第5讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ(学生)

1、第五讲.几何问题之角平分线题型I【教学目标】1 .掌握角平分线的性质和判定；2 .综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3 .综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题;4 .学习分析问题、解决问题的能力。【知识、方法梳理】：一.知识要点详解：1 .角平分线的性质定理：(1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。(2)定理的数学表示：如图 1,已知OE是 AOB的平分线，F是OE上一点，若CF OA 于点 C , DF OB 于点 D,则 CF DF。(3)定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；(4)角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所

2、在的直线。2 .角平分线性质定理的逆定理：(1)角平分线性质定理的逆定理： 在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(2)定理的数学表示：如图2,已知点F在 AOB的内部，且FC OA于C, FD OB于D ,若FD FC ,则点F在 AOB的平分线上。(3)定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。(4)注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。3 .关于三角形三条角平分线的定理：(1)关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。定理的数学表示：如图3,如果AP、BQ、CR分别是 ABC的内角 BAC、

3、 ABC、ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点I ;若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F ,则DI EI FI。定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题。(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。4 .关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：(1)会作已知线段的垂直平分线；(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：(如下图示)1 .已知角平分线，构造全等三角形；2 .已知一个点到角的一边的距离，

4、过这个点作另一边的垂线段；3 .已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。.角平分线性质定理之联想:1 .由角平分线的性质联想两线段相等；2 .由角平分线的轴对称性构造全等三角形；3 .过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。【典例精讲】模块一.角平分线的对称性:基本图形例1.如图，AD是 ABC的角平分线，DE AB, DF AC ,垂足分别是 E, F。连接EF , 交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。例2.如图，BE CF, DF AC于F, DE AB于E , BF和CE交于点D。 求证：AD平分 BAC 。例3.如图，在 ABC中， C 9

5、0o, AD平分 BAC ,BD DF。求证：CF EB。DE AB 于 E ,F在AC上,例4.如图，已知在 ABC中，BD DC ,12。求证： AD平分 BAC。例5.如图，已知在四边形 ABCD中， B D 180°, AC平分 BAD, CE AD, E为 垂足。求证：AB AD 2AE 。例 6.如图 1, Rt ABC 中， ACB 90°, CD AB,垂足为 D。AF 平分 CAB,交CD于点E ,交CB于点F。(1)求证：CE CF。(2)将图2中的 ADE沿AB向右平移到 ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图2所示。试猜想：BE与CF有

6、怎样的数量关系？请证明你的结论。例7. (1)如图1所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的 任意一点，试比较 PB PC与AB AC的大小，并说明理由。(2)如图2所示，AD是 ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC PB与AC AB的大小，并说明理由。A【双基训练】1.如图，12, PD OA于D, PE OB于E ,下列结论中错误的是（）(A). PD PE(B). OD OE (C). DPO EPO (C). PD OD2.如图,ABC 中,ABC 120°, C 26°,且 DE AB, DF AC , DE DF求 ADC的度

7、数。3.已知：12, 34,求证：AP平分 BAC o4 .如图，D是 ABC的外角 ACE的平分线上一点， DFAC于FBC的延长线于E。求证:CE CF o5 .如图，在 ABC中，EF AB 于 F , EGD为BC的中点，DE BC交AC交AC延长线于G 。求证:BAC的平分线AE于E, BF6.如图，ABCD,B 90°, E是BC的中点，DE平分 ADC。求证：AE平分 DAB。【纵向应用】7.如图，F, G是OA上两点，M, N是OB上两点，且FG MN , S PFG S PMN，试问点P是否在 AOB的平分线上?8.如图，在 ABC 中，AB 3AC,BAC的平分线

8、交BC于点D ,过点B作BE AD ,垂足为E ,求证：AD DE .【横向拓展】9.求证：三角形的三条角平分线相交于一点。练习题答案【双基训练】1 .答案：D2 .答案：137°PF。3 .【提示】过点 P作PE AB、PF AC,利用角平分线性质可得 PE4 .【证明】QCD是 ACE的平分线，DF AC于F , DE BC于EDEC DFC 90°, DE DF在 Rt DEC 和 Rt DFC 中DC DCQ DE DFRt DEC Rt DFCCE CF5 .【证明】连接 BE、EC,由DE BC, BD DC , BE EC , AE ?平分 BAC, EF A

9、B , EG AC , EF EGRt BFERt CGE , BF CG6.【证明：过点 E作EF AD于FQ DE 平分 ADC , EC DC , EF FD CE EF又Q CE BE EF BE又 Q EF AF , BE AB二.AE 平分 DAB。【纵向应用】7.【证明：过点 P作PD OA于D, PE OB于E11Q Spfg -FG PD ， Spmn -MN PE , 22而 S PFG S PMN. 1 一_ 1_FG PD -MN PE22又Q FG MN PD PE又 Q PD OA 于 D , PE OB 于 E P在 AOB的平分线上。8.证明：如下图，延长 BE交AC延长线于F ,取CF中点M ,连接EM .QAD 平分 BAC, AE BE, AE AE,BAE FAE ASA .E是BF中点，AB AF .QM是CF中点，ME / BC.Q AB 3AC , AF 3AC.AC CM , CD / ME , D 是 AE 中点.AD DE