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1、2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题(本题满分60分,前4题每小题7分,后4小题每小题8分)1如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 2已知正整数满足:,则的最小可能值是 3若,则 4已知关于的方程仅有一个实数解,则实数的取值范围是 5如图,是边长为的正方形的内接三角形,已知,则 6方程的非负整数解 7一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答)8数列定义如下:.若,则正整数的最小值
2、为 二、解答题9(本题满分14分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC及BD的夹角,记直线AB及CD的距离为求的表达式,并写出x的取值范围10(本题满分14分)给定实数,求函数的最小值11(本题满分16分)正实数满足;求证:(1);(2)12(本题满分16分)给定整数,记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值:;A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和(1)求的值;(2)求证:2012上海市高中数学竞赛(新知杯)参考答案1、 2、92 3、11 4、5、 6、 7、 8、40259解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 (2分)在OBC中,由余弦定理,
3、所以 , 由,得 (5分)所以:,故:, 所以 : (10分)由可得,故因为,结合,可得:,解得(结合) 综上所述, (14分)10解 当时,此时:,且当时不等式等号成立,故 (6分)当时,此时“耐克”函数在内是递减,故此时 综上所述, (14分)11证 (1)记,由平均不等式: (4分)于是 ,所以 ,而,所以,即,从而 (10分) (2)又因为:,所以 ,故 (16分)12解 (1)设集合,且A满足(a),(b)则由于不满足(b),故又 都不满足 (b),故而集合满足(a),(b),所以 (6分) (2)首先证明: 事实上,若,满足(a),(b),且A的元素个数为令,由于,故又,所以,集合,且B满足(a),(b)从而: (10分)其次证明: 事实上,设满足(a),(b),且A的元素个数为令,由于 ,所以
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