沪科版-数学-八年级上册-《等腰三角形》要点全析

1、初中-数学打印版初中-数学-打印版等腰三角形要点全析1. 等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.如图14-3-1, ABC中，AB=ACt则ZVlBC 是等腰三角形.相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如ZBAC, 底边和腰的夹角ZABC和ZACB叫底角.如图 14-3-2 中，ZC= 90o, AC=BCt 那么，AC. BQ 为腰，AB 边为底，ZA. ZB 为 底角，ZC为顶角.【说明】要理解等腰三角形的泄义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一泄在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底, ZC为顶

2、角.它是根据两腰的位置来确左的.（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小a于第三边）.若图14-3-1中，AB=AC=m, BC=a,则2m>a,即加> 亍时，才能构成三角 形，否则不成立.如边长分别为2, 2.5的三条线段不能构成三角形，因为2+2<5.例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？ =2, b=3, c=5：=4,方=3, c=2;“=1, b=2, <?=2：=2 005, b=2 004, c=2 008.（2）已知等腰三角形的两边为6 cm, 7 cm,求苴周长.（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm,

3、7 cm,求苴周长.解：（1）（0由于2+3=5,即"+b=c,而不满足"+b>c,不能组成三角形. 由于2÷3=5>4,即b+c>a,所以"、b、C可以组成三角形. 由于1 +2>2,即“+b>c,所以"、b、C可以组成三角形. 由于"+b>c,因此"、b、C可以组成三角形.（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7cm当腰长为6 cm时，周长为6÷6÷7=19 （Cm）当腰长为7 cm时，周长为6÷7÷7=20 （cm）.等腰三角形的周长为19

4、 Cm或20 cm.（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm, 7 cm,所以腰长为7 cm,而不能是2 cm.若 为2cm,则2÷2=4<7,不能组成三角形.因此周长为7+7+2=16 （cm）,等腰三角形的周长为16 cm.2. 等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角“）如图 14-3-3, AABC , AB=AC.则ZB=ZC证法一：（利用轴对称）过点A作AABC的对称轴AD. AB=AC,：.点A在BC的垂直平分线上.又 AD为ZXABC的对称轴， ABDACD （轴对称性质） ZB=ZC证法二：（作顶角平分线）过点人作AD平分ZBAC交BC于

5、D,如图14-3-3,图 14-3-3AB=AC< ZBAD=ZCAD n = A）在 AABD 和ZXACD 中 IZIU ABDACD （SAS）. ZB=ZC【说明】还可以作底边BC的中线和髙来证明.证法三：如图1434 过B. C分别作AC、AB边上的高BD、CE,图 14-3-4AB=AC.< ZA = ZA (公共角)，在BD 和ACE 中，IZyWB = ZAEC=90°' AABDAACE (AAS). BD=CEBC=CB<在 RtABCD 和 RtCBE 中，IBD=CE ：. RtBCDRtCBE, (HL). ZB=ZC 证法四：如图

6、14-3-5,分别取A乩AQ的中点E、D,连接B0 CET AB=AC, AD=DC= 2 AG AE=BE= 2 AB,：.AD=BE=AE=DCAB=AC9< Z = ZA,在ZXABD 和/MCE 中，IAD=AE, AABD ACE (SAS) BD=CE.BC=CB,< CE=BD,在ZkBCE 和 ACBD 中E=CD9：.HBCE竺厶CBD (SSS). ZABC=ZACB 【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放 在两个三角形中，证两个三角形全等.3. 等腰三角形的性质2 (简称“三线合一”)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

7、底边上的高线相互重合.如图14-3-6,在AABC中，AB=AC9 AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是髙 线，这三条线重合.在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认 为作岀来了團 14-3-6即ZkABC 中，AB=AC,若 AD 平分ZBAC,则 AD丄BC, BD=CD;若 BD=CD,则 AD丄BG 上BAD=ZCAD;若 AD丄BG 则 BD=DC, ZBAD=ZCAD.因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作岀，边、角的等量关系就都有了.【说明】（I） “三线合一"仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有.（2）在一般三角形中，这三条线是不会

8、重合的.图 14-3-7如图14-3-7,在ZvlBC中，AD为高，AE为中线，AF平分ZBAC,因此，这三条线不 重合.只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等 腰三角形.（3）在今后的证明题中，经常会使用''三线合一“进行证明.例如：AABC中，AB=AC9 BD丄AC交AC于D,如图1牛3-8求证：ZBAC=2ZDBCM 图 14-3-8证法一：在 ZBCD 中，V BD 丄AC, ：. ZBDC=90°. ZDBC=90c-ZC.在BC 中，V AB=AC, ：. ZABC=ZACB ZBC=180o- (ZABC-I-ZAC

9、B) = 180o-2ZACB=2 (90。一ZC) ZBAC=2ZDBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作/1M丄BC于M,则AM平分ZBAC9 ZBAC=2ZBAM=2ZCAM 又 BD丄AC交AC于D, AM丄BC交BC于 ZDBC=90o-ZC又 AMlBC, ：. ZC4f=90o-ZC, /. ZDBC=ZCAM4. 等腰三角形的性质3 （轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的髙）所在的直线就是 它的对称轴.图 14-3-9如图14-3-9, ZkABC中，AB=AC. AD平分ZBAG 则AABC的对称轴为AD所在的直 线，ZBDOZCD过D作DE

10、丄AB,交AB于E,作DF丄AC,交AC于F.由ADACD 可知 DE=DF同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等.因此，得到等腰三 角形的一个重要结论.重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的髙线、中线以及角平分线，苴与两腰 所截得的线段都分别对应相等.5. 等腰三角形的性质4 （两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、髙线和两底角平分线对应相等.例如：如图14-3-10,则 BD=CE.证明： AB=AC9 ：. ZABC=ZACB （等边对等角）又BD丄AC9 CE丄AB, ZBDC=ZCEB=狩ZBCD=ZCBE,< ZBDC=ZCEB,在ABCD

11、和ZkCBE 中，IBC=C从 BCDCBE (AAS). BD=CE.丄 丄或 SMBC= 2 AB CE= 2 AC BDT AB=AC. ：. BD = CE.此法较为简便.同样道理，可分別作岀两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等.6. 等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.例如：如图 14-3-11, AABC 中，若ZB=ZC,贝J AB=AC证明：过点A作AD平分ZBAC,交BC于点D,则 ZBAD=ZCA D.在 ZkABD 和 ZXACD 中， ABDACD （AAS）. ：.AB=AC因此

12、，这一结论可直接利用.【说明】（I）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中 才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系.（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径.例如：如图14-3-12, ABC中，AB=C, BD、CE相交于O点.且BE=CD求证：OB=OC A证明： AB=AC9：.ZABC= ZACB （等边对等角）BE=CD,< ZEBc=ZDCB,在ZBCE 和 ACBD 中BC=C9：.HBCEm厶CBD （SAS） ZBCE= ZCBD,即 ZOBC= ZBCo：.OB=OC （等角对等边）【说明】证两条

13、线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判泄 定理来证明.7. 已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段“、b,求作等腰三角形ABC,使底边BC=u,高为b.作法：（1）作线段BC=“：（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D：（3）在MN上截取AD=b；（4）连接AB、AC, ABC就是所求的等腰三角形.【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，. AB=AC：.ABC为等腰三角形，如图14-3-13（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边 求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还 将

14、学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的.8等边三角形（equikiteral triangle）（1）泄义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形.如图14-3-14, ZMBC中，AB=BC=CA.则ABC为等边三角形（2）性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。.如图14-3-14中，若AABC 为等边三角形，则ZA = ZB=ZC=60°. 除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等.（3）判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.下而证明以上两条判左.判崔：如图14-3-15,已知ZXA

15、BC中，ZA=ZB=ZC求证：AABC是等边三角形.图 14-3-15证明： ZB=ZC, ：. AB=AC又 T ZA = ZB AC=BC：.AB=AC=BG AABC是等边三角形判泄：如图143J5,已知AABC中，AB=AG ZB=60。求证：AABC是等边三 角形.证明： AB=ACf ZB=ZC又 Zfi=60o, ZB=ZC=60°.又 T ZA +ZB+ZC= 180°, ZA = I80o- (ZB÷ZC) =60°. ZA = ZB= ZC, AB=BC=AC.AABC为等边三角形.(4) 应用：例如：如图14-3-16, AABC为

16、等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD=BC=CE.求ZDAE的度数图 14-3-16分析：要求ZDAE的度数，需分开求，先求ZBAC,再求ZDAB和ZCAE.由AABC 为等边三角形知ZBAC=60°,又T BD=BC,而BC=BA,则BD=BA9 . ZVlBD为等腰三角形， ZD=ZDAB= 2 ZABC=30°.同理可知，ZCAE=30°. 解： AABC为等边三角形， AB=BC=AC. ZBAC= ZABC= ZACB=60°.又 T BD=BC, ：. BD=BC=AB ZDAB= ZD,又T ZABC= ZD÷ ZDAB,

17、 ZABC=2ZDAB=6Qq. ：. ZDAB=30Q.同理，ZCAE=30°.：.ZDAE= ZDAB+ ZBAC+ ZeAE= 30。+60。+30。= 120。【说明】本题中用到了等边三角形的性质.再如：如图14-3-17,已知ZVlBC为等边三角形，D、E、F分别为AABC三边上的点, 且BD=CE=AF,直线AD. BE、CF两两相交于点/?、Q、P.求证：ZkP0R是等边三角形图 14-3-17分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判左.要证APQR为等边三角形, 证三边相等难度较大，可考虑证苴三角相等.也可先证ZPQR=60°,而ZPQR=ZACQ+

18、 ZQAC.又因为ZACQ+ZBCF= 60S只需证ZBCF=ZDAC,由此可联想证ZXBCF与 CAD全等.证明： ABC为等边三角形， ZBAC= ZABC= ZBC=60o, AB=BC= CA 又 T BD=CE=AF,：.BF=DC=AEAB=BC=CA,ZBAE= ZFBC= ZDCA,在ZXABE 和ABCF 和ZkCAD 中,IaE=BF=CD, AABE竺ABCF竺 CAD （SAS）. ZABE= ZBCF= ZCAD V ZACQ+ ZBCF=60。, A ZACQ+ ZCAQ=60Q.：.ZAQF= ZACQ+ ZCAQ=60S 即ZPQR=60°.同理，ZR

19、PQ=ZPRQ=60。:仏PQR为等边三角形.【说明】（I）此题证明思路比较淸晰，只是步骤书写较繁，书写应认真：（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式 使用.9. 含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.團 14-3<如图 14-3-18,在 RtAABC 中，ZC=90o, ZA=30% IjIIJ BC= 2 AB.这一性质反过来 J_也成立即在 RtBC 中，ZC=90o, BC= 2 AB.则ZA = 30°.因此 RtABC 中，ZC 丄=90o, ZA =

20、30。OBC=亍 AB这一性质在解题中经常用到.例如：如图14-3-19在RtABC中，ZBAC为直角，髙AD交BC于D ZB=30% BC= 12 米，求CD BD的长.解：在 RtzMBC 中，ZBAC=90o, ZB=30% ZC=60o. BC=IACJ_ AC= 2 BC=6 （米）在 RtZVICD 中，Y AD±BC, ZC=60o, ZCAD=30°.丄 £ DC= 2 AC= 2 ×6=3 （米） BD=BC-DC=9-6= 12-3=9 （米）【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样.10. 证明线段相等的方法

21、到目前为止.学过的证明线段相等的方法，有以下几种：（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）.（2）等角对等边（在一个三角形中）.（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）.（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）.（5）中点的概念（在一条直线上）.（6）利用第三条等疑线段.（7）作辅助线、创造条件.例如：如图 14-3-20,点 Zx E 在 BC 上，AB=AC. AD=AE求证：BD=CE.图 14-3-20分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或 用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明.证法一：用全等三角形V AB=AC9 ：. Z

22、B=ZC又 AD=AE9 ：. ZADF= ZAEF又 ZADF= ZB+ ZBAD. ZAEF= ZC÷ ZCAE.：.ZBAD=ZCAE在 ABD 和 ZA CE 中，AB=AC, ZBAD=ZCAE. AD=AE,：.ABDACE （SAS）. BD=CE.证法二：用中线如图14-3-20,过A点作AF丄BC于F.Y AB=AC9 AF丄Ba BF=CF （三线合一）又 AD=AE. AF丄DE, DF=EF （三线合一） BF DF=CF-EF, ：. BD=CE证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F.V AB=AC. AF丄BC,：.AABC关于直线AF对称. BF

23、=CF同理,DF=EF BF-DF=CF-EF即 BD=CE.【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法.11. 证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：（1）角平分线的沱义及性质.（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）.（3）等边对等角（在一个三角形中）.（4）轴对称的性质.（5）找第三等量角（如ZA = ZC. ZB=ZC,则ZA = ZB）.（6）作辅助线，创造条件.例如 如图 14-3-2b ABC 中，AB=AC, Z1 = Z2.求证：ZBAD=ZCAD图 14-3-21分析：要ZBAD= ZCAD.因两角在两个三角形中，可考虑选

24、用全等三角形和角平分 线，以及轴对称进行证明.证法一：用全等三角形V Z1 = Z2, DB=DC在/MBD 和 ZkACD 中，AB=AC, DB=DG AD=AD9：.ZABD9ACD （SSS）. ： ZBD=ZCAD证法二：用轴对称 Z1 = Z2, DB=DC.点D在BC的垂直平分线上.又. AB=AC, A点也在BC的垂直平分线上. AABD与ZXACD关于直线AD对称. ZBAD=ZCAD （轴对称的性质）证法三：用角平分线V Z1 = Z2, DB=DC又 AB=AC,.点A、D都在BC的垂直平分线上. AD也为ZBAC的平分线（三线合一）. ZBAD=ZCA D.例如：如图1

25、4-3-22, ZXABC中，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线交AD于E,交BC 的延长线于F.求证：ZB=ZCAF.图 14-3-22分析：要证ZB=ZCAF,根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上, 可考虑用第三等呈角.证明：V EF垂直平分AD, ：. FA=FD Z1 = Z3÷Z4.又 ZADC为ZVlBD的外角， Zl = ZB+ Z2. ZB+ Z2= Z3+ Z4.又Z2=Z3, ZB=Z4.即 ZB=ZCAF.12. 三角形中的不等关系（1）大边对大角：在一个三角形中，如果两条边不等，那么这两条边所对的角也不等，并且较大的边所对 的角也较大，简称&

26、#39;'大边对大角”.如图 14-3-23,在ABC 中，若 AB>AG 则ZOZB（2）大角对大边：在一个三角形中，如果两个角不等，那么这两个角所对的边也不等，并且较大的角所对 的边较大，简称“大角对大边如图 14-3-23,在ABC 中，若ZOZB9 贝IJ AB>AC【说明】（I）上述两个泄理的使用条件是在一个三角形中，否则不成立；（2）上述不等关系具有传递性，即AABC中的三边分别为心b、c,若Qb, b>c则 a>ci同样所对的角也如此.若ZVlBC中，ZA>ZB, ZB>ZC,则ZA>ZC例如：判断下列说法是否正确，为什么？（1）

27、在一个三角形中，若最长边所对的角为锐角，则此三角形为锐角三角形.（2）直角三角形中，斜边最长.（3）钝角三角形中，钝角所对的边不一定是最长边.分析：此题目的在于考查三角形中边、角不等关系的灵活应用情况.解：（1）正确.因最长边对的角是最大角，而最大角是锐角，那么这个三角形一泄是锐 角三角形.（2）正确.因为直角三角形中，直角最大，那么斜边应是最长的.（3）不正确因为钝角三角形中，钝角最大，它所对的边应该最大，所以，上述说法 不正确.再如：已知ABC中，AB>AC, AD为BC边上的中线.求证：ZBADVZCADE图 14-3-24分析：要比较两个角的大小，需将苴放入同一个三角形中.如何放入一个三角形中，通 常采用平移法，延长AD至& DE=AD,连接BE,则公BDE竺MDA,有ZE=ZCAD9 BE=AC,在ZVlBE 中，AB>BE则 ZE>ZBAD.即 ZBAD< ZCAD 成立证明：延长AD至E, DE=AD,连接BE在