巧用“旋转”求解一类几何最值问题

1、_巧用“旋转”求解一类几何最值问题【模型1 】如图，正方形ABCD 的边长为2 ，在对角线BD 上有一点P ，求当 PA+PC+PB的值最小时，则这个最小值为多少？【解析】如图，将 ABP 以点 B 为中心逆时针旋转60 o，得到 EBQ ，连接PQ ，则 BPQ 和 ABE 均为等边三角形。设y=PA+PC+PB，则 y=EQ+QP+PC，故当点E 、 Q 、 P、C 在同一条直线上时y 最小，即y 的最小值为CE 的长度。过点E 作 EM BC ，交 CB 延长线于点M，易知， EBM=30 o， EM= 2/2 ， BM= 3 ·2/2= 6/2 ； CE 2=（ 2/2 ）

2、2+（ 6/2+ 2 ） 2精品资料_=4+2 3= （ 3+1 ） 2， CE= 3+1 ，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为3+1 。通过求解过程我们发现，点 P 在不在BD 上与结果并无关系，可以认为点P 为 ABC内部的一点，当 ABC=90o， BA=BC=2 时， PA+PB+PC的最小值仍然是3+1 。于是我们设想当 ABC 为其他特殊角，BA 和 BC 不相等时，PA+PB+PC的最小值可以求得吗？【模型2 】在 ABC 中， BAC=30o， AB=6 ， AC=8 ，点P 为 ABC内一点，连接PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。【解析】如图，将

3、 ABP 以点 A 为中心逆时针旋转60 o，得到 AB P，连接PP 。则 APP 为等边三角形。则PA+PC+PB=BP+PP +PC ，故当PA+PC+PB最小时，点 B 、 P 、 P、 C 在同一条直线上，即PA+PC+PB的最小值为B C 的长度。易知， B AC=30 o+60 o=90 o， AB =AB=6 ， B C=10 ，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为10 。精品资料_【模型3 】在 ABC 中， BAC=60o， AB=2 3 ， AC=4- 3 ，点P 为 ABC内一点，连接 PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。【解析】如图，将 AB

4、P 以点 A 为中心逆时针旋转60 o，得到 AB P，连接PP 。则 APP 为等边三角形。则PA+PC+PB=BP+PP +PC ，故当PA+PC+PB最小时，点 B 、 P 、 P、 C 在同一条直线上，即PA+PB+PC的最小值为B C 的长度。过点 B 作 B D AC ，交 CA 延长线于点D ，易知， B AD=60 o， B D=2 3·3/2=3 ， AD= 3 ； CD=4- 3+ 3=4 ， B C=5 ，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为5 。【模型4 】在 ABC 中， BAC=90 o，AB=2 3 ，AC=3 3-3 ，点 P 为 ABC 内一点，连接 PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。精品资料_【提示】如下图，与【模型1 】情况类似，最小值为30 。【模型5 】在 ABC中， ABC=75o， AB=2 2 ， BC=2 ，点P 为 ABC 内一点，连接 PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。【提示】 如下图，通过旋转可知PA+PC+PB的最小值为CD 的长度。 过点 D 作 DM BC ，交 CB