非等差、等比数列求和的几种方法

1、非等差、等比数列求和的几种方法一般的，数列求和应从通项入手，若无通项，先求 通项，然后通过对通项变形”转化为与特殊数列 有关或具 备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和。下面谈谈数列求和的几种常用方法一、分组转化法求和有一类数列，既不是等差数列,也不是等比数列。若将其每一项拆开，可分为几个等差、 等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可。像这样 的数列求和 方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是 将通项变形。例 1,已知数列 1, 1+3, 1+3+32,，1+3+32+ +3n,，该数列的前Sn项和。思路点拨：由题设可知，该数列的通项公式为：an= 1+3+32+十3n= (3

2、nT),而数列3n是等 比数列，1是常数列，于是可将该数列的每一项拆开 再重新组合，从而转化为等比和常数列求和。精解详析：由题设可知，该数列的通项公式为：an=l+3+32+3n=二(3nl),贝！ISn= (3-1)+(32-1) + (33-1) +(3n-l)= (3+32+33+-+3n) 一 (1+1+1 +-+1)-n二、裂项相消法求和对于裂项后明显有能够相消的项 的一类数列，在求和时常用“裂项相消法”。用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定 要是同一数列相邻的两项，即这两项的结论应一致。例2 数列an:,+ + , + + +, ，那么数列bn 二

3、前n项和为：o思路点拨：由己知条件可求得an,由an简化得bn,从 而考察数列bn的特征，进而运用裂项相消法求 得数列bn)的前n项和。</ r»精解详析：T an二二二bn-二二4 (一)Sn=4 (1 + + + + )=4(1-)例3.数列an的通项公式是an=。若前n项和为8, 则项数n=. o思路点拨：已知了数列an的通项公式，则可先 观察该数列通项公式的特征,对其进行变形化简,再求和，从何求出项数no解详析：t an= n十1一n/. Sn=a 1 +a2十* +an二(2-1) + ( 3- 2) + + ( n+l n)= n+1-l令 n+1-l=8n=80o

4、三、错位相减法求和如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求 数列an?bn的前n项和时，一般是在和式的两边同乘 以等比数列bn的公比，然后作差求解，这样的方法 称之为错位相减法例4. (2010山东高考)设数列an满足 al+3a2+32a3+3riLlan=(n N+)。(1)求数列an的通项公式。(2)设bn二,求数列bn的前n项和Sno » « C.七 力i9 V1 .于« »思路点拨：(1)将已知等式中的n换为n-1,得另一等式，两式 相减即得ano(2)利用通项公式an,先简化bn,考虑运用错位相 减法求Sn。精解详析：(1 ) al+3a2+32a3书+3nla n二.al+3a2+32a3+ +3n-2an-仁(n2) 一，二-，得 3n-lan=an=在中，n=l al匕an= (n N+)(2) v bn=,二 bn=n?3n Sn = 3+2?32+3?33+十 n?3n 3Sn=32+2?33+3?34+ (n-1)