2020年四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

1、2020年四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)题号一一二总分得分选择题(本大题共12小题,共36.0分)1.2.3.4.5.6.7.8.设集合 M=-1 , 0, 1, N= x|x2-2x v 0,贝 U MAN=()A. 0B. 1C. 0, 1i是虚数单位，复数 在复平面上对应的点位于()D. -1 ， 0, 1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知tan aA.已知向量二,则cos2的值为(C.“满足El?0，01=1I 1=3,A. 0已知抛物线A. y2=2x设随机变量B. 2y2=ax上的点M (1,B. y2=4xX的概率分布表如表,则 口口=(C.2_m)到其焦

2、点的距离为C. y2=3xP (X-2|=1)=()D.匕|2,则该抛物线的标准方程为(D. y2=5x)X1234P11m-则B.C._已知 f (x) =ex-x,命题 p： ?xCR, f (x) > ( 0),则()A. p 是真命题，p： ?xoR, f (xo) < 0B. p 是真命题，p： ?xoR, f (xo) <0C. p 是假命题，p： ?xoR, f (xo) < 0D. p 是假命题，p： ?xoR, f (xo) <0已知函数 f (x) =Asin x> (A>0, w>0)与 g (x) =0cos ex 的部分

3、图象如图所示，则()A. A=1 , coC. A=1 ,D. A=2,司第16页，共15页9. 函数y=2x|sin2x的图象可能是（10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建 立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边 形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值.如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的n=24,则p的值可以是（参考数据：3=1.732, sin15 ° 0.2588sin7.5 &

4、#176; =0.13。5sin3.75 ° 0.0654）11.A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.14如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将AADE, AEBF, AFCD 分另沿DE, EF, FD折起，使得A、B、C三点重合于点A',若四面体 A' EFD的四个顶点在 同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8兀12 .设双曲线C： -=1(a>0,匕>0)的左、右焦点分别为 Fi, F2, |FiF2|=2c,过F2作x轴的垂 线与双曲线在第一象限的交点为A,已知% |F2Q|>|F2A|,点P是双曲线C

5、右支上的动点，且|PFi|+|PQ|>值可|恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(半，+ B. 口 3 C.(；,孚) D. c,当二、填空题(本大题共 4小题，共12.0分)13 .在(2x-0 6的展开式中，二项式系数最大的项为 .14 .若正实数a, b满足2a+b=1,则口目的最小值为.15 .已知函数f(x)=y"的定义城为R,数列an(nCN*)满足an=f( n),且an是递增数列，则实数 a的取值范围是 .16 .在小BC 中，AC=6, BC=7,二“/1 = ； , O 是 AABC 的内心，若 ¥ = */+%”，其中。寂 W1,。或 则

6、动点P的轨迹所覆盖的面积为 .三、解答题(本大题共 7小题，共84.0分)17 .已知等差数列an中,a2=5, a1, a4, a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和为Sn.18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使一些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点”以及“性别”作出调查，得到的情况如 表所示：在家用餐在餐馆用餐总计女性30男性40总计50100(1)完成上述2X2列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有 99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照

7、“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取 6人，再在6人 中抽取3人赠送餐馆用餐券， 记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为巳求E的分布列和数学期望. 附：P (必才0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828K2=(<? + it)Cr 44 CS + 山n =a+b+c+d19.AB /CD,ZABC=90如图，在四棱锥 SABCD中，底面ABCD是梯形, AD = SD, BC=CD=B,侧面 SAD 1B面 ABCD.(1)求证：平面BD"面SAD;(2)若ZSDA=120° ,求二面角 C-SB-D的余弦值.20.设椭圆匚 j + /=

8、1 (a>b>。)的离心率为怜，圆O： x2+y2=2与x轴正半轴交于点 A,圆。 在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为 富.(I )求椭圆C的方程；(n )设圆。上任意一点P处的切线交椭圆 C于点M, N,试判断|PM|?|PN|是否为定值？若为 定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.已知函数 f (x) = (1 + a) x2-lnx-a+1 .(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若av1,求证：当x>0时，函数y=xf (x)的图象恒在函数 y=lnx+ (1+a) x3-x2的图象上A- = 3C22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为? = _屈

9、(t为参数)，曲线 Ci的参数方程为| y = 2sin& ( °为参数)，以该直角坐标系的原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=.(I )分别求曲线 Ci的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程；(n )设直线l交曲线Ci于O, A两点，交曲线C2于O, B两点，求|AB|的长.23.已知函数 f (x) =|x|+|x-1|.(I )若f (x) >m-1|恒成立，求实数 m的最大值；(n )记(I )中m的最大值为M,正实数a, b满足a2+b2=M,证明：a+b>ab.答案与解析1答案：B解析：解：N=x|0vxv2；.

10、MnN=i.故选：B.可求出集合N,然后进行交集的运算即可.考查一元二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算.2答案：C解析：解：z=，J=-1-i,所以对应的点在第三象限；故选：C.首先化简复数为最简形式，然后根据复数的实部和虚部符号判断位置.本题考查了复数的运算以及其几何意义；属于基础题.3答案：D解析：解：C0S2 a=coS 促sin2故选：D.利用余弦的二倍角公式可求得cos2a=cos%sin2 a,进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2a+co25a,分子分母同时除以 cos2a,转化成正切，然后把 tan朗值代入即可.本题主要考查了同角三角函数的基本关

11、系和二倍角的余弦函数的公式.解题的关键是利用同角三角 函数中的平方关系，完成了弦切的互化.4答案：D解析：解：口?左0, 0 1=1,出3,万二阿故选：D.直接利用向量的模的公式求解.本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础 题.5答案：B解析：解：由题得点 M (1, m)到准线的距离为2,所以1-巨-a=4.所以该抛物线的标准方程为y2=4x.故选：B.根据点M (1, m)到其焦点的距离为 2得到点M到准线的距离为2,解方程组即得解. 本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推 理能力.6答案：C解

12、析：解：由X-2|=1可解得x=3或x=1 ,再由分布列的性质可得=一1 L H 一5=11 . jl_l+-jM匕. P (|X-2|=1) =P (X=1) +P (X=3)故选：C.由题意可得X和的值，代入 P (|X-2|=1) =P (X=1) +P (X=3)计算可得.本题考查离散型随机变量及其分布列，属基础题.7答案：B,f (xo)<0.解析：解：f (x) =ex-x,命题p： ?xCR, f (x) > (0),是真命题，它的否定是: 故选：B.判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查.8

13、答案：B解析：解：由图象可知,.A=2, T=6, 又6=T="- -o=|_故选：B.结合图象可知，:A=1, 0=1.5,然后再由周期公式即可求解3 本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题.9答案：D解析：【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题.直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果.【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x, *1也。三-2r|bin2j' = - y得到函数为奇函数，其图象关于原点对称, 故排除A和B.当x=；时，函数的值为0,故排除C.故选D .10 .答案：C解析：解：模拟执行程序，可得：n=6, S

14、=3sin60 ="；,不满足条件 S邳，n=12, S=6Xsin30 =3,不满足条件 S邳，n=24, S=12Xsin15 °=12X0.2588=3.1056 ,满足条件S羊，退出循环，输出n的值为24,故 p=3.1 ,故选：C.列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.11 .答案：B解析：【分析】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力.把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的

15、表面积.【解答】解：由题意可知小EF是等腰直角三角形，且 A' D1平面A' EF.三棱锥的底面 A' EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：11 +1+ 4胴.球的半径为球的表面积为打I - (y)2=6兀故选：B.12 .答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于 中档题.将x=c代入双曲线的方程，求得 A的纵坐标，由|F2Q|>|F2A|,结合a, b, c和离心率公式可得e的 范围；再由双曲

16、线的定义和恒成立思想，讨论F2, P, Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|,结合离心率公式可得e的范围，再由e>1,取交集即可得到所求范围.解：令x=c代入双曲线的方程可得 尸坨厂1眄由 |F2Q|>|F2A|,可得即为 3a2>2b2=2 (c2-a2),n啊 即有e= Jv阳又 |PFi|+|PQ|>gFiF2| 恒成立,由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立，由F2, P, Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值心用,可得3cv2a+即有e=F< 由e> 1,结合可得, e的范围是（1,故选：B.13 .答案

17、：-20x3 解析：解：因为（2x-» 6的展开式中，共有 7项，所以二项式系数最大的项是中间项，即第 4项.所以二项式系数最大的项为 T4=团？（2x） 3?占引=-20x3,故答案为：-20x3.判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项.本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项 二项式系数相等且最大，属于基础题.14 .答案：解析：解：+J=（E2）（2a+b）=2+l+HHEI3|E d 5 jb .a, b 是正实数，+ j即狂同的最小值为. r t当且仅当即a=b= 口时"=”成立.把旧看作（故答案为:I： +

18、）?1,然后把1换为2a+b,展开后利用基本不等式求最值.本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“ 1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题.15 .答案：（3, +8）解析:解：由题得口 > 12a+ 3 < a2 ,解得a>3.实数a的取值范围是（3, +8）.故答案为：（3, +8）.根据已知得到关于 a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围.本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推 理能力，是中档题.16 .答案： 解析：B： nP = XnA+yn 其中 0虫W1, 0可W,.动点

19、P的轨迹所覆盖的面积是以 OA, OB为邻边的平行四边形S=ABM,其中r为UBC的内切圆的半径在那BC中，由余弦定理可得 cosA='"mF =!5AB2-12AB-65=0. AB=5£ A4蜕n %匚 H""讷同=6小.O是AABC的内心，. O到AABC各边的距离均为r,1g X （6 + 5 + 7） X 7 = 6"：福0ABM=5 x 空将.故答案为：图.根据=二叫,其中0菽W1, 0或WL可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以 OA，OB为邻边的平行四边形，S=ABM, r为BBC的内切圆的半径，计算 AB及r,即可得到结论.

20、本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题.17.答案：解：（1）设等差数列an的公差为d,a2=5, ai, a4, ai3成等比数列，所以 a1+d=5, a42=aiai3,即（ai+3d）2=ai（ai+12d）,化简得d2=2d,则d=0或d=2,当 d=0 时，an=5；当 d=2 时，ai=5-d=3, an=3+2 （n-1） =2n+1 ；由（1）知当an=5时，Sn=5n；当 an=2n+1 时，贝U Sn=:'"=2n+n2.解析：（1）设等差数列an的公差为d,由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程得到d和首项的值

21、，即得数列的通项公式；（2）利用等差数列的前 n项和公式可得所求和.本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.在家用餐在餐馆用餐总计女性103040男性402060总计505010018.答案：解：（1）所求的2X2列联表如下:K2=16.67 >10.828,LChOx(10X 20-30 Xdoy故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关.（3）由题意可知 E的可能值为0, 1, 2,七的分布列为:012P71口11>EE =如 421解析：（1）根据表格中数据的关系，完善2X2列

22、联表;（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知 E的可能值为0, 1, 2,求出相应的概率值，即可得到E的分布列和数学期望.本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法, 考查计算能力.19.答案：证明：（1）因为 /ABC=90°, BC=CD,所以/CBD=45。, ZXBCD是等腰直角三角形,故BD=酉况因为AB=k初比ZABD=45。，所以 UBDs 弟CD, ZADB =90°,即 BD4D,因为侧面SAD1B面ABCD,交线为AD, 所以BDL平面SAD,所以平面 SBD"面SAD

23、.解：（2）过点S作SE必D,交AD的延长线于点 E, 因为侧面SAD1B面ABCD,所以SE1B面ABCD ,所以/SDE是底面SD与底面ABCD所成的角，即ZSDE=60° , 过点D在平面SAD内作DF ±AD,因为侧面SAD1B面ABCD,所以DF1B面ABCD,如图建立空间直角坐标系 D -xyz,设 BC=CD=1 ,则 B （0, 口） , C （-g, 1, 0） , S 用，0, |）, 则口=（0, EO，口=（目烟，酎Q=嚼，肾。），设=（x, y, z）是平面SBD法向量，取 x=3,得.口=（叵1O），设出（x, v, z）是平面SBC的法向量，取

24、x陋得口=（以-质-1|），1cos<尸弃=焉限 / H.所以二面角C-SB-D的余弦值为!|.解析：（1）取AB中点M,连接DM,可得DB必D又侧面SAD1B面ABCD ,可得BD 面SAD, 即可得平面 SBD"面SAD.（2）以D为原点，DA, DB所在直线分别为x, y轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB的法向量和面SBD的法向量.利用向量法即可求解.本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.20 .答案：解：（I ）设椭圆的半焦距为 c,由椭圆的离心率为 得知，b

25、 = a 口二网.椭圆C的方程可设为. 型y b易求得o）, .,点卜24椭圆上, 1+A = i，解得L，椭圆c的方程为：+4=1；（n）当过点P且与圆。相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为匚亚，由（I）知，N（瓦一闵,.=诋叫=（阳-叫则U3,。M3当过点P且与圆。相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y=kx+m, M （x1，yi） , N （x2, y2）,即 m2=2（k2+1）.联立直线和椭圆的方程得x2+2 (kx+m) 2=6,，(1+2k2) x2+4kmx+2m2-6=0,得A = (4km)2-4(l + 2fr2)(2m2-6) >0 Akm /+均=一二一

26、 ZlrL + I2mz-6WL诉TIN =(冷心，.OM AON.xix2 + Viyi =xix2+ (kxi+m) ( kx2+m)7jj 2mLi6-缺 m(l + fc )某】上 + 此巾(勺+H/ + m =(l+/c )*-t- +fcm-r- +m ip X1 + fcr)(2mJ-6)-4*?m + mJ(2ki + 1)3-61 -fi 3(2fcJ + Z)-6*J-624? + 1- 2M +1- 2fc：十 1综上所述，圆。上任意一点P处的切线交椭圆 C于点M, N,都有OM1ON.在 RtAOMN 中，由 4OMP 与 ANOP 相似得，|OP|2二|PM|?|PN

27、|=2 为定值.解析：(I )根据离心率得到 丘咽，代入椭圆方程，根据题意得知点运包在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出b的值，进而得出a的值，从而求出椭圆 C的方程；(n)对圆O在点p处的切线的斜率是否存在进行分类讨论.一是斜率不存在时，可得出点M、N的坐标，从而求出|PM|?|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为y=kx+m,设点M (xi, yi) , N (x2, y2),由直线MN与圆。相切得出m与k之间所满足的关系式，并将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出 L " = °|,得出OMLON,由4OMP与4NOP相似

28、得，|OP|2=|PM|?|PN|, 于是证出结论.本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运 算一起考查，考查计算能力，属于难题.21 .答案：解：(1)函数 f (x) = (1+a) x2-lnx-a+1 的定义域为：(0, +°0)且 f' (x) =2 (1 + a) xU="i+，当a=1时，f' ( x) v 0,函数f (x)在(0, +8)上为增函数；当 a>-1 时，令 f' (x) =0,解得：x=M；* ,此时f (x)在(0,能用)上递减，在(盟引，+8)上递增(2)证明：若

29、a<1,则当x> 0,时，问题转化为不等式：xf (x) > lnx+ (1+a) x3-x2在(0, +°°)上恒成立，只需要证明：x (1+a) x-lnx-a+1 > lnx+ (1 + a) x3-x2 在(0, +°°)上恒成立，即证：lnx-xv- :-a+1在(0, +8)上恒成立，?i t令 F (x) =lnx-x, g (x) =- , -a+1因为口(“肝目易得F (x)在(0, 1)单调递增，在(1, +8)上单调递减，. F (x)4(1) =-1又因为：g(X)=-/B当 0V xve 时，gz (x)

30、 < 0,当 x> e 时，gz ( x) >0,所以g (x)在(0, e)上单调递减，在(e, +°°)上单调递增,所以 g (x)为(e) =-»a+1,.avi 时,所以 #a+1>-1,即 F (x) maxV g (x) min ,所以lnx-xv - ；a+1在(0, +8)上恒成立，当x>0时，函数y=xf (x)的图象恒在函数 y=lnx+ (1+a) x3-x2的图象上方.故答案为：(1)当aV1时，r (x) <0,函数f (x)在(0, +8)上为增函数;当a>-1时，令f(x) =0,解得:x二%三*1 +唠此时f (