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文档简介
1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 P x x22x0, Q x 1 x2 ,则 (eR P) I QA. 0,1)B.(0, 2C.(1,2)D.1,22. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm) , 则该几何体的体积是A. 8cm3B.12cm3C.32 cm3D.40 cm3333. 已知 an 是等差数列, 公差 d 不为零, 前 n 项和是 Sn ,若 a3, a4 , a8 成等比数列,则A. a1 d0, dS40B.a1d0, dS40
2、C.a1d0, dS40D.a1d0, dS404. 命题“nN * , f (n)N *且 f (n)n 的否定形式是A.n N * , f (n) N * 且 f (n) nB.n N * , f (n) N * 或 f (n) nn0*且00*0C.f ( n )n D.f ( n ) n5. 如图,设抛物线 y2 4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C ,其中点 A, B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上,则BCF与ACF 的面积之比是BF12A.B.BFAF12AFBF12C.D.BFAF12AF11116.设 A, B 是有限集,定义:d ( A,
3、B)card ( A U B)card ( A I B) ,其中 card ( A) 表示有限集A中的元素个数 .命题:对任意有限集A, B ,“ AB ”是“ d ( A, B)0 ”的充分必要条件;命题:对任意有限集A, B, C , d ( A, C )d ( A, B)d ( B, C ) .A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C. 命题成立,命题不成立D.命题不成立,命题成立7.存在函数f (x) 满足,对任意xR 都有A.f (sin 2x)sin xC.f ( x21)x1B.f (sin 2 x)x2xD.f ( x22x)x18.如图,已知ABC, D是 AB的中点,沿
4、直线CD 将ACD 折成A CD ,所成二面角ACDB 的平面角为,则A.A DBB.A DBC.A CBD.A CBa二、填空题:本大题共7 小题,多空题每题6 分,单空题每题4 分,共 36 分。9.双曲线x2y21 的焦距是,渐近线方程是2x23, x110.已知函数 f ( x)x, f ( x) 的最小值是,则 f ( f ( 3)lg( x21),x111.函数 f ( x)sin 2 xsin x cos x1 的最小正周期是,单调递减区间是12.若 alog 4 3 ,则 2a2 a13.如图,三棱锥 ABCD 中, ABAC BD CD3 ,ADBC2 ,点 M , N 分别
5、是 AD , BC 的中点,则异面直线AN , CM 所成的角的余弦值是14.若实数 x, y 满足 x2y21,则 2x y2 6x 3y 的最小值是15. 已知 e1,e21,若空间向量 b 满足 bge1 2, bge25是空间单位向量, e1 ge2,且对于任意22x, yR , | b ( xe1 ye2 ) | | b ( x0e1y0 e2 ) | 1(x0 , y0 R) ,则 x0, y0,| b |三、解答题:本大题共5 小题,共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本题满分14 分)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 A=,b
6、2a2 =1c2 .42()求 tanC 的值;()若ABC 的面积为 7,求 b 的值。17.(本题满分15 分)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中, BAC90o ,AB AC2, A1A4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是B1C1 的中点 .()证明:A1 D平面 A1BC ;()求二面角A1BD B1 的平面角的余弦值 .18. (本题满分15 分)已知函数f (x)x2axb(a, bR) ,记 M (a,b) 是 | f ( x) | 在区间 -1,1上的最大值。()证明:当 | a |2 时, M (a, b)2;()当 a, b 满足 M (a, b
7、)2 ,求 | a | b | 的最大值 .19. (本题满分15 分)已知椭圆 x2y21上两个不同的点A,B 关2于直线 y mx1对称2()求实数m 的取值范围;()求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) 20. (本题满分 15分)已知数列 an满足 a1 =1 且 an 1 = an - an2( nN * )2()证明:1an2 ( nN* );an1()设数列21Sn1( nN*an的前 n 项和为 Sn , 证明n2( n).2( n 2)1)2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分,满分40 分。
8、1.C2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6 分,单空题每题4 分,共 36 分。9. 23, y2 x10. 0,2 2 311. ,3k,7k ( k Z )28812.4313.714.315.1,2,2238三、解答题:本大题共5 小题,共74 分16. 本体主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14 分。()由 b2a21 c2及正弦定理得211sin 2 Bsin2 C22所以cos 2Bsin 2 C又由 A,即B C3,得44cos2 Bsin 2C 2sin C cosC解得tan
9、C2()由 tanC2 , C(0,) 得sin C2 5 ,cos C555又因为 sin B sin( A C )sin(C) ,所以43 10sin B10由正弦定理得c 2 2 b ,3又因为 A, 1 bc sin A3 ,所以42bc 62 ,故b 317. 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。()设 E 为BC 的中点,由题意得A1E 平面 ABC ,所以 A1E AE .因为 ABAC ,所以 AEBC .故 AE 平面 A1BC .由 D , E 分别为 B1C1 , BC 的中点,得DE / B1B 且
10、DEB1B ,从而 DE / A1A 且 DEA1 A ,所以 A1 AED 为平行四边形 .故 A1D/AE.又因为AE平面A1 BC ,所以A1D平面A1BC.()方法一:作 A1FBD且A1F I BDF,连结B1F.由 AEEB2,A1 EAA1 EB90o ,得A1BA1 A4.A1 DB1D, A1BB1B ,得A1DB与B1DB 全等 .由 A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1 为二面角A1BDB1 的平面角.由 A D2,AB4,DA B 90o ,得111BD32, A1FB1F4,3由余弦定理得cosA1FB11.8方法二:以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA
11、, EB 为 x, y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz ,如图所示 .由题意知各点坐标如下:A1 (0,0,14) , B(0,2,0), D (2,0,14), B1(2,2, 14) .uuuruuuruuuur因此 A1 B (0, 2,14), BD (2,2,14), DB1(0,2,0) .设平面 A1BD 的法向量为 m( x1 , y1, z1 ) ,平面 B1BD 的法向量为 n ( x2 , y2 , z2 ) .uuurmgA1 B0,2 y114z10,可取由uuur即g2x12y114 z10,m BD 0,m(0,7,1)uuuurngDB10,2 y20,
12、可取由由uuur即g0,2x22y214z20,n BDn(7,0,1)于是| cosm, n| mgn |1g.| m | | n |8由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角A1BDB1 的平面角的余弦值为1.818. 本题主要考察函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力。满分15 分。()由 f ( x)( xa )2ba2,得对称轴为直线xa .242由 |a | 2,得 |a |1,故 f ( x) 在 1,1上单调,所以2M (a, b)max| f (1) |,| f (1)| .当 a2 时,由f (1)f ( 1
13、)2a4 ,得max f (1),f ( 1)2 ,即M (a,b)2 .当 a2 时,由f (1)f ( 1)2a4 ,得max f ( 1),f (1)2 ,即M (a,b)2 .综上,当 | a |2 时, M ( a, b)2 .()由 M (a,b)2 得|1ab | | f (1) |2,|1ab | | f ( 1) |2 ,故 | ab | 3,| ab | 3 ,由 | a | ab |, ab0,| b |b |,ab得| a0,| a | b |3 .当 a2, b1 时, | a | |b |3 ,且 | x22x 1| 在 1,1上最大值为2,即 M (2, 1) 2
14、.所以| a | b |的最大值为 3.19. 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分。()由题意知m0 ,可设直线AB 的方程为 y1 x b .m由x2y21,2y 1 x b, m消去 y ,得( 1 12 )x22b x b2 1 0 .2mm因为直线 y1xb 与椭圆x2y21有两个不同的交点,所以m22b2240 ,m2将 AB 中点 M ( 2mb, m2b) 代入直线方程 y mx1解得m22 m222bm222m2由得66m 或 m33()令 t1(6 ,0) U (0,6),则m222t 42t 23|AB|t 21g12,t 22且 O 到直线 AB 的距离为t21d22t1设AOB 的面积为 S(t ) ,所以S(t)1 | AB |gd12(t 2 1)222,2222当且仅当 t 21时,等号成立 .2故 AOB 面积的最大值为2 .220. 本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力。满分15 分。()由题意得an 1anan20
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