三相变压器建模与仿真研究设计

1、三相变压器建模及仿真研究三相变压器的建模与仿真（Matlab）摘 要研究三相变压器地暂态过程，建立一个完善的变压器仿真模型，对变压器保护方案的设计具有非常重要地意义。本文在Matlab的编程环境下，分析了当前的变压器仿真的方法。在单相情况下，分析了在饱和和不饱和的励磁涌流现象，和单相励磁涌流的特征。在三相情况下，在用分段拟和加曲线压缩法的基础上，分别用两条修正的反正切函数，和两条修正的反正切函数加上两段模拟饱和情况的直线两种方法建立了Yd11、Ynd11、Yny0和Yy0四种最常用接线方式下三相变压器的数学仿真模型，并在Matlab下仿真实现。通过对三相励磁涌流和磁滞回环波形分析，三相励磁涌流

2、的特征分析，总结出影响三相变压器励磁涌流地主要因素。最后，分析了两种方法的优劣，建立比较完善的变压器仿真模型。建立比较完善的变压器仿真模型，利用MATLAB对变压器的励磁涌流、内部故障和外部故障进行仿真。12 本论文的主要工作针对前面所讨论的三相变压器建模问题，本论文进行了重点、深入的研究，进行了理论分析和仿真计算，并提出了相对较好地变压器仿真模型。本论文主要包括一下几个方面：（1）简要分析了当前的变压器仿真的方法，比较了相互之间的优缺点。（2）在单相情况下，分析了在饱和和不饱和的励磁涌流现象，分析了单相励磁涌流的特征。单相程序在Matlab上仿真实现。（3）在三相情况下，在用分段拟和加曲线压

3、缩法的基础上，分别用两条修正的反正切函数，和两条修正的反正切函数加上两段模拟饱和情况的直线两种方法建立了Yd11、Ynd11、Yny0和Yy0四种最常用接线方式下三相变压器的数学仿真模型，并在Matlab下仿真实现。通过对三相励磁涌流和磁滞回环波形分析，三相励磁涌流的特征分析，总结出影响三相变压器励磁涌流地主要因素。最后，分析了两种方法的优劣，建立比较完善的变压器仿真模型。第二章 变压器的基本原理2.1变压器的工作原理变压器是一种静止的电器，用于将一种形式的交流电能改变成另一种形式的交流电能，其形式的改变是多种多样的。既可以改变电压、电流；也可以改变等效阻抗或电源相数、频率等。图11 变压器示

4、意图以单相为例，研究变压器的基本工作原理。图11所示为一台变压器的示意图。它由铁芯和线圈组成。接电源的原边线圈成为初级线圈；接负载的副边线圈称次级线圈。设原、副边线圈匝数分别为、。根据电磁感应现象，电能可从原边输送到副边，但原、副边具有不同的电压和电流。变压器内部的磁场分布的情况是非常复杂的，但是我们总可以把它们折算为等效的两部分磁通。其中一部分磁通沿铁芯闭合，同时与原、副绕组相链，是变压器能量变换和传递的主要因素，称为主磁通或互感磁通；另一部分磁通主要是通过非磁性介质（空气或油），它仅与原绕组全部相链（只与原绕组部分匝数相链的露刺痛已折算为全部原绕组相链而数值减少的等效磁通），故称它为原绕组

5、的漏磁通。根据电磁感应定律，当磁通和随时间变化时，分别在它们所交链的绕组内感应电动势： （2.1）式中、是主磁通在原、副绕组所感应的电动势瞬时值；是原绕组漏磁通在原边感应的电动势瞬时值。所以，设变压器的变比为，则,。所以利用变压器可以在传输电能的同时改变其电压和电流。2.2 三相变压器的等效电路及连接组问题现在电力系统都采用三相制，所以实际上使用得最广泛的是三相变压。从运行原理来看，三相变压器在对称负载下运行时，各相的电压、电流大小相等，相位彼此互差，故可任取一相分析，即三相问题可简化为单相问题。根据变压器原、副绕组电动势的相位关系，把变压器绕组的连接分成各种不同组号称为绕组的连接组。在不同的

6、连接组下，三相变压器的等效电路略有不同。现以Yd11连接组为例，做三相等效电路等效电路图如图15所示。图15 Yd11连接组三相等效电路在三相变压器中，用大写字母A、B、C表示高压绕组的手段，用X、Y、Z表示高压绕组的末端；低压绕组首、末端则应用对应的小写字母a、b、c和x、y、z表示。星形连接的中点用字母O表示。不论原绕组或副绕组，我国主要采用星形和三角形两种连接方式。为了形象地表示原、副边电动势相位地关系，采用所谓的时钟表示法：即把高压绕组的电动势向量作为时钟的长针并指向12，低压绕组的电动势相量作为时钟的短针，其所指数字作为单相变压器连接组的组好。在我国生产的变压器中，以Yd11、Ynd

7、11、Yny0、Yy0（n表示中性点接地）四种连接组为主。第三章 变压器仿真的方法 从20世纪60年代开始，人们就花费大量的精力去解决变压器的计算机模型问题。由于变压器的非线性特性，这被证明是困难的课题。不像线性系统一样，没有一般的解决方案可以解决非线性方程。即便是数字式的解决方案，也只能很困难的解决某一类的非线性方程，在稳定的状态下，存在好的变压器模型。然而，在瞬变的状态下，还没有完全令人满意的变压器模型。变压器的性能主要取决于其铁心的磁化特性，即铁心的磁滞回环，因此对铁心磁滞回环的拟合是最基础、最重要的工作。在变压器特性的数值仿真计算中，对磁滞回环的拟合提出了以下几个要求：具有较高的精度；

8、在大范围内不分段，具有光滑性，否则会引起变压器特性仿真计算过程的不稳定；具有稠密性，因为通过实验只能得到有限条磁化曲线，而变压器仿真中需要知道BH平面中的任意一条曲线。由于铁心的饱和特性、磁滞现象等非线性因素的影响，很难用数学模型精确地描述铁心的动态磁化过程。变压器通过铁心磁场作用建立一次侧和二次侧的电磁联系。因此变压器暂态建模的关键是对铁心动态磁化过程的数学描述。根据对磁化特性曲线描述的不同，现有研究用的变压器模型大致有下列4种：（1）模型A基于基本励磁曲线的静态模型；（2）模型B基于暂态励磁特性曲线的动态模型； （3）模型C基于暂态励磁特性曲线的非线性时域等效电路模型；（4）模型D基于AN

9、N的变斜率BP算法创建的模型。3.1 基于基本励磁曲线的静态模型基于基本励磁曲线的变压器模型只考虑饱和引起的非线性，即采用如图21所示的基本磁化曲线作为变压器暂态工作特性曲线进行二次侧电流的计算。等效电路图如图22所示。图21 基本励磁曲线图22 静态模型由磁通守恒和KCL定律可以得到以下基本方程组： （2.1）式中为一次侧电流；为励磁电流；为二次侧电流；为主磁通；、为一、二次侧匝数；、为二次侧负载。由方程组（21）中的第一和第三个方程得到，将代入方程组第二方程，整理可得： （2.2）因和，故有，代入式（2.2）可得： （2.3）用四阶龙格库塔法或隐式梯形公式就可以求解一阶常微分方程式（22）

10、或式（23），从而建立了变压器仿真数学模型。3.2基于暂态磁化特性曲线的动态模型这类变压器模型建立在对动态磁化特性曲线的数学描述之上。暂态磁化特性曲线的描述，最常用的是采用极限回环压缩法。即假定铁心磁化曲线的主磁滞回环和次磁滞回环具有相似性，由主磁滞回环压缩生成次磁滞回环。例如用反正切函数拟合主磁滞回环，其表达式为： （2.4）式中、和为常数。在上升轨迹和下降轨迹的转折点将主磁滞回环按压缩系数向直线压缩生成次级回环的下降支或上升支。图23所示为动态磁化特性曲线，其中，为极限磁滞回环，(，)为转折点(假设从上升变成下降)，则为经过该点的次级回环下降支。在，形成的回环内的部分为经过该转折点的暂态磁

11、化轨迹。图23 局部磁滞回环轨迹3.3非线性时域等效电路模型该模型用几个电路元件分别模拟造成变压器非线性的因素。因为引起变压器非线性的主要因素有饱和、涡流和磁滞，所以用三个电路元件模拟这些因素，并将各元件流过的电流线性叠加，得到励磁电流。其表达式为： (2.5)式中 为磁化电流；为磁滞电流；为涡流电流。因为剔除了其它影响因素而单独进行考虑，故可以用无磁滞曲线(基本磁化曲线)来表示，这是一个仅仅与磁链有关的表达式。其表达式可以表示为 (2.6) 磁滞是由交变电流产生，其大小和电压以及频率有关。但实验表明，在50Hz到400Hz内，磁滞随频率的变化而改变得很小，故频率的影响一般用一个常数表示。磁滞

12、电流部分的表达式为： (2.7) 其中为斯坦梅茨(Steinmetz)系数，由铁磁材料的特性决定。设定为在50Hz下的一个常数。 涡流电流和磁通、磁通变化率以及频率有关。但是在电流频率不超过400Hz的情况下，涡流电流不会因频率改变而显著变化。因此可以不考虑频率变化对涡流的影响，表达式如下： （2.8） 综合以上各式可得到考虑了饱和、磁滞和涡流影响的变压器励磁电流暂态数学模型，其表达式为：令 则有 （2.9）其等效电路如图24所示。图24 非线性时域等效电路模型第四章 三相变压器的仿真电力系统中的变压器通常是三相的，而三相变压器的磁路结构型式、绕组接线方式(Y结、D结)、中性点接地与否等多种因

13、素对励磁涌流的大小和波形有着较大影响，故本文仅对电力系统中最常见的Yd11、Ynd11、Yny0、Yy0（n表示中性点接地）接线的三相三柱心式变压器进行仿真研究。为简化分析，在研究变压器空载合闸哲态过程时忽略铁心的损耗，认为励磁支路为纯电感支路。4. 1 三相变压器仿真的数学模型 首先对各种不同连接组情况下，根据电路原理的基础知识，建立三相变压器的数学模型。4.1.1三相变压器Yd11连接组模式图11为Yd11接线的变压器的三相接线图和单相等效电路。图41 Yd11 接线得变压器空载合闸时三项接线图和单相等效电路当Y侧空载合闸后其暂态方程如下： （4.1） 式中，uN为Y侧中性点电压，其它符号

14、见图31。考虑到一次为Y接线，二次为D接线，所以有： (4.2) (4.3)而uaubuc0，将式（4.1）三式相加并计及式（4.2）、式（4.3），化简得： （4.4）又由单相等效电路可知： （4.5）式（4.5）三式相加得到： （4.6）而 （4.7）式中 电流的导数。将式（4.4）、（4.5）、（4.6）、（4.7）代入方程式（4.1），计及一、二次绕组漏抗近似相等（r1rD，L1=LD）,经化简得：若忽略系统阻抗，即rs0，Ls0，Ls00，则上式可化简为： （4.8）式中：动态感应系数 ，电源内部等值正序电感与零序电感 ，变压器铁心截面积与各相磁路长度 ，一次绕组漏抗和各相匝数 ，电

15、流，的导数4.1.2三相变压器Ynd11连接组模式Ynd11接线的三相变压器Yn侧空载合闸时，其暂态方程为： (4.9)考虑到一次为Yn接线，二次为D接线，所以： (4.10) (4.11)又，则式（4.9）三式相加得： (4.12)同样将式（4.5）三式相加得： (4.13)将式（4.5）、（4.7）、（4.13）代入方程式（4.9）并联立式（4.12），若不计系统阻抗且认为变压器一、二次绕组漏抗相等，则可得其空载合闸状态方程： (4.14)4.1.3三相变压器Yny0连接组模式Yny0接线的三相变压器Yn侧空载合闸时，其暂态方程与Ynd11接线一样，如式（4.9）所示。因为一次为Yn接线，

16、二次为y接线，所以 (4.15) 因而由单相等效电路可得： , , (4.16)则 (4.17)同样，根据类似的推导过程并计及前述各假设，可得该接线三相变压器空载合闸状态方程： (4.18)4.1.4三相变压器Yy0连接组模式Yy0接线的三相变压器空载合闸时，其暂态方程与Ynd11接线一样，同样如式（4.1）所示。考虑到一次为Y接线，二次为y接线，则： (4.19)从而可得：, , 又，将式（4.1）三式相加并计及式（4.19），化简得： (4.20)同样，根据类似的推导过程，可得Yy0接线得三相变压器空载合闸状态方程为： (4.21)至此，式（4.8）、（4.14）、（4.18）、（4.21

17、）和各相动态磁化曲线及构成了Yd11、Ynd11、Yny0、Yy0接线三相变压一次侧空载合闸的基本方程。4.2电源电压的描述根据前述假设，电源电压u（相电压）可用式（4.22）描述。 (4.22)式中，Um为电源线电压峰值，取1.1倍额定电压。为A相空载合闸初相角。在用Matlab仿真得过程中，的设定并非是一个可以输入的变量，如果需要改变初相角，可在程序内部直接改变相电压u。4.3铁心动态磁化过程简述根据试验所得到变压器铁心磁化曲线数据分段拟和其极限磁滞回环是我们的基本原理。由试验所得到的数据可以帮助我们界定程序中一些参数，而如何选择界定函数将很大程度上影响试验仿真得结果。在这次的试验计划中，

18、我们将选择两种方式（即选择不同的函数逼近）进行仿真，然后分别讨论两种方案的优劣，得出最佳的方案。第一种是比较简单的模式，基本上不考虑曲线进入饱和区的情况（尽管饱和区是不可回避的问题，但这样做亦不失其合理性，这一点将在后面被讨论到。），采用两条修正的反正切函数做为极限磁滞回环。然后，对于主区间内的动态磁滞回环，根据不同的转折点和运行趋势对极限磁滞回环向极限磁滞回环拟合。极限磁滞回环的数学描述由于和第二种情况相近，只是将第二种方式的饱和区考虑在外，所以具体方法将不再赘述，可以参考4.1.3.1部分。对于暂态局部磁滞回环的描述，具体方法可以参考4.1.3.2部分。对于剩磁的处理的处理，具体方法可以参

19、考4.1.3.3。第二种是比较复杂得模式，需要在第一种的情况下考虑饱和的问题。这种方法不但描述了铁心的饱和特性，而且能够反映铁心的磁滞特性。基本原理是，首先，格局试验所得的变压器铁心磁化曲线数据分段拟合其极限磁滞回环：（1）对于未饱和时主区间内的两条极限磁滞回环，采用修正的反正切函数加以拟合；（2）对于饱和后主区间外的磁化曲线，认为其已进入线性可逆区（直线段），采用两条平行的直线段加以描述。然后，对于主区间内的动态磁滞回环，我们根据其不同的转折点和运行趋势对极限磁滞回环向饱和后的两条平行直线进行压缩，就可得变压器铁心实际运行的动态磁化轨迹。下面，就以第二种方法为例，详细的解释一下极限磁滞回环的

20、描述、暂态局部磁滞回环的描述及剩磁的处理等等问题。4.3.1极限磁滞回环的数学描述A主区间内【HZ,HZ】极限磁滞回环可用下式所示的修正反正切函数表示。 (4.23) (4.24)式中，参数、可根据实测磁滞回环数据由非线性的曲线拟合程序求得。因此： (4.25) (4.26)B饱和后的磁化曲线（|H|>HZ）拟合为两条平行的直线段。当H>HZ时， (4.27)当H<HZ时， (4.28)因而， (4.29)4.3.2暂态局部磁滞回环的描述由于铁心材料电磁性能的复杂性，对动态局部磁滞回环的精确仿真是比较困难的。但因极限 磁滞回环已描述了磁滞的基本轮廓，故根据不同转折点对其进行压

21、缩就可近似模拟动态磁化过程中的某一段上升轨迹和下降轨迹。它分两种情况模拟。A dB/dH<0，运行点下降轨迹由于极限磁滞回环左侧描述了减磁过程，将极限磁滞回环左侧回线在纵轴方向按比例地朝直线压缩，可得一簇下降曲线。对通过某一转折点（H(0),B(0)）的运行点下降轨迹可由左极限磁滞回环按压缩系数KX向直线压缩而得（如图42所示）。此处KX(B(0)B2)/(B1B2)则通过该点的下降轨迹为：(4.30)因此： (4.31)图42 局部磁滞回环的模拟B dB/dH>0，运行点上升轨迹同样，将极限磁滞回环右侧向直线方向压缩，可得通过转折点（H(0)，B(0)）的运行点上升轨迹(4.32

22、) (4.33)4.3.3剩磁的处理铁心中原始剩磁的存在，只体现为铁心的动态磁化轨迹（BH曲线）在纵轴上起始工作点的不同，运用如上所述的方法，可很方便地考虑剩磁的影响。至此，变压器空载合闸暂态特征方程中的dB/dH（即Kj）已可求解，电源电压u又为已知，选用定步长四阶龙格库塔法不难求解上列各微分方程。这样就建立了上述接线三相变压器空载合闸励磁涌流仿真数学模型。第五章 三相变压器仿真的程序流程及功能介绍由于在这次仿真模型设计中，先后采用了两种不同的思路。则分别按不同的思路列出程序流程图。5.1分段拟和加曲线压缩法（两段修正的反正切函数）5.1.1方法一励磁涌流的计算可用图43所示的流程图来描述，

23、图中主要部分的功能如下：第一部分：主要是处理原始剩磁，确定初始化磁化轨迹。T为时间，当时间刚大于零时，即程序开始运行时，沿第一部分，主要功能就是处理剩磁，将变量赋以初值，确定初始化磁化轨迹。第二部分：主要是描述极限磁滞回环内的工作轨迹，确定动态磁滞回环。其主要原则是：在迭代求解过程中，如某一时刻的磁感应强度变化方向（）发生改变，将前于该时刻的（H，B）作为下一局部磁滞回环的转折点，并按磁感应强度变化方向进行曲线压缩以确定下一时刻的局部磁化曲线。当然，如果磁链变化方向不变，则所运行的局部磁滞回环也不变。当磁链方向发生了变化，则改变局部磁滞回环。T>0 5.1.2方法二励磁涌流的计算可用图4

24、4所示的流程图来描述，图中主要部分的功能如下：第一部分：主要是处理原始剩磁，确定初始化磁化轨迹。T为时间，当时间刚大于零时，即程序开始运行时，沿第一部分，主要功能就是处理剩磁，将变量赋以初值，确定初始化磁化轨迹。第二部分：主要是描述极限磁滞回环内的工作轨迹，确定动态磁滞回环。其主要原则是：在迭代求解过程中，如某一时刻的磁感应强度变化方向（）发生改变，将前于该时刻的（H，B）作为下一局部磁滞回环的转折点，并按磁感应强度变化方向进行曲线压缩以确定下一时刻的局部磁化曲线。当然，如果磁链变化方向不变，则所运行的局部磁滞回环也不变。当磁链方向发生了变化，则改变局部磁滞回环。第三部分：主要是描述铁心深度饱

25、和后以直线表示的工作轨迹，以便和第二部分结合。T>0图44 方法二的仿真程序流程图5.2 三相变压器仿真的计算实例及结果分析由于在这次仿真模型设计中，先后采用了两种不同的思路，则按不同的思路分别仿真并进行结果分析。5.2.1方法一：用两段修正的反正切函数拟和压缩某一额定容量为5000kVA、额定电压为35/6.3kV三相心式变压器，其一、二次绕组匝数744/232匝，一次绕组阻抗0.7925j0.07336，铁心截面积721.14，铁心磁路长度，。当改变压器高压侧空载合闸时，运用上述仿真模型就可对其励磁涌流进行仿真计算。仿真时铁心各相剩磁按处理，原始剩磁分别取、，A相合闸初相角取、仿真所

26、得到的典型涌流曲线如图45所示。因为就不同的连接组而言，波形是大致相同的，所以以Yd11为例，其余的波形将不再赘述。图45 Yd11连接组模式的三相变压器典型涌流波形仿真结果说明，励磁涌流波形为尖顶波，偏于时间轴一侧，含有大量的非周期分量和高次谐波，具有明显的间断角特性；而且在三相涌流重，往往有一相近似为周期性涌流。应用傅立叶变换（DFT）对其进行谐波分析可知，励磁涌流中二次谐波含量最大。图46显示是在Yd11连接组模式的三相变压器磁滞回环的波形图。图46 Yd11连接组模式的三相变压器磁滞回环波形5.2.2方法二：用两段修正的反正切函数加两段直线拟和压缩依然使用前面所述的变压器做试验仿真。假

27、定某一额定容量为5000kVA、额定电压为35/6.3kV三相心式变压器，其一、二次绕组匝数744/232匝，一次绕组阻抗0.7925j0.07336，铁心截面积721.14，铁心磁路长度，。当改变压器高压侧空载合闸时，运用上述仿真模型就可对其励磁涌流进行仿真计算。仿真时铁心各相剩磁按处理，原始剩磁分别取、，A相合闸初相角取、仿真所得到的典型涌流曲线如图47所示。同样，因为就不同的连接组而言，波形是大致相同的，所以以Yd11为例，其余的波形将不再赘述。图47 Yd11连接组模式的三相变压器典型涌流波形图48显示是在Yd11连接组模式的三相变压器磁滞回环波形图。图48 Yd11连接组模式的三相变

28、压器磁滞回环波形5.1.3两种方法的比较分析本文是通过两种方法对变压器进行仿真设计的，就原理而论，四条曲线拟和的方法相对复杂一些，但考虑问题也相对周密一些，可是在同一套参数下，得到的图形却和我们理想中的图形有一定的差距，主要是电流收敛的速度太快了。用四条曲线拟和时用两条曲线拟和时图49 两种方法比较下的励磁涌流波形图我们可以看到，用了四条曲线拟和的方法中，励磁涌流衰减的速度要高于用了两条曲线拟和的方法。综合对波形的分析，用两条修正的反正切函数拟和的方法更相符于实际情况，相比之下，是较好的方法。5.2影响变压器励磁涌流的主要因素及结果分析虽然本文采用了两种方法去进行仿真，但实际上也是从不同的角度

29、对变压器的励磁涌流进行分析，所以从两个方法出发进行分析影响变压器励磁涌流的主要因素，得到的结果都是近似的。所以下面仅以两条曲线进行模拟的方法为基础，在Yd11连接组模式下，进行影响变压器励磁涌流的主要因素分析。变压器的励磁涌流不仅与其铁心材料、磁路结构形式、绕组的接线方式、中性点接地与否有关，而且与其铁心原始剩磁、合闸初相角以及电源电压幅值、系统等值内阻抗的大小等多种因素有关。下面对影响变压器励磁涌流的主要因素剩磁、合闸初相角做仿真分析研究。5.2.1剩磁对变压器励磁涌流的影响以上述Yd11接线的变压器为例，在其它条件保持不变情况下(合闸初相角)，铁心剩磁取、进行仿真。所得典型涌流波形(A相)

30、如图35所示，由图35可知，铁心剩磁越大，有的相励磁涌流越呈尖顶波，涌流幅值越大，其间断角、二次谐波含量越小；但有的相则相反。图410 Yd11不同剩磁下变压器典型涌流波形图5.2.2合闸初相角对变压器励磁涌流的影响同样以Yd11接线的变压器为例，在其它条件保持不变(剩磁)，合闸初相角分别取、等进行仿真，所得典型涌流波形(A相)如图36所示。由图36可知，不同的不仅对涌流幅值、间断角及二次谐波含量有显著影响，而且影响励磁涌流幅值出现的时间。在其它条件相同时，时合闸，Yny0、Yy0联结组变压器的A相涌流可达最大；而时合闸，Ydll、Yndll接线的变压器的A相涌流可达最大。图411 Yd11不

31、同合闸初相角时变压器典型涌流波形当然，变压器励磺涌流还与其它多种因素有关。根据仿真计算可得，空载合闸电源电压幅值越大、系统等值阻抗越小，则励磁涌流越大；铁心饱和磁通越小(即饱和特性越显著)、铁心磁路越长、铁心截面越小，则励磁涌流越大。由上述仿真研究可知，变压器的励磁涌流具有明显的间断角特性，且二次谐波含量最大。5.3三相变压器励磁涌流的特征三相变压器空载合闸时，三相绕组都会产生励磁涌流。对于接线方式的三相变压器，引入每相差动保护的电流是两个变压器绕组电流之差，其励磁涌流也应该是两个绕组励磁涌流的差值，即、。两个励磁涌流相减后，涌流的时域特征和频域特征都有所变化。下面结合一个算例来说明它们的特点

32、。计算条件：，；三相的剩磁，；A相的合闸角。由于三相电压是对称的，故，。、和的波形如图6 (a)所示，、的波形分别如图6 (b)、(c)和(d)所示。图412 三相变压器励磁涌流波形在图6 (a)中，要注意、和最大值出现的时刻：是正向涌流，在时达到最大值；是反向涌流，故在(即)时达到最大值；也是反向涌流，最大值发生在处。、的间断角和二次谐波分别为；、的间断角和二次谐波则分别为、和14.8、37.6、14.8。结合上面的算例，对于一般情况，三相变压器励磁涌流有以下特点：1由于三相电压之间有120o的相位差，因而三相励磁涌流不会相同，任何情况下空载投入变压器，至少在两相中要出现不同程度的励磁涌流。

33、2某相励磁涌流()可能不再偏离时间轴的一侧，变成了对称性涌流。其它两相仍为偏离时间轴一侧的非对称性涌流。对称性涌流的数值比较小。非对称性涌流仍含有大量的非周期分量，但对称性涌流中无非周期分量。3. 与单相变压器励磁涌流相比，其中一相或两相励磁涌流的二次谐波显著减小，但至少有一相励磁涌流仍含有大量的二次谐波。4. 励磁涌流的波形仍然是间断的，但间断角显著减小，其中又以对称性涌流的间断角最小。但对称性涌流有另外一个特点：励磁涌流的正向最大值与反向最大值之间的相位相差。这个相位差称为波宽，显然稳态故障电流的波宽为。附录 Matlab程序附录A.在Yd11接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序

34、% 文件名：transa.m% 目的：仿真电流互感器的暂态过程% 初始化%clear; %清除变量%磁滞回线起始点B0a=0;I0a=0;B0b=0;I0b=0;B0c=0;I0c=0;%变量：磁通Ba=0;Bb=0;Bc=0;%变量：励磁电感K=1242.496;1242.496;1242.496;%RK法参数设定，此处为默认值options=;deltaT=0.0001; %采样时间间隔Tmax=0.4; %仿真时间tspan = 0,deltaT; %RK法时间宽度yzero = 0;0;0; %RK法初始值%励磁电流变化率，象征磁滞回线的改换方向的点DI0a=0;DI0b=0;DI0c

35、=0;%仿真开始，是个循环过程%5 for i=1:Tmax/deltaT% 四阶RK解微分方程,注意此为定步长RKt,num_y =rk4fixed(transtatea,tspan,yzero,2,K);% 更新参数，为下次RK做准备tspan=t(length(t),1),t(length(t),1)+deltaT;tt(i)=t(length(t),1);yzero=num_y(2,:);yzero=yzero'Im(i,:)=num_y(2,:);%取得励磁电流变化率DI1a=diff(num_y(:,1)./diff(t);DI1b=diff(num_y(:,2)./dif

36、f(t);DI1c=diff(num_y(:,3)./diff(t);%取得当前状态的励磁电感值Ka,B0a,I0a,Ba=getLm(Ba,Im(i,1),B0a,I0a,DI1a,DI0a,i);Kb,B0b,I0b,Bb=getLm(Bb,Im(i,2),B0b,I0b,DI1b,DI0b,i);Kc,B0c,I0c,Bc=getLm(Bc,Im(i,3),B0c,I0c,DI1c,DI0c,i);%为计算励磁电感更新参数DI0a=DI1a;DI0b=DI1b;DI0c=DI1c;%输出中间变量，电感和磁通K=Ka;Kb;Kc;kk(i)=Ka;bb(i)=Ba;end;%文件名：get

37、Lm.m%功能:按磁滞回线计算动态电感%(I0,B0):回环开始点function L,B0,I0,B=getLm(B,I,B0,I0,DI1,DI0,begin)alfa=0.00377;beta=20;gama=2*0.016867; C=0.2227;% 处理初始剩磁if (begin=1)Hzero=I0;Bzero=B0;if(DI1<0) sgn=1; B=(alfa*B0-(gama*I0-pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0+C)+pi/2)*(atan(beta*(I+C)+pi/2)+1/alfa *(gama*I-pi/2); L=(alfa*B0-

38、(gama*I0-pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0+C)+pi/2)*beta/(1+(beta*(I+C)*(beta*(I+ C)+gama/alfa;else sgn=-1; B=(alfa*B0-(gama*I0+pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0-C)-pi/2)*(atan(beta*(I-C)-pi/2)+1/alfa*(gama*I+pi/2); L=(alfa*B0-(gama*I0+pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0-C)-pi/2)*beta/(1+(beta*(I-C)*(beta*(I-C )+gama/alfa

39、;end;% 结束处理起始磁通else% 处理回环时的状态 if(DI0*DI1<0) I0=I; B0=B; if(DI1>0) B=(alfa*B0-(gama*I0+pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0-C)-pi/2)*(atan(beta*(I-C)-pi/2)+1 /alfa*(gama*I+pi/2); L=(alfa*B0-(gama*I0+pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0-C)-pi/2)*beta/(1+(beta*(I-C)*(bet a*(I-C)+gama/alfa; else B=(alfa*B0-(gama*I0-p

40、i/2)/(alfa*(atan(beta*(I0+C)+pi/2)*(atan(beta*(I+C)+pi/2)+1/alf a*(gama*I-pi/2); L=(alfa*B0-(gama*I0-pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0+C)+pi/2)*beta/(1+(beta*(I+C)*(beta*(I +C)+gama/alfa; end else if(DI1<0) B=(alfa*B0-(gama*I0-pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0+C)+pi/2)*(atan(beta*(I+C)+pi/2)+1 /alfa*(gama*I-pi

41、/2); L=(alfa*B0-(gama*I0-pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0+C)+pi/2)*beta/(1+(beta*(I+C)*(bet a*(I+C)+gama/alfa; else B=(alfa*B0-(gama*I0+pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0-C)-pi/2)*(atan(beta*(I-C)-pi/2)+1/a lfa*(gama*I+pi/2); L=(alfa*B0-(gama*I0+pi/2)/(alfa*(atan(beta*(I0-C)-pi/2)*beta/(1+(beta*(I-C)*(beta*(I-C)+

42、gama/alfa; end;end;%结束处理回环时状态end;%文件名：rk4fixed.m%功能：四阶定步长龙格库塔法。function T,X=rk4fixed(Fcn,Tspan,X0,N,K)% Matlab implementation of a fixed-step RK4 algorithm.h = (Tspan(2)-Tspan(1)/N;halfh = 0.5*h;neqs=size(X0);X=zeros(neqs(1),N);T=zeros(1,N);X(:,1)=X0;T(1)=Tspan(1);Td = Tspan(1);Xd = X0;for i=2:N, RK

43、1 = feval(Fcn,Td,Xd,K); Thalf = Td + halfh; Xtemp = Xd + halfh*RK1; RK2 = feval(Fcn,Thalf,Xtemp,K); Xtemp = Xd + halfh*RK2; RK3 = feval(Fcn,Thalf,Xtemp,K); Tfull = Td + h; Xtemp = Xd + h*RK3; RK4 = feval(Fcn,Tfull,Xtemp,K); X(:,i) = Xd + h*(RK1+2.0*(RK2+RK3)+RK4)/6; T(i) = Tfull; Xd = X(:,i); Td = T

44、(i);endX=X'T=T'End%文件：trastate.m% 目的：得到系统微分方程 dIm=inv(L)*(U-r*IM),此文件适合于仿真涌流过程function dIm = transtatea(t,Im,K)R1=0.7925;L1=0.07336;Um=100000;dIm=(inv(L1+K(1),0,0;0,(L1+K(2),0;0,0,(L1+K(3)*(Um*sin(314*t);sin(314*t+pi*2/3);sin(314*t+pi*4/3)-R1,0,0;0,R1,0;0,0,R1*Im);附录B.在Ynd11接线方式下两段反正切函数拟和极限磁

45、滞回环的程序% 文件名：transa.m% 目的：仿真电流互感器的暂态过程% 初始化%clear; %清除变量%磁滞回线起始点B0a=0;I0a=0;B0b=0;I0b=0;B0c=0;I0c=0;B0d=0;I0d=0;%变量：磁通Ba=0;Bb=0;Bc=0;Bd=0;K=1242.496;1242.496;1242.496;0; %变量：励磁电感options=;%RK法参数设定，此处为默认值deltaT=0.0001; %采样时间间隔Tmax=0.4; %仿真时间tspan = 0,deltaT; %RK法时间宽度yzero = 0;0;0;0; %RK法初始值%励磁电流变化率，象征磁

46、滞回线的改换方向的点DI0a=0;DI0b=0;DI0c=0;DI0d=0;%仿真开始，是个循环过程%5 for i=1:Tmax/deltaT% 四阶RK解微分方程,注意此为定步长RKt,num_y =rk4fixed(transtatea,tspan,yzero,2,K);% 更新参数，为下次RK做准备tspan=t(length(t),1),t(length(t),1)+deltaT;tt(i)=t(length(t),1);yzero=num_y(2,:);yzero=yzero'Im(i,:)=num_y(2,:);%取得励磁电流变化率DI1a=diff(num_y(:,1)

47、./diff(t);DI1b=diff(num_y(:,2)./diff(t);DI1c=diff(num_y(:,3)./diff(t);DI1d=diff(num_y(:,4)./diff(t);%取得当前状态的励磁电感值Ka,B0a,I0a,Ba=getLm(Ba,Im(i,1),B0a,I0a,DI1a,DI0a,i);Kb,B0b,I0b,Bb=getLm(Bb,Im(i,2),B0b,I0b,DI1b,DI0b,i);Kc,B0c,I0c,Bc=getLm(Bc,Im(i,3),B0c,I0c,DI1c,DI0c,i);Kd,B0d,I0d,Bd=getLm(Bd,Im(i,4),

48、B0d,I0d,DI1d,DI0d,i);%为计算励磁电感更新参数DI0a=DI1a;DI0b=DI1b;DI0c=DI1c;DI0d=DI1d;%输出中间变量，电感和磁通K=Ka;Kb;Kc;0;end;%文件名：getLm.m 功能:按磁滞回线计算动态电感可以使用§1中的getLm.m程序。%文件名：rk4fixed.m 功能：四阶定步长龙格库塔法。可以使用§1中的rk4fixed.m程序。%文件：trastate.m% 目的：得到系统微分方程 dIm=inv(L)*(U-r*IM),此文件适合于仿真涌流过程function dIm = transtatea(t,Im,

49、K)R1=0.7925;L1=0.07336;Um=100000;dIm=(inv(L1+K(1),0,0,L1;0,(L1+K(2),0,L1;0,0,(L1+K(3),L1;L1,L1,L1,6*L1)*(Um*sin(314*t);sin(314*t+pi*2/3);sin(314*t+pi*4/3);0-R1,0,0,R1;0,R1,0,R1;0,0,R1,R1;R1,R1,R1,6*R1*Im);附录C.在Yny0接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序%文件名：transa.m 目的：仿真电流互感器的暂态过程 可以使用§1中的transa.m程序。%文件名：getL

50、m.m 功能:按磁滞回线计算动态电感可以使用§1中的getLm.m程序。%文件名：rk4fixed.m 功能：四阶定步长龙格库塔法。可以使用§1中的rk4fixed.m程序。%文件：trastate.m% 目的：得到系统微分方程 dIm=inv(L)*(U-r*IM),此文件适合于仿真涌流过程function dIm = transtatea(t,Im,K)R1=0.7925;L1=0.07336;Um=100000;dIm=(inv(L1+K(1),0,0;0,(L1+K(2),0;0,0,(L1+K(3)*(Um*sin(314*t);sin(314*t+pi*2/3);sin(314*t+pi*4/3)-R1,0,0;0,R1,0;0,0,R1*Im);附录D.在Yy0接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序% 文件名：transa.m 目的：仿真电流互感器的暂态过程 可以使用§1中的transa.m程序。%文件名：getLm.m 功能:按磁滞回线计算动态电感可以使用§1中的ge