《学案与测评》2011年高考数学总复习 第二单元第一节 函数及其表示精品课件 苏教版

1、第一节第一节 函数及其表示函数及其表示基础梳理基础梳理1. 函数的概念设A、B是非空的 ,如果按照某种 ,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有 和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记作 .其中,所有输入值x组成的集合A叫做函数的 ;对于A中的每一个x都有一个 与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的 .数集对应法则f唯一的元素yy=f(x),xA定义域输出值y值域2. 构成函数的三要素: 、 和 。3. 两个函数相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域B和对应关系f.定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的 和 都分别相同时,这两个函数才是同一个函

2、数.4. 常用的函数表示法(1) (2) (3) .5. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个 ,而每个 的 不同,这种函数称为分段函数.定义域对应法则值域定义域对应关系解析法列表法图象法子区间解析式子区间6. 映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元素,在集合B中都有 的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作 。每一个唯一“f:AB”典例分析典例分析题型一题型一 函数的概念函数的概念【例【例1 1】设函数f(x)= 求f(-4);f( )=8,求22,2,xx2 ,2x x 0 x0 x分析 这是分段函数的变换问题，需要

3、结合定义域作数值代换。解 综上所述，242,( 4)218( 4)f 2000228,6xxxx 当时,f()=000028,4xxxx当时,f()=2064x 或学后反思 本题是在已知分段函数的解析式的前提下，通过给出自变量（函数值），确定函数值（函数值）这也是在近几年高考中考查函数概念的常见题型，解决这类问题的关键是要理解函数的定义：自变量确定，有唯一的函数值与之对应，函数值确定，可能有多个自变量与之对应，同时，面对分段函数一定要结合定义域分段考虑1,0 x 1,0 x0,0 x 举一反三举一反三1.已知符号函数sgnx= ,则不等式（x+1）sgn的解集是 。2x 0 x 解析： 不等式

4、（x+1）sgn x2,可化为 或 或解得x1或x-3, 解集为x|x10 x 12x (1) 02x0 x (1)( 1)2x答案： x|x1题型二题型二 判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同【例【例2 2】试判断以下各组函数是否表示同一函数.xxg(x), 1xx(x)(4)*);N(n)x(g(x),x(x)(3)0);1(x-0),1(g(x),|x|(x)(2);xg(x),x(x)(1)21n-21n21n21n2332ffxxff分析 根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断.解 （1）由 故它们的对应关系不相同,所以它们不是同一函数.(2)由于函数 的定义域为(-,0)(0

5、,+),而的定义域为R,所以它们不是同一函数.xxf332xg(x),x(x)xf|x|(x) 0);1(x-0),1(g(x)x(3)由于当nN*时,2n1为奇数, 它们的定义域、值域及对应关系都相同,所以它们是同一函数.xxf11n-2n21n21n2)x(g(x),x(x)(4)由于函数 的定义域为x|x0,而 的定义域为x|x-1或x0,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.1xx(x)fxxg(x)2学后反思 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应关系都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,

6、反之亦然.对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.2- t4-tg(t),2-x4-x(x)Z)1(x2xg(x)R),1(x-2x(x)x g(x),)x(x)1)a0,(aag(x),alog(x)22332xlogxaaffff举一反三举一反三2.下列四组函数,表示同一函数的是 .解析 中两函数定义域不同,中两函数定义域不同,中两函数定义域不同,中两函数定义域相同，对应法则也相同.答案：f(x).3x,x1f2f(x)f(x)(3)f(x);lgx,1)2(f(2)f(x);,x1x)x1f(x(1)22求）（满足已知求已知求已知x题型三题型三

7、 求函数解析式求函数解析式【例【例3 3】分析 (1)用配凑法;(2)用换元法;(3)用方程组法.22211()21()f xxxxxx解(1)2( )2(22)f xxxx 或22(2)1(1),122( )lg,( )lg(1)111(3)2 ( )( )3t txxtf tf xxtxf xfxx 令则把中的x换成113,( )( ),32,1( )20ff xxxxxf xxxx 得2,得3f(x)=6x-学后反思 函数解析式的常见求法有:(1)配凑法.已知f h(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(2)待定系数

8、法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)= +bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出a、b、c即可.2ax(3)换元法.已知f h(x) =g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).x1f举一反三举一反三3.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);（2）已知g(x)=1

9、-2x, .2211( )(0),( )2f g xxfxx求解析 (1)设f(x)=ax+b(a0),由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=2x+17ax+5a+b=2x+17，7.2xf(x)7b2,a17b5a2a解得12(2)令g(x)=1-2x= ,得22111,( )15421( )41( )4xf题型四题型四 分段函数的应用分段函数的应用【例【例4 4】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收20

10、0%,若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？分析 在本题中，用水量（自变量x）属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费.解 用y表示本季度应交水费（单位：元）.当0 x5时， =1.3x3当5x6时，应把x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分收基本水费1.35，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=1.3(x-5)(1+200%)， =1.35+1.3（x-5）(1+200%)=3.9x-137当6x7时,同理： =1.35+1.3(1+200%)+1

11、.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.611综上可能 1y2y3y1.3 ,05xx3.913,56xx6.528.6,67xx学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意要使各区间的端点既不重复又不遗漏.举一反三举一反三4.为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元，则享受一定的折扣优惠，折扣按下表累计计算： 20% 超过500元的部分 10% 不超过500元的部分 折扣率可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000元的部分）例如，某人购物1300元，则享受这口优惠的金额为（1300-1000）元，优惠额300 10%=30

12、，实际付款1270元。（1）某顾客购买了1800元的商品，它实际应付款多少元？（2）设某人购物总金额为x 元，实际应付款y 元，求y 关于x 的函数解析式解析 （1）若顾客购买了1800元的商品，则实际付款为 100+500（1-10%）+（1800-1500） （1-20%）=1690（元）（2）当 元时，应付款 x 元; 当 元时，应付款 当1000 x 10001500 x100(1000) (1 10%)1000.9xx1500 x 时，应付款1000+500 （1-10%）+（x-1500）(1-20%)=250+0.8x,1000 x x 1000.9 ,10001500 xx25

13、0+0.8x x1500【例例】已知 错解 由已知得 易错警示易错警示1).-f(xx1x 1xf22求x12x2) 1() 1(2xf(x)2-1x 1xf2222xxxfxx错解分析 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化致错.也就是说,在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换.正解 由已知得) 1x3(122) 1()2|(|2)(21x2-1x 1xf2222或从而但xxxxfxxxfxxx10.如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).求ABP的面积与P移动

14、的路程间的函数关系式.解析：由题易知函数的定义域为(0,12). 当0 x4时,S=f(x)= 4x=2x; 当4x8时,S=f(x)=8; 当8x-2x的解集为（1，3）.若方程f(x) +6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式. 12.经市场调查得知，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t) =80-2t（件），价格近似满足f(t)=20- (元）。 （1）是写出该种商品的日销售额y与时间（ ）的函数表达式；（2）球该种商品的日销售额y的最大值与最小值1102t 020t 解析 由方程f(x)=a(x-1)(x-3)-2x= -(2+4a)x+3a因为方程f(x)有两个相等的实根，所以 -(2+4a)x+9a=0即 -4a-1=0,解得 a=1或a=-易知 a0,故舍去a=1,将a=- 代入得 f(x)的解析式为f(x)= 1515