沪科版八年级下册19.2平行四边形——三角形的中位线的综合应用

1、19.2 平行四边形三角形的中位线的综合应用例1如图 1，已知四边形 ABCD 中， R、P分别是 BC、 CD上的点， E、F分别是 AP、RP 的中点，当点 P在CD 上从 C向 D移动而点 R不动时，那么下列结论成立的是（）.（A）线段 EF 的长逐渐增大（ B）线段 EF 的长逐渐减小（ C）线段 EF 的长不变（D）线段 EF 的长与点 P的位置有关分析：由 E，F 分别为 AP，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR，1由于已知条件可知 EF 为 ARP 的中位线，根据中位线定理可知 EF= AR ，2由于点 P从点 C到点 D移动的移动过程中， AR 始终不变， EF

2、的长度也不变 .1解：连接 AR， E，F 分别是 PA，PR的中点， EF= AB，2 AR 不变，线段 EF的长不变 .故选（ C）.点评：本题通过巧妙地连接 AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的 性质俩来解决 .二、借助中位线定理求长度例 2 某花木场有一块如四边形 ABCD 的空地 （ 如图 2），两对角线相等， 各边的中点分别G、H ，用篱笆围成的四边形 EFGH 场地的周长为 40cm，则对角线 AC=cm分析：根据 E、F分别为 BA，BC 的中点，可知 EF 为ABC 的中位线，根据中位线1111定理可得 EF= AC ，同理可得 HG= AC ， HE= BD

3、， FG= BD ，根据两对角线相等可2222得 EF=FG=GH=HE ，由此可求到 EF 的长，也就求到 AC 的长 .11解： E，F分别是 BA，BC 的中点， EF= AC，同理可得 HG= AC，22 11E，H 分别是 AB ，AD 的中点， EH= BD ，同理可得 FG= BD，22AC=BD ， EF=FG=GH=HE ，EF+FG+GH+HE=40cm ， EF=10cm ，AC=2EF=20cm.点评： 根据已知条件的特点， 本题是将四边形问题转化为三角形问题， 通过多次利用三 角形中位线的性质，确定 EF 的长，进而求到 AC 的长 .三、借助中位线定理说理例 3 如

4、图 3，在 ABC 中， BCAC ，点 D 在 BC 上，且 DCAC, ACB 的平分线 CF交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF.说明 EF CB 理由分析：根据 E为AB 的中点，要说明 EF/BC ，可说明 EF为 ABC 的中位线，为此， 需要证明 F 为 AD 的中点 .解： CF 平分 ACB ， DCF= ACF.又 DC=AC ， CF 是 ACD 的中线， 点F是 AD 的中点. 点E是 AB 的中点， EF/BD ，即 EF BC.点评：本题根据点 E为AB 的中点联想三角形的中位线， 打开了证明的思路， 在解决 类似问题中应注意中位线的应用 .构造中

5、位线遇中点找中点，联想中位线”是个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线 .下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考一、连中点，构造三角形的中位线例 1 如图 1，D、E、F分别是等边三角形 ABC 的边 AB、BC、AC 的中点， P为 BC上任意一点， DPM 是等边三角形 .连接 FM.那么 EP与FM 相等吗？为什么？分析：由 D、E、F 是中点，想到连接中点，得到中位线 DE 、DF.这样就可以把 EP、FM放到 DPE、DMF 中，进而推出它们全等使问题得以解决解：连接 DF 、 DE.1 因为 D、E、F分别是等边三角形 ABC 的边 AB 、BC

6、 、AC 的中点，所以 DFBC，DF=121 BC；DEAC,DE=2 AC.所以四边形 DECF 是平行四边形 .所以 C= EDF=60 .因为 ABC 、 DPM 是等边三角形，所以 BCAC，DPDM， PDM 60.所以 DFDE. 因为 EDP60PDF， FDM 60 PDF，所以 EDP FDM.所以 DEP DFM.所以 EP FM.跟踪训练 1 如图 2，四边形 ABCD 中， AC=BD ， AC、BD 相交于点 O，M、N 分别 是边 AB、CD 的中点， MN 交 BD 于点 E、交 AC 于点 F.OE 与EF 相等吗？为什么？、找中点，构造三角形的中位线例 2

7、如图 3，在四边形 ABCD 中， AB CD，M、N 分别是 BC、AD 边的中点，延长BA、MN 交于点 F，延长 CD 交 MF 于点 E.请说明 1与2 相等.分析：因为 M 、分别是 BC、AD 的中点，若连接 BD ，取其中点 G，再连接 NG、 11MG,则 NGAB，NG2 AB，MGCD，MG2 CD.这样把 1与 2通过中位线移到同 一个等腰三角形 M 中，从而使问题得以解决 .解：连接 BD，取 BD 的中点 G，连接 NG 、MG ，则 NGAB ，NG 2 AC，因为 AC BD ，故 GM GN ，所以 GMN GNM ，又 OEF GMN ，OFE GNM ，所以

8、 OEF OFE，所以 OE OF2.解：延长 BA 、CE 相交于点 F，由 AECF，AE 平分 CAF，得 EFEC，AFAC ， 又 D 是BC 的中点，所以 DE 是BCF 的中位线，故有 DEAB，且DE=21 BF= 12（ AB+AC ）2 AB ，MG CD ， 1MG 2 CD.所以 1 GNM ，2 GMN.因为 AB CD ，所以 NG MG.所以 GNM GMN. 所以 1= 2.跟踪训练 2 如图 4， ABC 的一个外角平分线 AE 与过点 C 的直线互相垂直， 垂足为点 E，D 为 BC 的中点，试说明： DEAB ，且 DE=12 （AB+AC ）答案11.解

9、：取 AD 的中点，连接 GM 、 GN ，得 GM BD ，GN AC ，且 GM2 BD，GN课堂学习检测一、填空题 ：1 (1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边 叫做三角形的中位线(2) 三 角 形 的 中 位 线 定 理 是 三 角 形 的 中 位 线 第 三 边 ， 并 且 等 于 2如图， ABC 的周长为 64，E、 F、G 分别为 AB、 AC、 BC 的中点， A、B、C分别为 EF、 EG、 GF 的中点， ABC的周长为 如果 ABC、EFG、 ABC分别为第 1 个、第 2个、第 3 个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第 n个三角形的周长是 3 ABC 中，D

10、 、E分别为 AB、AC 的中点，若 DE4，AD3，AE2，则 ABC的周长 为 二、解答题4已知：如图，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形5已知： ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，F、G分别是 OB、OC 的中点综合、运用、诊断6已知：如图，E 为 Y ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且 CEDC ，连结 AE 分别交BC、BD 于点F、G，连结 AC 交 BD 于 O，连结 OF 求证： AB2OF7已知：如图，在Y ABCD中，E是CD的中点， F是AE的中点， FC与BE交于 G求证：GFG

11、C8已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E、F分别是 DC、AB 边的中点， FE 的延长线分别与 AD、BC的延长线交于 H、G 点求证： AHF BGF拓展、探究、思考9已知：如图， ABC 中， D 是 BC 边的中点， AE 平分 BAC ，BEAE 于 E 点，若 AB 5， AC 7，求 ED 10如图在 ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 上的点，且 BDCE，M、N 分别是 BE、CD 的中点过 MN 的直线交 AB 于 P，交 AC 于 Q，线段 AP、 AQ 相等吗 ?为什么 ?参考答案1(1)中点的线段； (2) 平行于三角形的，第三边的一半12 16， 64( )n1 31824提示：可连结 BD(或 AC)5略6连结 BE，CEAB YABEC BFFCY AB