图像变换常用处理

1、 图像变换1 傅里叶变换2 离散余弦变换3 小波变换及其应用信号处理方法：时域分析法频域分析法特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理 图像变换 图像变换T频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量。T例如交流电频率为5060Hz（交流电压）中波某电台1026kHz（无线电波） 图像变换T 图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴， 图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。T 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（Spatial Frequency）。 图像变换T 每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅

2、里叶变换 余弦变换 正弦变换 图像变换 哈达玛变换 沃尔什变换 K-L变换 小波变换3.1 傅里叶变换3.1.1 一维傅里叶变换3.1.2 二维离散傅里叶变换3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质3.1.4 快速傅里叶变换3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用3.1 傅里叶变换T傅里叶变换利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号3.1.1 一维傅里叶变换T一维（连续）傅里叶变换傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数）分解成

3、不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。输入信号 = 傅里叶（正）变换 = 频率域信号函数 函数频率域信号 = 傅里叶反变换 = 输出信号函数 函数( )F f( )f t( )F f( )f t3.1.1 一维傅里叶变换T一维（连续）傅里叶变换 1( )( ) d,( )( )( )exp j2d( )( )( )expj2dj1,f xf xxF uFf xF uf xuxxFF uf xF uuxuu 条件：如果实变量函数是连续可积的，即且是可积的，则傅里叶变换对一定存在。一维傅里叶变换对表示为：频率变量3.1.1 一维傅里叶变换T一维（连续）傅里叶变换j ( )122222(

4、 )( )( )( )j ( )( )( ) e( )( )( )( )( )arctan( )( )( )uf xF uF uR uI uF uF uF uR uIuI uuR uR uIu满足只有有限个间断点、有限个极值和绝对可积的条件，并且也是可积的复数形式指数形式幅值函数（傅里叶谱）相角能量谱或能量谱：-j2 j2 0j2j20jjjjjj()(0)()0()()()ededee1j2 j2eeej21sin()esin(ee)2sinuxXuxXuxuXuXuXuXuXxxfxAxXfxxXF ufxxAxAAuuAuAuXxuj 门叶 变 换：数：该叶 谱例 1是 一函求 它 的

5、傅 里解 ：尤 拉 公 式傅 里是 一()c u数函3.1.1 一维傅里叶变换T一维（连续）傅里叶变换AX( )f x03.1.1 一维傅里叶变换T一维（连续）傅里叶变换3.1.1 一维傅里叶变换T一维离散傅里叶变换21j021j0( )1( )( )e0,1,1( )( )e0,1,1mnNNnmnNNmx nX mx nmNNx nX mnN则如果为一数字序列，其离散傅里叶正反变换：其中其中( , )f x y221/2222( , )( , )exp j2()d d( , )( , )expj2()d d( , )arctan ( , )/( , )( , )( , )( , )( ,

6、)( , )( , )( , )F u vf x yuxvyx yf x yF u vuxvyu vu vI u vR u vF u vIu vR u vE u vF u vIu vR u v 傅里叶变换的相角、傅里叶谱或功率谱可由下式给出：3.1.2 二维离散傅里叶变换T二维连续函数 的傅里叶变换000000000000-j-j000000,0, 02( ,)0,( ,)( ,) exp-j2()d dexpj2()d dexpj2dexpj2dsin()sin()ee( ,)xyxyuxvyAxxyyfx yF u vfx yuxvyx yAuxvyx yAuxxvyyuxvyAx yux

7、vyF u v 例 ：其 它傅 里 叶 谱 ：000000sin()sin()uxvyAx yuxvy3.1.2 二维离散傅里叶变换T二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换11-j2(/)0011j2(/)001( , )( , )e( , )( , )eMNux Mvy NxyMNux Mvy NuvF u vf x yMNf x yF u v变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：j ( , )221/2( , )( , ) e( , )j ( , )( , )( , )arctan( , )( , )( ,

8、)( , )u vF u vF u vR u vI u vI u vu vR u vF u vRu vIu v3.1.2 二维离散傅里叶变换1.可分离性 11-j2/-j2/2001( , )e( , )eNNux Nvy NxyF u vf x yN11-j2/j2/00( , )e( , )eNNux Nvy Nuvf x yF u v3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质T基本性质：1-j2/01-j2/01( , )( , )e1( , )( , )eNux NxNvx NyF u vF x vNF x vNf x yN其中：1111( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ,

9、) ( , )xyyxuvvuF u vF Ff x yF Ff x yf x yFFF u vFFF u v3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质00j2()/00( , )e(,)u x v yNf x yF uu vv图像中心化 00/2( , )( 1)(,)22x yNNuvNf x yF uv 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质2平移性 ：时( , )(,)( , )(,)F u vF uaN vbNf x yf xaN ybN3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质3周期性*( ,)( ,)( , )(,)( ,)(,)fx yf x yFu vFuvfx yFuv若 存在或 N/2

10、-N/2 一个周期3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质4共轭对称性则00( ,)( ,)f rF cossincossin( , )( , ),( , )( , )xryruwvwf x yf rF u vF w 例：3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质5旋转不变性12121212( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )1(,)(,)Ffx yfx yF fx yF fx yFfx y fx yF fx yF fx yaf x yaF u vu vf ax byFaba b傅立叶变换和反变换对于加法可以分配，而对乘法不行比例性：在空间

11、比例尺寸的展宽，相应于频域比例尺度的压缩，1其幅值也减少为原来的ab3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质6分配性和比例性11200112001( , )( , )01(0 0)( , )( , )(0 0)NNxyNNxyf x yf x yNuvFf x yf x yFN二维离散函数的平均值：将代入离散傅立叶公式：，3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质7平均值为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展( , )* ( , )( , )( , )( , )( , )( , )*( , )f x yg x yF u vG u vf x yg x yF u vG u v3.1.3

12、 二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理 11( , )( , )0( , )0101( , )011( , )0101( , )01eeMA CNBDf x yg x yf x yx Ay Bf x yA x MB y Ng x yx Cy Dg x yC x MD 为此将和用整补 的方法扩充为以下的二维周期序列 1y N 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理当卷积周期才避免交叠误差1100( , )*( , )( , )(,)0,1,2,10,1,2,1;*( , )*( , )( , )( , )( , )( , )( , )*( , )MNeeeemneeeeeeeefx

13、 ygx yf m n gxm ynxMyNMNfx ygx yF u vG u vfx ygx yF u vG u v其二维离散卷积：式中： 周期：3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理1100( , )( , )( , )( , )() (,)( , )( , )( , ) (,)MNmnf x yg x yf x yg x yfg xyd dA BCDf x yg x yf m n g xm yn 连续二维函数和的相关定义大小为，的两个离散函数序列的互相关定义3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质9离散相关定理9离散相关定理*( , )( , )( , )( , )( , )(

14、 , )( , )( , )( , ),( , )eef x yg x yF u vG u vf x ygx yF u vG u vfx y gx y离散的相关定理：离散变量的函数是扩充函数，表示3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质T傅里叶变换的问题 1）复数计算而非实数，费时。如采用其它合适的完备正交函数来代替傅里叶变换所用的正、余弦函数构成完备的正交函数系，可避免这种复数运算。 2）收敛慢，在图像编码应用中尤为突出。3.1.4 快速傅里叶变换T在研究离散傅里叶计算的基础上，节省它的计算量，达到快速计算的目的3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用T 傅里

15、叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理，如滤波、降噪、增强等 a) 有栅格影响的原始图像 b)傅里叶变换频谱图像3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用用傅里叶变换去除正弦波噪声示例3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 a) lena图 b) lena图的频谱3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 c) 增强纵轴上某一谱段的强度 d) 傅里叶反变换的结果3.2 离散余弦变换3.2.1 离散余弦变换原理3.2.2 离散余弦变换在图像处理中的应用 3.2.1 离散余弦变换原理10101( ,0)(0,1,1;1,2,1)2(21) ( ,

16、)cos21(0)( )2(21) ( )( )cos(1,2,1)2NxNxg xNxNuNxug x uNNCf xNxuC uf xuNNN一维离散余弦变换（DCT）的正变换核为： 对应的离散余弦变换：1012(21)( )(0)( )cos(0,1,2,1)2Nxxuf xCC uxNNNN 离散余弦反变换（反变换核与正变换核形式相同）3.2.1 离散余弦变换原理21100112001( , ,0,0)( ,0,1,1; ,1,2,1)1( , , , )cos(21) cos(21) 2 ()1(0,0)( , )1( , )( , )cos(21) 2 ()MNxyMNxyg x

17、yNx yNu vNg x y u vxuyvMNCf x yMNC u vf x yxuMN 二维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：对应的离散余弦变换：cos(21) (1,2,1;1,2,1)yvuNvN 3.2.1 离散余弦变换原理3.2.1 离散余弦变换原理1121111( , )(0,0)( , )cos(21) cos(21) 2 ()(0,1,2,1;0,1,2,1)MNuvf x yCC u vxuyvMNMNxMyN离散余弦反变换：可看出，二维离散余弦变换的变换核是可分离的，因而可通过两次一维变换实现二维变换。3.2.1 离散余弦变换原理T性质：1余弦变换是实数、正交。2离

18、散余弦变换可由傅里叶变换的实部求得3对高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性4对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT是K-L变换 的最好近似3.2.2 离散余弦变换在图像处理中的应用T 在图像的变换编码中有着非常成功的应用T 离散余弦变换是傅里叶变换的实数部分，比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，提高编码的效率3.3 小波变换及其应用3.3.1 多分辨率分析的背景知识3.3.2 多分辨率展开3.3.3 一维小波变换3.3.4 快速小波变换算法3.3.5 二维离散小波变换3.3.6 小波分析在图像处理中的应用3.3.1 多分

19、辨率分析的背景知识T图像金字塔 金字塔算法 一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降 低的图像集合 一个金字塔图像结构 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。3.3.1 多分辨率分析的背景知识T图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码 首先对图像用高斯脉冲响应作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失 3.3.1 多分辨率分析的背景知识T图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码 拉普拉斯金字塔编码策略 3.3.1 多分辨率分析的背景知

20、识T子带编码和解码 双通道子带编码和重建 0h1h22( )x n0( )y n1( )yn220h1h( )x n3.3.1 多分辨率分析的背景知识T子带编码和解码子带图像编码的二维4频段滤波器组 3.3.1 多分辨率分析的背景知识T 哈尔变换 哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达： T=HFH其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果 3.3.1 多分辨率分析的背景知识T哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解 3.3.2 多分辨率展开T 函数的伸缩和平移 给定一个基本函数 ,则 的伸缩和平移公式可

21、记为：( ) x,( )()a bxaxb( ) x3.3.2 多分辨率展开T函数的伸缩和平移2,sin( )02( )0( )xxxx例：给定函数其它则的波形如下图所示函数的伸缩和平移 3.3.2 多分辨率展开T 序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。( )( )kkkf xax其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数， 是具有实数值的展开函数 ( )kx3.3.2 多分辨率展开T尺度函数2/2,/2,( )( )()( )2(2),( )( )( )( )2( )( )jjj kj kj kj kjj kxxLxxkjz kzxxkxxjx

22、xxjxR 设是平方可积函数，即，实数二值尺度伸缩和整数平移函数定义为：则集合是的展开函数集。从上式可以看出，决定了在 轴的位置， 决定了的宽度，即沿 轴的宽或窄的程度，而控制其高度或幅度。由于的形状随 发生变化，被称为尺度函数。3.3.2 多分辨率展开T 小波函数 给定尺度函数，则小波函数 所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。尺度及小波函数空间的关系 ( ) x3.3.3 一维小波变换T 一维离散小波变换（DWT）000010,01,00211 210,001(, )( )( )1

23、( , )( )( )11( )(, )( )( , )( )0jjMjknMj knJjkj kkjjkWjkf nnMWj kf nnMjjf nWjknWj knMMj 正变换：反变换：对于，有通常的小波变换是指的情况3.3.3 一维小波变换T一维离散小波变换（DWT）2020/2() /2( )2ittteee Morlet小波：Morlet 小波3.3.3 一维小波变换T 一维离散小波变换（DWT）222/242/22( )(1)32 23tttee Mexihat小波：Mexihat小波 3.3.4 快速小波变换算法离散小波变换算法 3.3.4 快速小波变换算法离散小波逆变换 3.

24、3.5 二维离散小波变换T对于MN的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：000110,0011,000,3,101(,)(,)(,)1(,)(,)(,)1, 2, 31(,)(,)(,)1(,)(,)MNjmnxyMNllj mnxyjmnmnllj mnljjmnWjmnfxyxyM NWj mnfxyxylM NfxyWjmnxyM NWj mnxyM Njj 正 变 换 ：反 变 换 ：是 任 意 开 始 尺 度 ， 通 常 取002,0,1,10,1, 21JjMNjJmn， 且 选 择和3.3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换的一次分解 3.3.5 二维离散小波变换图像的二维离散小波变换3.3.6 小波分析在图像处理中的应用T 小波变换 傅里叶变换用在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅里叶反映的是信号或函数的整体特征，而实际问题关心的是信号的局部范围中的特征。如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震记录，关心什么位置出现反射波；在边缘检测中，关心的是信号突变部分的位置。引进的