五年级奥数—操作与策略(含解析)

1、玉一1 .通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2 .在操作和体会数学规律的过程中，设计最优的策略和方案实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并 通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因， 因此在历届的杯赛中时常出现，尤其是在华杯、迎春杯中，常考查学生的动手能力口单 探索与操作【例1】（全国华罗庚杯少年数学邀请赛 ）如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完 成一次操作.按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角.问：当展开这张正 方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【分析】一次操

2、作后，层数由1变为4,若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心.连续两次操作后，折纸层数为42,剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有42 141 4（个）小洞孔.连续三次操作后，折纸层数为43,剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有43 14216（个）小洞孔.按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为45,剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有5 14-.44256（个）小洞孔.巩固向电脑输入汉字，每个页面最多可输入 1677个五号字.现在页面中有 1个五号字，将它复制后粘贴到该面上，就得到 2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得

3、到4个字.每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次.分析每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有2个字，第2次操作后页面上有22 4 (个)字，第3次操作后页面上有23 8 (个)字，则第10次操作后页面上有210个字， 由于210 1024 1677 211 2048,因此使整个页面排满，至少需要操作11次.【例2】(第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0, 1, 2,，只有0号是黑盒，其余的都是白盒.开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给 0号、1号、，(k

4、1)号盒中各放1个.如 果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么 4号盒中原有 个球.【分析】 使用倒推法.最终各盒中依次有球 (10, 0, 0, 0,)，前一次必然分的是 1号直币的球，否则1号盒中最终至少有1个球.所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9, 1, 0, 0,).依次倒推，为：(10, 0, 0, 0,)一(9, 1, 0, 0,)一(8, 0, 2, 0, 0,)一(7, 1, 2, 0, 0,)一(6, 0, 1, 3, 0,)一(5, 1, 1, 3, 0,)一(4, 0, 0, 2, 4,)一(3, 1, 0, 2, 4,)一(2, 0, 2, 2,

5、4, )一(1，1, 2, 2, 4, )(0, 0, 1, 1, 3, 5 )，0 号盒中此时为 0 个球，不 能再倒推.所以，4号盒中原有3个球.巩固(圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13,删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7,再删去乘积的末位数，最终得到的数为21.问：尤拉最初所想的是哪一个数？分析1解法1(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉面临的是一个三位数，其值在210至219之间.在这些数中，只有两个数是7的倍数：210 7 30和217 7 31 .这就意味着在乘以7之前，尤拉的数是30或31.因而在第一次删去末位数之前，尤拉所面临的数为300到319之间

6、的一个三位数.在这些数中只有一个数是13的倍数：312 24 13,所以尤拉最初所想出的数是24.解法2(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数， 发现最终所得的数不会减小， 这是因为无 论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”.如果开始所想的数是 25,那么运算过程如下：25 325 32 - 224 22.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是24.【例3】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛 )一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出 2枚棋子，如果颜色相同，就补 1枚黑色棋子回去； 如果颜色不同，就补 1枚白色的棋子回去.这

7、样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)【分析】由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子 1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子 1枚，白 子仍为偶数.因此最后 1枚不可能是白子，故应是黑子.【例4】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走 1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走 10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把 根香蕉带回家？【分析】 首先，猴子背着100根香蕉直接回家，会怎样？在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉， 其他200根

8、香蕉白白浪费了！折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案.300 100 3 .猴子必然要折返 3次来拿香荏 八、我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉. 猴子的路线：储存点A 储存点B野香蕉园X这两个储存点 A与B就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是： （一）当猴子第次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉.（二）当猴子第次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好（即身上还有100个）（三）B点同上.XA的距离为10x,路上消耗x个香蕉.AB的距离为10y,路上消耗y个香蕉.猴子第一次到达 A点，还有（100 x）个香蕉，回去又要消耗 x个，只能留下100

9、 2x个香蕉.这 （100 2x）个香蕉将为猴子补充次路过时的消耗和需求，每次都是x个，则 100 2x 3x x 20 . XA 200米，猴子将在A留下60个香蕉.那么当猴子次到达 A时，身上又有了 100个香蕉，到时还有100 y个，从回需要y个, 可在B留下（100 2y）个，用于时补充从到的消耗y个.则：100 2y y y 100 .3至此，猴子到家时所剩的香蕉为：300 4x 2y 531 .103因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了 2 ,所以还没有吃香蕉，应3该还剩下54个香蕉.【例5】（武汉“明星奥数挑战赛”）设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从

10、1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码.当一个人选取了标号为 x的筹码时，另一个人必须选取标号为 99 x的最大奇因数的筹码.如果第一个被选取的筹码的编号为5,那么当游戏结束时还剩个筹码.【分析】解若x 99 x547471313434377232319195当一个人拿到19时，下一个人就要拿 5 了，故游戏结束，拿了 7个.剩25 7 18（个）.拓展（武汉“明星奥数挑战赛”）有依次排列的3个数：2, 0, 5,对任意相邻的两个数，都用右边的 数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2, 2,0, 5, 5,这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：

11、2, 4, 2, 2, 0, 5, 5, 0, 5.继续依次操作下去.问：从新数串2, 0, 5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？分析观察操作次数：开始 第一次 第二次 第三次 总 和： 7101316易发现每操作一次总和增加3.因此操作100次后产生的新数串所有数之和为7 3 100 307.【例6】（武汉“明星奥数挑战赛）将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作.如【分析】铺垫分析拓展分析【例71【分析】例8【分析】对18和42可连续进行这样的操作，则有：18, 42 18, 24 18, 6 12, 66,.直到两数相同为止.试给出和最小的两个四位

12、数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15.这两个四位数是与.由题意，我们而恁给几组数按题目所给操作方法进行操作,从中找出规律.例如：136, 63一一 1, 136, 27f9, 984, 36一一 12, 12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需 找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020.(武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换.如对18和42可作这样的连续变换：18, 42 18, 24 18, 6 12, 66, 6直到两数相同为止.问：对 1234和4321作这样

13、的连续变换最后得到的两个相同的数是 .操作如下：1234, 4321f 1234, 3087 1234, 1853 1234, 619615, 619615, 4 14257 ,前一数每次减少 44一3,4一3,1 一2,1 一 1,1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数.即1234与4321的最大公约数为1.此法也称为辗转相减法求最大公约数.(全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作.例如：对 18和42连续进行这样的操作，则有： 18, 42 18, 24 18, 6 12, 6 一 6, 6.试给出和最小的两个五位数，按

14、照以上操作，直到两数相同为止，如果最后得到的相同的数 是15,这两个五位数是 与.观察题目中的例子，( 18, 42) ( 18, 24) (18, 6) (12, 6) (6, 6) 6,将会发现：将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差会得到两个新的自然数，它们的 最大公约数和初始的两个数的最大公约数相同，最后得到的是两个相同的自然数，是初始的两 个数的最大公约数，所以，题目就是去求和最小的两个五位数，它们的最大公约数是15,即求两个能被3和5整除的和最小的两个五位数，10005 667 15和10020 668 15为所求.点评题中操作的本质上是辗转相除法，最后所得到的相同的数是最初

15、两个数的最大公约数，即(18, 42) 6.实际上，这道试题是一个求最大公约数的反问题，即已知 (X , Y) 15,求X和丫 .但是，以 15为最大公约数的数对有很多，应该选取哪一对呢？这就要求答案必须还满足其他的条件，本 题要求解答最小的两个五位数.如果要求是最大的两个五位数，答案是什么？黑板上写着一个形如 77777的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3,然后再加上刚才擦掉的数字.对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7.黑板上起初数是77777,每次操作后就变出一个新数.不妨设这个数的末位数为b,前面的数为a,所以就是形为10a b的数.每次操作后，黑板上就成为 3a b

16、,它比原数少了 7a.由此 可知：每次操作将使原数逐步变小； 如果原数能被7整除，那么所得新数仍能被 7整除.所 以黑板上最后必将变成 7,例如当原数为777时，就有77723877-28- 14一 7.(北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数 1, 2,，98, 99. 一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如第一次操作后得到4,5,，98, 99, 6;而第二次操作后得到7,8,，98,99,6,15.这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是.第一轮：分33次划19,后面写上6, 15, 24,，294共33个数.

17、第二轮：分 11次划去这 33个数，后面写上45, 126, 207,，855,共11个数.之后的操作一次减少 2个数，故还需 操彳5次.设这 11个数为：a1，a2,，an.则接下去的数是：(aa2a3),(a4%a6),(a7a8a9),(awa11a1a2a3),(a4a5a6 a7a8a9a1oa11a1a2a3).因此最后一数为：a1 a2 a3 La11 1 2 L 99 4950.拓展1 (第六届“华杯赛”决赛)圆周上放有N枚棋子，如右图所示，B点的一枚棋子紧邻 A点的棋子。 小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后顺时针每隔一枚拿走2枚棋子，连续转了 10周，9次越过A。当将要第10

18、次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现周围上余下20多枚棋子。若 N是14的倍数，请帮助小洪精确计算一下周围上还有多少枚棋子？分析设当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，圆周上余 a枚棋子，从第9次越过A处拿走2 枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿走了 2a枚棋子，所以在第 9次将要越过A处棋 子时，周围上有3a枚棋子。依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子， 在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39 a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪 拿走了 2(39a 1) 1 枚棋子，所以 N 2(39a 1) 1 39a 310a 1.N 310 a 1 59

19、049a-1是14的倍数，N就是2和7的倍数，所以 a必须是奇数，又 10N 3 a 1 59049a- 1 7 8435a 4a 1,所以 4a 1 必须是 7 的倍数.当 a 21, 25,27, 29 时， 4a 1不是7的倍数，当a 23时，4a 1 91 7 13,是7的倍数。所以圆周上还有 23枚棋子。【例9】(第七届“华杯赛”决赛)对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2;如果是奇数则加1.如此进行直到为1操作彳止.求经过9次操作变为1的数有多少个？【分析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经1次操作变为1的1个，即2,经2次操作变为1的1个，即4,经3次操作变为1的2个,

20、即3, 8,，经 6次操作变为1的有8个，即11, 24, 10, 28, 13, 30, 64, 31.于是，经1、2、次操作变为1的数的个数依次为1, 1, 2, 3, 5, 8,这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即2 1 1, 3 2 1, 5 3 2, 8 5 3,如果这个规律正确，那么 8后面的数依次是8 5 13, 13 8 21, 21 13 34,即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单.设经过n次操作变为1的数的个数为 小，则ai 1, a2 1, a3 2,从上面的图看出， % i比不大.一方面，每个经过 n次操作变为

21、1的数，乘以2,就得出一个偶数，经过n 1次操作变为1;反过来，每个经过 n 1次操作变为1的偶数，除以2,就得出一 个经过n次操作变为1的数.所以经过n次操作变为1的数与经过n 1次操作变为1的偶数恰好一本多.前者的个数是an,因此后者也是a个.另一方面，每个经过n次操作变为1的偶数，减去1,就得出一个奇数，它经过 n 1次操作变为 1,反过来.每个经过n 1次操作变为1的奇数，加上1,就得出一个偶数，它经过 n次操作变为 1.所以经过n次操作变为1的偶数经过n 1次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说， 前者的个数就是an 1,因此后者也是an 1.经过n 1次操作变为1的数，分为偶数

22、、奇数两类，所以an 1 an an 1即上面所说的规律的确成立 .满足规律，并且a1 a2 1的一串数 称为裴波那契（Fibonacci,约11751250）是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用【例10】（第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）下图33 32的长方形，黑色两块是边长为1与4的磁砖，其余的部分尚未铺磁科：铺磁科的师傅说：“只需边长为7、8、9、10、14、15、18的正方形磁砖各一块（共七块），就可 以将整个长方形铺满.”试着铺铺看，并把结果图示在下图中（请用粗线标出各块的边缘，并在中心标出其边长）.【分析】 从右上角开始考虑，边长为 1的黑色磁砖到

23、右边的距离为 9,而上面的距离为8,所以右上角放 的正方形最好是边长为 8或9的正方形，尝试可知 8不行，9有如下铺法：8数学上所谓“完全正方形”，是指一个大正方形完全由较小的正方形所构成，且小正方形的面积都不相等.“完全长方形”，是指一个大长方形完全由较小的正方形所构成，且小正方形的面积都不相等.其中小正方形的个数称为这个“完全正方形”或“完全长方形“的阶.这个问题中给出白例子是一个9阶的“完全长方形”，这是阶数最少的完全长方形，“完全正方形”的阶数最少为 21.制定最优的设计方案【例11】如右图，在街道上有 A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个公交站，为使五栋楼的居民 到车站的距离之

24、和最短，车站应立于何处？AB CD E【分析】条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下 A、E两个点，不论这个邮筒放在 AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上 E到邮筒的距离就是 AE的长 度，也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间.同理，只要是在 BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于 BD.最后，只需要考虑 C 点到邮筒的距离最近就行了 .那么当然也就是把邮筒放在C点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”.拓展老师可以把上题

25、的条件变为：有A、B、C、D、E、F六栋楼，要想使居民到达车站的距离之和 最短，应该设在何处？A.B*C*-D分析找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两 个楼都一样，路程和最短，所以可以建在C或D.如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么CD之间及点C、D均可.【例12（人大附中分班考试题）在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？1030 吨201060 . *ABCDE【分析】这道题可以

26、用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到 B, B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以. 例如把E点集中到D点，D点是70吨.所以C点也要集中到 D点.确定了集中地点，运输费用 也就容易求了 .运费最少为：（10 30 30 20 20 10 60 10）0.9 1530（元）.巩固（我爱数学夏令营试题）（难度系数：） 一条直街上有5栋楼，从左到右编号为 1, 2, 3, 4, 5,相邻两楼的距离都是 50米.第1号楼有1名职工在

27、A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂 上班，第 5号楼有5名职工在A厂上班.A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？12345分析1如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼的位置，距1号1H 150米处.拓展1 （奥数网习题库）右图是A, B, C, D, E五个村之间的道路示意图，。中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）现在要在五村之中选一个村建立一所小学.为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案拓展1 小往大处靠”的原则来解决，A点向C点集中，因为根据“

28、小往大处靠”的原则，虽然 A点40人比C点20人多，但是人最多的点是 E点，所以大方向是向 E点的方向靠拢.那么B点当 然也要向C点靠拢.C点就有80人了 .此时人数最多的点变成了C点了 . D、E又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E点要向D点靠拢.此时D点变成85人了 .那么D点比此时C点的80人多了 . C点又变成小势力了 .所以最终要集中在 D点.也就是学校要设在 D点.说明：对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离， 仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则1.（小学生数学报邀请赛）一个特别的计算器，

29、只有蓝、红、黄三个键.蓝键为“输入/删除”键（按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除）.每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失.现在先按蓝键输入 21.I请你设计一个操作过程，要求：操作过程中只能按红键和黄键；按键次数不超过6次；最后输出的数是 3.【分析】需按4次红键2次黄键，有如下操作方式：21红42红_红84168红336黄33黄321红42红红84168黄16红32黄321红42黄红4_ 红816红32黄321黄红2红4红816红32黄32 .对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换.如对18和42可

30、作这样的连续变换：18, 42 18, 24 18, 6 12, 66, 6直到两数相同为止.问：1515和600作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是.【分析】 操作如下：1515, 600915, 600315, 600 315, 28530, 28530, 255, 30 1424r15，前一数每次减少1530 15, 15 153 .（“北京奥校杯”解题能力展示活动）将1 13这13个自然数分别写在 13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好.然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1;再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取

31、出的卡片上面的数是 2;继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3如此进行下去，直到取出最后一张是13为止.则13张卡片最初从左到右的顺序为 .【分析】这13张卡片依次是原来的第 3,第6,第9,第12,第2,第7,第11,第4,第10,第5,第 1,第8,第 13 张，所以原来的顺序为11, 5, 1, 8, 10,2,6,12,3, 9, 7,4,134 .（圣彼得堡数学奥林匹克）牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类 空瓶的业务.每5个空瓶可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱.谢辽沙从地窖里 找到了 60个空瓶，拿到商店去换物品.他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换 到