《数字信号处理导论-第7章》

1、2021/8/217.1 FIR DF 设计的窗函数法7.2 窗函数7.3 FIR DF 设计的频率抽样法附：IIR与FIR数字滤波器的比较 2021/8/22IIR数字滤波器：( )( )( )H zB zA z有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器( )( )H zB z只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是： 直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。2021/8/231. 由理想的频率响应 得到理想的 ；( )dh n2. 由 得到因果、

2、 有限长的单位抽样响应 ;( )dh n( )h n3. 对 加窗得到较好的频率响应。( )h n理想频率响应()jdHe22cc1一、思路与方法：一、思路与方法：2021/8/24设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：1( )()2jj nddh nH eed12ccjnedsin()cnn则：特点： 无限长 非因果 偶对称解决方法： 截短， 移位 保留N-1( )()2dh nh n0,1,.,1nN即：隐含着使用了窗函数2021/8/25( )H z0( )( )MnnH zh n z于是：注意： 是因果的，且是线性相位的，即1( )2N 即事先给一线性相位12()NjjdHee为了省去

3、每次的移位，可以令： 在通带内12()0NjjdeHe0cc这样：2021/8/26121sin()12( )12()2ccNcjj ndNnh needNn( )( )dh nh n0,1,.1nN于是：使用了矩形窗上式的的表达式及设计 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个 ，只要能积分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器 。( )dh n( )H z()jdHe( )H z2021/8/27( )( ) ( )dh nhn w n2021/8/28时域乘积相当于频域卷积1()2jjjdH eHeW ed 1

4、120sin2()( )sin2NNjjj nRnNW ew n ee而矩形窗的频率响应：( )( ) ( )dh nhn w nsin2 ( )sin2RNW其幅度函数： 2021/8/29( )( ) ( )dh nhn w n()jjjdH eHeW e12jjdHeW ed 1()( )()2dRHHWd幅度函数：2021/8/210(0)( )RHW近似于的全部积分面积()0.5(0)cHH2cHN为最大值，正肩峰2cHN为最小值，负肩峰( )H随，绕零值波动( )(0)HH随，绕波动0 c 2cN 2cN 2cN 2cN 1( )( )()2dRHHWd幅度函数：2021/8/21

5、1l不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少2cN改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应2021/8/212例1.设计低通 FIR DF, 令归一化截止频率 0.125, N10，20，40，用矩形窗截短。结果如右图c2021/8/213接上例：N10分别用矩形窗和Hamming 窗使用Hamming 窗后，阻带衰减变好，但过渡带变宽。2021/8/214高通：12()0NjjdeHe0cc11sin()

6、 sin()22( )1()2cdNNnnh nNn令：相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在 处的低通滤波器。c2021/8/21512()0NjjdeHelh其它11sin()sin()22( )1()2hldNNnnh nNn令：相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器减去一个截止频率在 处的低通滤波器。lh带通：2021/8/216,lh 其它111sin()sin() sin()222( )1()2lhdNNNnnnh nNn令： ：窗函数，自然截短即是矩形窗。 当然也可以用其它形式的窗函数。( )( ) ( ),0,1,.,dh nh n w

7、nnM( )w n相当于带阻：12()0NjjdeHe2021/8/217例： 理想差分器及其设计( )x t( )y t( )H s( )( )dx ty tdt()H jj ( )H ss( )( ),( )( )sst nTt nTx nx ty ny t( )x n( )y n( )H z令：理想差分器的频率特性：(),jH ej理想微分器的频率特性：2021/8/218 jeHjd)(奇对称，纯虚函数/2( )(/2) ( )( 1)( ) ,0,1,/2dn Mh nh nMw nw nnMnM02/02/)(d理想相频特性11( )( 1)2j nndh nj edn第2类FIR

8、滤波器2021/8/21902/2/02/2/)(MM实际相频特性幅频：1 矩形窗2 哈明窗2021/8/220例： 设计 Hilbert 变换器 0()0jdjHej0:( )2:dn evenh nn oddn00( )2j nj ndjh neded第2类FIR滤波器2021/8/221优点：1. 无稳定性问题； 2. 容易做到线性相位； 3. 可以设计各种特殊类型的滤波器； 4. 方法特别简单。缺点：1. 不易控制边缘频率； 2. 幅频性能不理想； 3. 较长；( )h n 二、 FIR DF 设计的窗函数法的特点：改进：1. 使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。2021/8/

9、222 窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、频谱、自相关函数等都需要截短。对窗函数提出那几方面的要求？关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响：一个域相乘，在另一个域是卷积。)()()(nwnxnxNdeWeXeXjjjN)()(21)()(10(1)/2()( )sin()/sin()22Njj nnj ND ed n eNe矩形窗2021/8/223对窗函数的技术要求：1. 3 dB 带宽 ：主瓣归一化幅度降到 3 dB 时的带宽；或直接用 。令 则 的单位为 ；B04 /BN2 / NB2. 边瓣最大峰值 （ dB）A 3. 边瓣谱峰衰减速度 （ dB/oct）D越小越好！越小

10、越好！越大越好！2021/8/224常用窗函数：1. 矩形窗2. 三角窗Bartlett窗0.89,13dB,6dB/octBAD 3.汉宁窗Hanning4.汉明窗Hamming2 /0,1,/2( )()/2,1n N nNw nw NnnNN1.28,27dB,12dB/octBAD 1.44,32dB,18dB/octBAD 2( )0.50.5cos(),0,1,1nw nnNN2( )0.540.46cos(),0,1,1nw nnNN1.3,43dB,6dB/octBAD 2021/8/225矩形窗4N主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大l三角形（Bartlett）窗8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度

11、较小l汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度小l海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小l布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）12N主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小2021/8/2262021/8/2272021/8/228矩形窗-汉宁窗-布拉克曼窗比较2021/8/2292021/8/2302021/8/2312021/8/232窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-2

12、1-25-44-53-74-80/ 2 /N/ 2 /N7.865阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关六种窗函数基本参数比较2021/8/233给定理想的频率响应函数及技术指标()jdHe,s求出理想的单位抽样响应( )dh n根据阻带衰减选择窗函数( )w n计算频率响应 ，验算指标是否满足要求()jH e/NA根据过渡带宽度确定N值( )( )( )dh nh nw n求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应2021/8/234公式法：()jdHe( )dh n, ( )( )dMMNh nhn当时IFFT法：1( )2jj nddh nHeed( )()Mdrhnh n

13、rM计算其IFFT，得：对 M点等间隔抽样：()jdHe2()jkMdHe2021/8/235/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 50sdB解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 通带截止频率为 ，323 10 (/sec)strad 阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2021/8/2362）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/22

14、0.3psts 2021/8/2372( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）确定N 值250dB3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）6.6N海明窗带宽：2021/8/2385）确定FIR滤波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616nnRnn6）求 ，验证()jH e若不满足，则改变N或窗形状重新设计2021/8/2397.3 FIR DF设计的频率抽样法1( )()2jj nddh nHeed12ccjnedsin()cnn 窗函数法：给定连续的理想

15、的 ，用()jdHe( )( ) ( ),0,1,.,dh nh n w nnM得到因果的、具有线性相位的 FIR DF( )H z()jdHe()jH e逼近2021/8/240()jdHe( )dHk离散化直接赋值12/01( )( )Njnk Ndkh nHk eN计算更容易( )dh n( )h n思考：()jdHe( )dHk相等？10( )( )NnnH zh n z滤波器已设计出2021/8/241可指定：1( )0dfor passbandkHkfor stopbandk如何指定( )dHkcc()jdHe1N 0k( )dHk/2 1N2021/8/242转移函数、频率响应和

16、给定的 的关系：( )dHk12/1011( )( )1NNdjk NkzH zHkNez12001/101( )( )( )Njnk NdnNnkNnnH zhenkNzzH用DFT系数作为权函数来表示设计出的( )H z有何特点2021/8/24312/011()( )1j NNjdjk NjkeH eHkNee1(1)/20( ) ( , )Nj NdkeHk Sk(1)/sin(2/)/2( , )sin(2/)/2j NkNNkNSkeNkN()jdHe( )dHk原抽样N()jH e( )H k再抽样mN有何关系？()( ),0,1,0,1dH lmkHklmNkN2021/8/2

17、441(1)/20()( ) ( , )Njj NdkH eeHk Sk用插值的方法得到所要的滤波器：插值函数权重线性相位应为实数所以：(1)/( )j NkNdHk e如何指定( )dHk2021/8/245 为偶数：N(1)/(1)/0,1,/2 1( )0/2/2 1,1j NkNdj NkNekNHkkNekNN 为奇数：N(1)/( )0,1,1j NkNdHkekN其它赋值方法见书。当然，阻带内应指定为零。另外，为了得到好的幅频响应，在1和0之间加过渡点，如0.5 。2021/8/246窗函数法和频率抽样法 设计的 FIR DF 的频率响应都不理想，即通带不够平，阻带衰减不够大，过

18、渡带过宽，频率边缘不能精确指定。因此我们要寻找新的设计方法。此方法即是Chebyshev 最佳一致逼近 法。该方法在数字信号处理中占有重要的定位，是设计 FIR DF 最理想的方法。由于课时限制，此方法不在课堂上讲解，有兴趣的同学可查阅参考书自行学习。2021/8/247IIR滤波器FIR滤波器lh(n)无限长lh(n)有限长l极点位于z平面任意位置l滤波器阶次低l非线性相位l递归结构 l不能用FFT计算l可用模拟滤波器设计l用于设计规格化的选频滤波器l极点固定在原点l滤波器阶次高得多l可严格的线性相位l一般采用非递归结构l可用FFT计算l设计借助于计算机l可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器

19、2021/8/248与本章内容有关的MATLAB文件：产生窗函数的文件有八个： bartlett（三角窗）; 2. blackman（布莱克曼窗） ; 3. boxcar（矩形窗）; 4. hamming（哈明窗）; 5. hanning（汉宁窗）; 6. triang（三角窗）;7. chebwin（切比雪夫窗）; 8 .kaiser（凯赛窗）; 两端为零两端不为零调用方式都非常简单请见help文件稍为复杂2021/8/2499fir1.m 用“窗函数法”设计FIR DF。 调用格式： （1）b = fir1(N,Wn); (2) b = fir1(N,Wn,high); (3) b = f

20、ir1(N,Wn, stop); N：阶次，滤波器长度为N1； Wn：通带截止频率，其值在01之间，1对应 Fs/2 b: 滤波器系数。2021/8/250对格式（1），若Wn为标量，则设计低通滤波器，若Wn是12的向量，则用来设计带通滤波器，若Wn是1L的向量，则可用来设计L带滤波器。这时，格式（1）要改为: b = fir1(N,Wn, DC-1), 或 b = fir1(N,Wn, DC-0)前者保证第一个带为通带，后者保证第一个带为阻带。 格式（2）用来设计高通滤波器， 格式（3）用来设计带阻滤波器。在上述所有格式中，若不指定窗函数的类型，fir1自动选择Hamming窗。2021/8

21、/25110fir2.m 本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅 频相应的FIR 数字滤波器。其调用格式是： b = fir1(N, F, M); F是频率向量，其值在01之间，M是和F相对应 的所希望的幅频相应。如同fir1, 缺省时自动选用 Hamming窗。例 ：设计一多带滤波器，要求频率在0.20.3, 0.60.8 之间为1，其余处为零。 设计结果如下：2021/8/25205101520253035-0.500.5020406080100-0.500.500.10.20.30.40.500.51N=30,90 时幅频响应响应及理想幅频响应；N=30N=90( )h n()jH e20

22、21/8/25311. remez.m 设计Chebyshev最佳一致逼近FIR滤波器、Hilbert变换器和差分器。调用格式是： (1) b=remez(N, F, A); (2) b=remez(N, F, A, W); （3）b=remez(N,F,A,W,Hilbert); (4) b=remez(N, F, A,W, differentiator)N是给定的滤波器的阶次，b是设计的滤波器的系数，其长度为N1；F是频率向量，A是对应F的各频段上的理想幅频响应，W是各频段上的加权向量。2021/8/254F、A及W的指定方式和例7.4.1和7.4.2所讨论过的一样，唯一的差别是F的范围为01，而非00.5, 1对应抽样频率的一半。需要指出的是，若b的长度为偶数，设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误，因此，最好保证b的长度为奇数，也即N应为偶数。2