组合知识点及题型归纳总结

1、组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 单纯组合问题2. 分选问题和选排问题分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数3. 分组问题和分配问题分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数；分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数题型归纳及思路提示题型 1 单纯组合应用问题思路提示把所给问题归结为从 n 个不同元素中取 m 个元素， 可用分类相加、 分布相乘， 也可用总数减去对立数例 12.21 课外活动小组共13 人，其中男生8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5 人主持某项活动，依下列条件各

2、有多少种选法？（ 1）只有一名女生当选；（ 2）两队长当选；（ 3）至少有一名队长当选；（ 4）至多有两名女生当选；（ 5）既要有队长，又要有女生当选 .分析 注意理解组合与排列问题的不同取出的元素有无顺序 .解析 （ 1） 1 名女生， 4 名男生，故共有C51C84350 （种） .（ 2）只需从剩余的11 人中选择 3 人即可，故有C131165 （种） .（ 3 ） 解 法一： （直 接 法 ） 至 少有 一 名 队长 含 有 两 类 ：只 有 一 名队 长 和 两 名 队长 ， 故 共有1423C2C11C 2 C11825 （种） .解法二： （间接法）采用排除法C153C1518

3、25 （种） .（ 4 ）至多两名女生含有3 类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：C52C83C51C84C85966种 .（5）解法一：（直接法）分两类：女队长当选，故有c12种；男队长当选，故至少需要另外41 322314名女生中的一名，故c4c7c4c7c4c7c4 种.综上可知，选法有C42 + C4C3 C42C72C：a C：=790种.解法二：分两类：女队长当选，故有C42种；男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的 4 人都是男生，则有C74 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有1 C11C7 种，故共有C12 + C11

4、 C7 =790 种 .变式 1 某单位要邀请10 位教师中的 6 人参加一个研讨会， 10 人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法 .A.84B.98C.112D.140变式2在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（）种不同取法A.150B.147C.141D.142、，、4 11 1变式3若 A,就称A为有伴关系的集合，集合 M 1-,-,1,2,3,4 ,则M的非空子集中，具有 x3 2有伴关系的集合有（）个.A.15B.16 C.28D. 25例12.22 在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，将x轴上5个点和y轴上3个点连成15条线段，这些

5、线段在第一象限交点最多有（）个.A.30B.35C.20D.15A, B ,在y轴正半轴上3个点中取两点 C, D ,解析 如图12-21所示，在X轴正半轴上5个点中取两点确定四边形 ABCD,其对角线 AD BC P是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个 符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有 C2C； 30个，故选a.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助变式1 AOB的边OA上有A1，A2, A3, A4四个点，OB边上有B1,B2, B3, B4 , B5五个点，共9个点，连接线断ABj 1 i

6、 4,1 j 5 ,若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（）X.A.30B.60C.120D.160变式2在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在 3,0处，则质点共有 种跳法；若经过 m次跳动质点落在 n,0处，m n,m 1, n 0且m n为偶数，则质点共有 种跳法.题型2分选问题和选排问题 思路提示两个集合 A, B , card A n1, card B n2.A选, B选m2,共有Cm1Cn?种方法，选排为选出再排列.例12.23 6 女4男选出4人.（1）女选2,男选2有多少种选法？再安排 4个不同工作，

7、有多少方法？ （ 2）至少有一女 有多少种选法？ （ 3）至多3男有多少选法？ （ 4）男女都有，有多少种选法？ （ 5）选男甲不选女 A,B,有 多少种选法？解析 （ 1） 女选 2， 男选 2 有 C42C6290种选法， 再安排 4个不同工作有C42C62A442160种方法 .132231444（ 2 ）加法：C6 C4C 6 C4C6C4C 6209 ；减法： C10 C4209 .（3）减法：C140C44209 .132231444（ 4 ）加法：C6 C4C 6 C4C6 C4194 ；减法： C10 C6C4194 .（ 5）从10-3=7 人中选 3 人，C7335.评注

8、涉及“至多” 、 “至少”的问题通常用排除法；变式 1 有 7 名翻译， 4 人会英语， 4 人会日语，从中选 2 名英语翻译和 2 名日语翻译，共有多少种选法？变式 2 9 名水手， 6 人会左舵位， 6 人会右舵位. 现选 3 名右舵手和3 名左舵手分坐于 6 个舵位，共有多少种安排方法？变式 3 甲组 5 男 3 女，乙组 6 男 2 女，两组各选 2 人，则选出的 4 人中恰有 1 女，共有（ ）种取法 .A.150B.180C.300D.345例 12.24（2012 浙江理6）若从1,2,3,，9这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）种 .A.60B

9、.63C.65D.66解析 由数字特征可知， 1,3,5,7,9共 5 个奇数， 2,4,6,8共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有C545种取法；两个奇数，两个偶数，有C：C；60种取法；四个均为偶数，有C：1种取法. 共有 66 种不同的取法，故选 D.变式 1 从 1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数， 组成无重复数字的四位数， 其中有 （）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式 2 由数字 0,1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有个（用数字回答） .变式 3 从 1 10

10、这 10个数字中任取 4个数，其中第二个大的数字是7 的取法有（ ）种 .A.18B.20 C.45D.84例 12.25（2012 陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3 局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种 .A.10B.15C.20D.30解析 根据题意可分 3 类：当比赛3场结束时，有2c33=2种不同的情形；当比赛 4场结束时，有2c36种；当比赛5场结2束时，有2C4212种不同情形. 故共有 2 6 12 20种不同的情形. 故选 C.变式 1 5 名乒乓球运动员，有2 名老队员和 3 名新队员，从中选出 3 人排成 1,2,3号

11、参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且1,2号至少一名新队员，有种排法（用数字作答） .变式2已知集合A 5 ,B 1,2 ,C 1,3,4 ,从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标x,y,z ,则共可确定（）个点的坐标.A.33 B.34 C.35 D.36变式3用4张分别标有1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10,则共有 种排法（用数字作答）.题型3平均分组和分配问题思路提示分组定义：把一个非空有限集A按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集分组三原则：一组一组的分出

12、来（与顺序无关）；有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；由若干（m个）元素不为1的组，且元素个数相同，把的结果除以A；.分配定义：把一个非空有限集A的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个.分配问题共四个类型：定向分配问题：各分配去向分配数依次确定去向122m分配兀素（个）111213nm逐方向分配即可，共有分配数：N CncrmC；' Ct （额配法）m m 【1 m 11 i 12i im不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在 m个分配方向上排列（组排法）.信箱问题.3封不同信任意投入4

13、信箱，共有43种投法.分相同元素的分配问题（不定方程组的个数）一一隔板问题X1 X2Xm nX1,X2, , Xm N*,共有Cim；组不同的解.*m, n N ,m n例12.26 按以下要求分配 6本不同的书，各有几种方法？（1）平均分配给甲、乙、丙 3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本， 一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一 份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得 1本；（7）分给甲、乙、 丙3人，每人至少一本.解析（1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙

14、、丙3人，可分三步完成，先从 6本书中选择2本分给甲，其方法有 C；种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有 C42种，最后的两本分给丙，方法有C；种.有分步计数原理，故所求的分配方法有C： C2 C； = 90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的 3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无种分法.序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有A2A；A2A解法三：(先(平均)分组后分配)把 6本书平均分成3份，每份2本的方法有222C6 C4 C2种，再分配33个人的万法有A3种。故有c；cic2A3AC:cjc；种.(2)把6本不同的书分成 3堆，每堆2本，与

15、把6本不同的书分给甲、乙、丙 3人，每人2本的区别在 于，后者相当于把 6本不同的书，平均分成 3堆后，再把每次分得的 3堆书分给甲、乙、丙 3人，因此， 设把6本不同的书，平均分成 3堆的方法有X种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙 3人每人2本的分法有xA3种，即xA3 = C2C42C1,从而xC；C2C；=15种.(3)因为不是均匀分组问题，可以分为3个步骤完成，先在6本书中任取一本，作为一堆，有C6种取法;再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C；种取法；然后从余下的3本书中取3本作为一堆，有C3 种取法，故共有分法 c6 C； C3 =60种;(4)组排可以利用先选后排的步骤完成

16、，第一步，方法有c6c； C；=60种.第二步，其分配有 A3种，c6 C5 C； A3=360种.(5)部分均匀问题，解法一：从中取4本作为一堆的方法有 C：种，剩余2本分成两堆的方法只有 1种，从而有C64 1 15种.C6 c2C1.1本的分法有2=15A2解法二：分三步，第一步从 6本书中取4本，有C64种，第二步，从剩余2本书中取1本，有C2种 方法；第三步，从剩余1本书中取1本，有c1种方法，由分步计数原理，共有 C： c2 c；种方法，但是其中每堆都是1本的两堆是不计算顺序的， 故彳导6本书分成3堆，一堆4,另两堆各种.(6)组排部分均匀问题，可以采用先分组后分配的步骤方法，共有

17、cgG1A2FA；90 种,也可以转化视角，即从6本书中选4本看作一个元素，再与其余 2本作全排列，共有 C64A33 90种.(7)解法一：(分类讨论)因为分给甲、乙、丙 3人，每人至少1本有3种情况：甲、乙、丙每人 2本, 有C；C2C；种分法；甲、乙、丙 3人，一人1本，一人2本，一人3本，有C6C|C3A3 360种分法；甲、乙、丙3人，一人4本，其余两人一人1本，有C：A；种分法，所以不同的分法有C|C2C2+C6C2C3A3+C64A3 = 540 #.解法二： （间接法） 6 本书全部分给3 个人中的 1 人，有C31 种分法； 6 本书全部分给3 人中的 2 人，且每人至少1

18、本，则共有36 种方法；由上可知，6 本书全部分给甲、乙、丙3 人，每人至少1 本，应有36- C31C32 26C21 =540种.评注 解决分配问题的关键是区分是否与顺序有关，对于平均分组要注意顺序，按先分组再分配的原则去计算，平均分组与非平均分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是平均分组还是非平均分组，无序平均分组要除以平均组数的阶乘数，还要充分考虑是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.变式 1 有编号为 1,2,3,4 的 4 张不同的卡片，按照下列方法处理，各有几种分法？（ 1）甲得 2 张，乙得 2 张；（ 2）平

19、均分成2 堆，每堆 2 张 .变式 2 9 个人分到 3 个单位，下面各有多少种分配方法.（ 1）甲单位2 人，乙单位3 人，丙单位4 人；（ 2）每个单位3 人；（ 3）每个单位各2 人，一单位5 人 .例 12.27 （2012 山东理 11）现有 16 张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4 张. 从中任取 3张，要求这3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张 . 不同取法的种数为（ ） .A.232B.252C.472D.484解析 利用分类计数原理解决本题 .12第 1 类，含一张红色卡片，有C41 C122264种不同的取法；第 2 类，不含红色卡片，有C132

20、3C43208 种不同的取法. 共有 264 208 472 （种）不同的取法.故选C.变式 1 将 4 个相同的白球， 5 个相同的黑球， 6 个相同的红球放入 4 个不同的盒子中的 3 个， 使 4 个盒子中的1 个为空，其他盒子中球色齐全，共有种不同方法（用数字作答） .变式 2 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友1 本，则不同的赠送方法有（ ）种 . A.4B.10C.18D.20变式 3 将标号为 1,2,3,4,5,6的 6张卡片放入 3个不同的信封中， 若每个信封放2 张， 其中标号 1,2的卡片放入同一信封，则不同的方

21、法共有（ ） .A.4 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种例 12.28 8 个球队中有甲、乙两个强队，现把8个球队平均分成两组，如下各有多少种分法？（ 1）甲、乙不在同组；（ 2 ）甲、乙在同组.解析 （ 1）甲、乙不在同组，看为 6 个非强队平均分成两组，一组为“甲组” ，一组“乙组” . 定序分组，共 C63C33C6320种方法 .（2）甲、乙同组，看为把6 个非强队分为一组2（与甲、乙并为4） ，一组 4，共有C62C22C6215种方法.变式1把4名男乒乓球选手和 4名女乒乓球选手同时平均分成两组，进行混合双打比赛，共有 种不同的分配方法（混合双打是一男一女对一男一女，用

22、数字作答）变式2 （2012新课标理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共（）.A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种变式3 甲、乙、丙、丁 4个公司承包8项工程，甲承包3项，乙承包1项，丙、丁各承包2项，共有（）种不同的承包方案.A.3360 B.2240 C.1680 D.1120例12.29 6个不同的小球放入 5个小盒，按下面要求各有多少种放法？（1）每盒至少1球；（2）恰有1盒空；（3）任意分.解析（1）先分组6=2+1 + 1 + 1+1,分组方法有 C（2种.五组在五盒排列，共 C

23、2A5 1800种放法.(2)先分组 6=3+1 + 1+1=2+2+1+1, C3Cf2C22265,四组在5盒排列，共65 A547800种.（3） 56 15625 种.变式1某外商计划在4个候选城市投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目部超过2个，则该外商共有（）种投资方案.A.16B.36C.42 D.60变式2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子中，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒的编号，共有（）种放法.A.10B.12C.36D.52变式3把20个相同的小球放入 6个盒中.（1）每盒至少一球有多少种方法？ （2）每盒至少二球有多少种方法？ （3）随便放（即可有若干盒中无球）有