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文档简介
1、线线角、线面角-二面角 (高考立 体几何法宝 )线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直 角坐标运算律:两个非零向量 a与b 垂直的充要条件是rra b a1b1 a2b2 a3b3 0两个非零向量 a与b 平行的充要条件是a·b=±| a| b|2. 向量的数量积公式rr若a与b的夹角为 (0 ), 且a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3), 则1)点乘公式:a · b=| a| b| cos 2)模长公式:则 |a| a a a12 a22 a32 ,|b| b b b1 b2 b33)夹角公式:cos ararrbrb a b aa1b1(
2、4)两点间的距离公式:若 A(x1, y1,z1),B(x2, y2,z2),则| uAuBur |uAuBur 2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 , dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 两条异面直线 a、b间夹角0,2在直线 a上取两点 A、B,在直线 b上取两点 C、D,若直线 a与 b的夹角为则 cos |cos AB,CD | AB CDAB CD例 1 (福建卷 )如图,长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F 、G 分别是 DD1、 AB、CC1的中点,则异面直线 A1E与 GF 所成的 角是( )A arccos
3、155 B 4Carccos 10DGC向量法,传统法)例 2 (2005年全国高考天津卷 )如图,PA 平面 ABC,ACB 90 且 PA AC BC a ,则异面直线 PB 与P AC 所 成角的正切值等于 解:(1)向量法2)割补法:将此多面体补成正方体DBCA D ' B ' C ' P ,PB与AC所成的角的大小即P 此正方体C 主对角线 PB与棱BD所成角的大小,D在1 RtB1 PDB 中,即 tan DBA PDDB 2故填 2 DB点评:本题是将三棱柱补成正方体 DBCA D'B'C'P 直线 a与平面 所成的角 0, ( 重
4、点讲述平行与垂直的证明 )可转化成用向量 a 与平面 的法向量 n 的夹角 表示,由向量平移得:若平面 的法向量 n 是向量的一个重要内容, 是求直线与平面所成角、 求点到 平面距离的必备工具 .求平面法向量的一般步骤: (1) 找出(求出) 平面内的两个不共线的向量的坐 标 ar (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2)(2) 设出平面的一个法向量为 nr (x, y,z)(3) 根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组(0 a 2)(4) 解方程组,取其中的一组解,即得法向量。B'F D'C'1)求直线 A'C与DE 所成角;2)求直线 AD与平
5、面 B'EDF 所成的A角1. ( 线 线 角 ,线 面 角 ).在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD A'B'C'D'中, E,F 分别是 BC,A'14C x1) 异面直线 BD与 PA所成角的 余弦值;D2. 如图,底面 ABCD 为直角梯形,ABC 90 , PB 面 ABCD ,BA BC BP 2CD 2,E 为 PD的中点,求2) 直线 CP与面 ADP 所成角的正弦值; 求二面角 的大小1. 范围: 0, 2. 二面角的向量求法:方法一:如图,若 AB、CD分别是二面角 -l- 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线 , 则二
6、面 角的大小就是向量 uAuBur 与CuuDur的夹角.方法二:设ur,vr是二面角 - l-的两个面 的法向量 ,则向量 ur与vr的夹角(或其补角就是 二面角的平面角的大小 . 如图, 设二面角的平面 角的大小为 , 法向量的夹角为 .cos cosrugvr|u |v|urcos cos( ) cosrugvr|u |v|注意: 在用向量求二面角的大小时,我们是 先求出两半平面的法向量所在直线的夹角 ,但 二面角可能是钝角或锐角,因此在求出 角后, 应判断二面角的大小, 再确定二面角就是两半平 面的法向量所在直线的夹角 或是其补角。例:如图, PA 平面ABC , AC BC,PA A
7、C 1,BC 面角 A PB C 的大小。2,求二Px A1.2014 新·课标全国卷 如图,四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA 平面 ABCD, E为 PD的中点(1)证明: PB平面 AEC;(2)设 AP 离2、(2011 年高考陕西卷理科 16) (本小题满分 12 分)如图:在 VABC中, ABC=600, BAC=900 , AD是 BC上的高 ,沿 AD 把VABD 折起,使 BDC=900. 证明:)平面 ADB 平面 BDC ;uur uuur)设 E为BC的中点, 求AE与DB夹角的余弦值 。3、(2011 年高考北京卷理科 16) (本
8、小题共 14 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB 2, BAD 60o.( ) 求证: BD 平面 PAC; ()若 PA AB,求 PB与AC所成角的余弦值;4、(2011 年高考全国新课标卷理科 18) ( 本小题 满分 12 分) 如图,四棱锥 PABCD中,底面 ABCD为平行四 边形, DAB=60°,AB=2AD,PD底面 ABCD.( ) 证明: PA BD;()若 PD=AD,求二面角 A-PB-C的值。2a12直线与平面平行或者垂直(重点掌握)A(1)MN/ 平面 ACD1 ; (2)DB1.如图,已知正方体 ABCD-A 1B1C1D1,M,N 分 别是 A1B1,BB1 的中点.求证:B1.NCM B 1平面 ACD1.D2、如图,四棱锥 PABCD 中,PA 平面 ABCD , 底面 ABCD 是直角梯形, ABAD ,CDAD,CD=2AB ,E 为 PC 中点(I) 求证:CD 平面 PAD;DEA(II) 求证: BE/平面 PAD3. 正方体 ABCDA1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的 中点,求证:( 1)D1O/平面 A1BC1;2)D1O平面 MAC.214. 如图, 在直三棱柱
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