特殊平行四边形相关计算与证明(培优专用)(共6页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上特殊平行四边形相关计算与证明常见题型矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个

2、角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形专题一：特殊平行四边形的有关证明一. 矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)性质1: 矩形的四个角都是直角性质2: 矩形的对角线相等且互相平分如右图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法：方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形方法2：有三个角是直角的四边形是矩形方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形方法

3、4： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为 。例2B F CA H DE G 例2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH3厘米，EF4厘米，则边AD的长是_厘米.例3. 如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ）A1.6 B2.5 C3 D3.4例4.已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 例5 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF

4、例6如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长例7、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由 二菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；菱形的判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法2:四边都相等的四边形是菱形例1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4

5、3，则这个菱形的面积是（ ） A12cm2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 例2 .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ） A 16 B 8 C 4 D 1例3如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，则点P到BC的距离是_cm. 例4. 菱形ABCD中，B60°，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ） A B C D 例5  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例6已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、

6、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形例7、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例8、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围.三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相

7、等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形的判定方法：1)有一个角是直角的菱形是正方形；2)有一组邻边相等的矩形是正方形例1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，BCEADF折痕交AD

8、于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN= ; 例2. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BFNMFEDCBA题3、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2例3 如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm例4 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF例5 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q

9、、P点求证：四边形PQMN是正方形例6、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 例7：如图，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且C2E（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BDC30°，AD5，求CD的长四边形动点专题：证明与计算与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等

10、等。例1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE(不需证明)(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF，从而HFE=HEF，再利用平行线的性质，可证得BME=CNE)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，  若EFC=600，连结GD，判断AGD的形状并证明ACBDFENMOEBCDHAFNM12图1图2图3ABCDFGE例2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BE