北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的简单应用

1、1北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修4第第三章三章三角恒等变形三角恒等变形法门高中姚连省制作法门高中姚连省制作2例一：根据图象建立解析式例一：根据图象建立解析式 ( (研究温度随时间呈周期性变化的问题研究温度随时间呈周期性变化的问题) ); ;例二：根据解析式作出图象例二：根据解析式作出图象 ( (研究与正弦函数有关的简单函数研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期的图象及其周期) )；例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 ( (研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题) )

2、；例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型拟合，从而得到函数模型 ( (研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题) )。 第一课时第一课时第二课时第二课时目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。3 备注：备注：三角函数模型三角函数模型三角函数关系三角函数关系简单应用简单应用学以致用，解决生活中的实际问题学以致用，解决生活中的实际问题4教学目标教学目标: :1 1、知识目标：、知识目标：a a通过对通过对三角函

3、数模型的简单应用的学习，使学生初三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；步学会由图象求解析式的方法；b b体验实际问题抽象为三角函数模体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；型问题的过程；c c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型型2 2、能力目标：、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学数学“建模建模”思想思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力象概括等能力3 3、情感目标：、情感目标：让学

4、生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。培养学生勇于探索、勤于思考的精神。教学重点：教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。型。教学难点：教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题关系来建立数学

5、模型，并调动相关学科的知识来解决问题5函数模型的应用示例 2、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动 智力变化状况智力变化状况 血压变化状况血压变化状况 3、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律 月圆与月缺月圆与月缺 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮 车轮转动车轮转动 峰谷电峰谷电 )0, 0()sin(AxAy正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx余弦函数余弦函数y=cosxy=cosx1 1、物理情景、物理情景简单和谐运动简单和谐运动星体的环绕运动星体的环绕运动6如果在宁波地区（纬度数约是北纬如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为）的一

6、幢高为ho的楼房的楼房北面北面盖一新楼，要使新楼一层盖一新楼，要使新楼一层正午正午的太阳的太阳全年全年不不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？例题例题2分析：分析：根据根据地理知识地理知识，能够被太阳直射到的地区为，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知画图易知A B Ch07解：解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面

7、的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据根据太阳高度角的定义太阳高度角的定义有有 A B Ch0P P89太阳高度角的定义v如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地纬度值为纬度值为 ，v正午太阳高度角为正午太阳高度角为 ，此时太阳直射纬度为此时太阳直射纬度为 v那么这三个量之间的关那么这三个量之间的关系是系是v当地夏半年当地夏半年 取正值，取正值，冬半年冬半年 取负值。取负值。|90太阳光太阳光9090|90|90地心地心北半球北半球南半球南半球10太阳光直射南半球太

8、阳光太阳光9090|90|90地心地心11解：解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据根据太阳高度角的定义太阳高度角的定义有有 所以所以 即在盖楼时，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。倍的间距。 90|3

9、023 26 )| 36 34C （0001.35tantan36 34hhMChc A B Ch0P P1515米米12将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意理解题意建立三角建立三角函数模型函数模型求解求解还原解答还原解答13 一半径为一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面距离水面2m，已知水轮每分钟转动已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点圈，如果当水轮上点P从水中浮现时从水中浮现时开始计算时间。开始计算时间。（1）将点）将点P距离水面的高度距离水面的高度z(m)表示为时间表示为时间t(s)的函数；的函数；（2

10、）点）点P第一次到达最高点大约要多长时间？第一次到达最高点大约要多长时间？例题例题3xy14解解(1)(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。 设角设角 。 由由OPOP在在t(s)t(s)内所转过的角为内所转过的角为 ， 可知以可知以OxOx为始边，为始边，OPOP为终边的角为为终边的角为 ， 故点故点P P的纵坐标为的纵坐标为 ，则，则(0)2P Ox 4 22()6015tt 215t 23sin()15t 23sin()215zt 当当t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 . .2sin3 因为 ,所以 . 02 0.7

11、3 故所求函数关系式为故所求函数关系式为 . .23sin(0.73)215zt (2)(2)令令 , ,得得 . .23sin(0.73)2515zt 2sin(0.73)115t 取取 , ,解得解得 . .20.73152t5.5t 即即点点P P第一次到达最高点大约要第一次到达最高点大约要5.5S.5.5S.xy 15小结:1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型模型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题数模型来解决实际问题,如天气预报如天气预报,地震预测地震预

12、测,等等等等.2.建立三角函数模型的一般步聚建立三角函数模型的一般步聚:现实问题现实问题 现实模型现实模型 改改造造三角函数模型三角函数模型 抽象抽象 概括概括解析式解析式图图 形形三角函数模型的解三角函数模型的解数学数学 方法方法还原还原 说明说明现实模型的解现实模型的解是否符合实际是否符合实际 修改修改16体验探究体验探究1 1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？、你能一刀削出一条正弦曲线吗？ 提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的

13、曲线。你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你知道吗？你知道吗？这条曲线就是这条曲线就是正弦曲线正弦曲线！2 2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？1718教学目标：教学目标：1 1、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。有关实际问题，为决策提供依据。2 2

14、、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯；具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的完使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力. .3 3、情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会、情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的

15、兴趣和树立自信心，渗透数学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。学与现实统一和谐之美。教学重点：教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。具有周期变化规律的实际问题。教学难点：教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。19一、设置情境，呈现问题一、设置情境，呈现问题 二、探索实践，寻找模型二、探索实践，寻找模型 1、初

16、步认识初步认识 2 2、深入探索、深入探索 三、回归现实三、回归现实, ,提出问题提出问题 四、四、练习反馈练习反馈, ,提高能力提高能力 五、总结提炼五、总结提炼, ,延时探究延时探究 教学过程：教学过程：20法国圣米切尔山法国圣米切尔山涨潮涨潮落潮落潮 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。（一）设置情境，呈现问题（一）设置情境，呈现问题 2122 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ “ T ”T ”型结构型结构的交汇点上，地

17、理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在道水深在 18.2 18.2 米米 以上，以上，20 20 万吨以下船舶自由进港，万吨以下船舶自由进港，25 25 万吨万吨 30 30 万吨船舶可候潮进出港。万吨船舶可候潮进出港。 2324时刻时刻0：003：006：00水深/米5.07.55.0时刻时刻9：0012：0015：00水深/米2.55.07.5时刻时刻18：0021：0024：00水深/米5.02.55.

18、0问题一：问题一：二、探索实践，寻找模型二、探索实践，寻找模型 1、初步认识初步认识（2）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）.25（4） 解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。出各点，并用平滑的曲线连接。 根据图象，可以考虑用函数根据图象，可以考虑用函数 刻画刻画水深与时间的关系。水深与时间的关系。hxAy)sin(从从数数据据和和图图象象可可以以

19、得得出：出：A=2.5，h=5，T=12，0 56sin5 . 2xy由由 得得212,T626y=2.5sin(x/6)+5y=2.5sin(x/6)+502468051015202530时间(小时)水深(米)时时刻刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时时刻刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水水深深5.0006.2

20、507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.75427问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为离）为4 4米，安全条例规定至少要有米，安全条例规定至少要有1.51.5米的安全米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？口？在港口能呆多久？0.3848Ax 65.6152BAxx1212.3848CAxx17.6152Dx 2 2、深入探索、深入探索 时时刻刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:

21、009:0010:0011:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时时刻刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754x x3 6 9 1215182124Oy2 4 65.5yA B C D28在问题二的条件下，若货船在港口停留在问题二的条件下，若货船在港口停留8小时以上，小时以上，则货船的吃水深度

22、至多是多少？则货船的吃水深度至多是多少？x x3691215182124Oy246ABCD29x x3691215182124Oy246ABCD时时刻刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时时刻刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水水深深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.

23、8352.5002.8353.75430 x x3691215182124Oy246问题三：若某船的吃水深度为问题三：若某船的吃水深度为4 4米，安全间隙为米，安全间隙为1.51.5米，该米，该船在船在2 2：0000开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少，米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。6.715Px )2)(2(3 . 05 . 5xxyP在货船的安全水深正在货船的安全水深正好与港口水深相等时，好与港口水深相等时，停止卸货吗？停止卸货吗？( (三三) )回归现实回归现

24、实, ,提出问题提出问题 31 现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每小时小时1米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度为为6米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为1米）米）Oyx?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14( )2.5sin5.56f xxx嘿，有挑战性嘿，有挑战性! ( (四四) )练习反馈练习反馈, ,提高能力提高能力 32t036912151821

25、24y1.51.00.51.01.51.00.50.99 1.533小结反思:1.1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型模型, ,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题, ,我们可以通过建立三角我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题函数模型来解决实际问题, ,如天气预报如天气预报, ,地震预测地震预测, ,等等等等. .2.2.建立三角函数模型的一般步聚建立三角函数模型的一般步聚: :搜集数据搜集数据利用计算机利用计算机作出相应的作出相应的散点图散点图进行函数进行函数拟合得出拟合得出函数模型函数模型利用函数利用函数模型解决模型解决实际问题实际问题 ( (五五) )总结提炼总结提炼, ,延时探究延时探究 34（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期性实际问题函数处理的方法和手段性实际问题函数处理的方法和手段（二）书面作业：（二）书面作业：（三）实践探究性作业：（三）实践探究性作业：宁波港与潮汐宁波港与潮汐天安门广场国旗升降时间天安门广场国旗升降时间35 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江宁波港地处我国大陆海岸线中部，