圆锥曲线专题——定值问题解析版

1、圆锥曲线中的定值问题若点P的轨迹为曲线11.平面内动点P(x, y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于-,4E,过点Q( 6,0)直线l交曲线E于M, N两点. 5(I)求曲线E的方程，并证明：MAN是一定值；(I)若四边形AMBN的面积为S,求S的最大值2【答案】(I) + y2 1(x2) ( I) 164试题解析：(I)设动点P坐标为(x,y),当x 2时，由条件得：2W 化简得土+y2 1(x 2)x 2 x 2442曲线E的方程为，+y2 1(x2),4分4(说明：不写x 2的扣1分)由题可设直线 W 的方程为x =，联立方程组可得二f 6 x = + F =

2、 0- -争、=口得储十月苒十尸二0的根为冲Xn ,所以口三制j又点C(0J)在上,所以1 +巨Q=O得以=1,所以= 故尸1寸尸一九所以心三-2所以在)串肚的长为九是定值.3.已知椭圆C:/ 3 1 a b 0的离心率为1，以原点为圆心的词 ClP,AQMR,NR的斜率分别为k/kk是？圆与直线T7x 75y 12 0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设A 4,0 ,过点R 3,0作与x轴不重合的直线l交椭圆别交直线x16一于M , N两点，若直线 3是，求出该定值，若不是，请说明理由c 1a 2【解析】(1)由题意得一2=,7 522a b42273,故椭圆c的方程为1622工1.12(2

3、)设 P x1，y1 ,Q x2, y2 ,直线 PQ 的方程为 x my 3 ,22x y由 16 123m2 4 y2 18my 21 0x my 3yiy218m213mFy1y 2 3mr由A,P,M三点共线可知-yyM 4 X1 4 y328%3 x1 4同理可得yN28y23 x2 4,所以kik2yM巴3yN再39yM yN16y1y2x2 4Q X1 4X24 my1 7 my22m yiy27my y249k1k22m YiY216yy27 m y1 y2491274.已知椭圆C:22 yY 1过点Aa2b2(2,0), B (0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2

4、)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值.2【解析】(1)由题意得，a 2, b 1.所以椭圆C的方程为上 y2 1.4又c Va2b2 M,所以离心率e .a 2设p(/Qb) (%co, 0),直线y=kx+ 2与E交于A, B两点，且OAOB=2,其中O 为原点.(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0, 2),记直线CA, CB的斜率分别为ki, k2,证明：k2+k22k2为定值.【解析】(1)将尸十2代入町=就内彳导一如Qr4a=0,其中=/ +1 泣00.设虱夏一,夙必，,贝U品+ k尸如心拓珏二一4

5、 口f f_ 双 支_ ._OA 迎=K、式工+双6=尤乃+ ,= 5 + 4=2+2_p豳T所以抛物线的方程为二产(2)证明：由(1)知，xi + x2=k, xiX2 = 2.yi + 2 x2+2 x2-xix2- mki = -x=-x- = -x -=xi x2,同理 k2 = x2 xi,所以 k2+ k2 2k2 = 2(xi x2)2 2(xi + x2)2= - 8xix2= i6.uuu uur7 .已知抛物线E:y2 2px(p 0),直线x my 3与E交于A, B两点，且OAgOB 6,其中O 为坐标原点.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(-3,0),记

6、直线CA、CB的斜率分别为ki, k2,证明：12 3 2m2k12 k22为定值.【解析】 设推出m3班演,麻立方程纲y x ) 消元得 y2 .、一12m2为定值.- 2 p啊-6p = 0 , 父=吧+3所以加4% =2P明，y1y = -6/j.又再均+乃刈二 所以.p f从而y =其，(2)因为k1y1 my1y2x2 3y2my2 6所以1 k1k26_y21因此2 k122m2(m(m2m22m2112m(一 yi1) y2136( y1/)2 m22m212m丫佻2y2) 2y1y236g22yi V22m2又 y1y22 Pm myiy26P3,-1所以-12k；2m212m

7、36m26 c 22m 24.91即4k128.如图,设点A,B的坐标分别为73,0 , 73,0 ,直线ap,bp相交于点p,且它们的斜率之积3(D求点p的轨迹方程;(2)设点P的轨迹为C,点M、N是轨迹为C上不同于AB的两点，且满足AP/OM,BP/ON ,求证：MON的面积为定值.【解析】(1)由已知设点P的坐标为x,y ,由题意知 kAPgkBP33 gy3- xJ3 ,2 2化简得P的轨迹方程为1 x 芯.3 2AP/OM ,BP/ON ,(2)证明：由题意M、N是椭圆C上非顶点的两点，且则直线AP,BP斜率必存在且不为0,又由已知kAPgkBP2因为 AP/OM,BP/ON ,所以

8、 kOM gkON-.3设直线MN的方程为x my t ,代入椭圆方程22得 3 2m y 4mty2t2 6 0 . . . . I设M , N的坐标分别为为，必，x2,y2 ,则 yiy24mt,y1y22t2 63 2m2 又 kOM gkON*2xx2y*2t2所以2t263t26 m22,2m yy2 mt y1 y2t得 2t2 2m2 3,3t2 6m2又GS MON2t y1y21 卜 242 48m223 2 m272所以S MON4t2的面积为定值9.椭圆C:x2 y202+1(ab0)的离心率 e=3彳，a+ b= 3.求椭圆C的方程;(2)如图所示，A, B, D是椭圆

9、C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k, MN的斜率为m.证明：2mk为定自主解答(1)因为e= 乎=。，所以a= 余C b = 3c.x2c代入a+b=3,得c=小,a = 2, b= 1.故椭圆C的万程为 + y2= 1.(2)证明：法一 、x2 把代入4+y:因为B(2,0),P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y= k(x- 2) kw, kw g ,2=1,8k22斛行 P4k2+1，4k 4k2+ 1 .直线AD的万程为:与联立解得4k2k% .由 D(0,1),1y= 2x+ 1.8k22P4k2+1，一4k源彳，N(

10、x,0)三点共线知4k d4 k2 + 18k224k2 + 00-1:x解得4k2N 2k+1，0 .所以MN的斜率为4k 八2k4k 2k+ 1贝U 2mk= 2k2t1m=4k+ 2 4k2 = 2 2k+ 1 2-2 2k-1 2k- 1 2k+ 1.1k=2(止值).2k+ 12= 4 ，y法一：设 P(x, y)(x0w, xw2)则卜=网_2,直线AD的方程为：v= 2(x+ 2),直线BP的方程为：y=X；y02(x-2),直线 DP 的方程为：y 1=*乂，令 y=0, *Ty-1, #Ny；07, 01y= 2 X+ 2 , 联乂ycy=口2 ,因止匕MN的斜率为4y02y0 x0 + 2解得M4y0+2x0 44y02y0-X0 + 2 2y0-X0+2 4yo yo- 1m 4y0 + 2x0 4X04y08y0+4X0y0x0+42y0 X0 + 2 + y。_ 1yo 一 14y0 y0 14y0 8y0 + 4x0y0 4 4y0 +4 2yo + x02所以