满足条件的两满足条件的两个三角形不一定全个三角形不一定全等，由此得出：三等，由此得出：三角分别相等的两个角分别相等的两个三角形不一定全等三角形不一定全等. .;例例9 知：如图，知：如图，AC与与BD相交于点相交于点O， 且且AB= DC，AC = DB. 求证：求证：A =D.证明证明 衔接衔接BC.BC.在在ABCABC和和DCBDCB中，中， ABC DCB SSS. A =D.AB = DC，BC = CB 公共边，公共边，AC = DB ，;例例10 某地在山区建筑高速公路时需挖通一条隧道某地在山区建筑高速公路时需挖通一条隧道. 为估测这条隧道的长度如图，需