高等数学公式汇总

1、导数公式:11 x211 x2(tgx)sec2 x(ctgx) csc2 x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx(ax)axlna“、1(logax) xlna基本积分表：tgxdxIncosxCctgxdxInsin xCsecxdxInsecxtgxCcscxdxIncscxctgxC(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx22sec xdxtgx Ccos xdx22-csc xdx ctgx Csin2xsecx tgxdx secx Cdx1 一一一 x 八2arctg Ca xa adx1 , lx a小F2”C

2、x a 2a |x acscx ctgxdx cscx Cxx a axdx CIn ashxdx chx Cchxdx shx Cdx2 x.x carcsin- Cadxln(x . x2 a2) C222.I n sin xdx cos xdxooIn22 . x 22a x dx a x2三角函数的有理式积分：2 a22、 一ln(x . x a ) C 22d-In x xx2a2C22 axarcsin C2a2u1 u2sin x 2, cosx 2",1 u1 u,xtg，dx2du1 u2四一些初等函数：五两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:th

3、xx x e e2x xe e2shx ex echx ex earshxarchxarthxln(xx2 1)ln(x x21 , 1 x In2 1 x1)六三角函数公式:,诱导公式：.sinx .lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.71828182845904522角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90° - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180° - asin a-co s a-tg a-ctg a180° +a-sin a-cos atg

4、 actg a270° - a-cos a-sin actg atg a270° +a-cos asin a-ctg a-tg a360° - a-sin acos a-tg a-ctg a360° +asin acos atg actg a和差角公式:和差化积公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()Ftg1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctgsinsin2sincos22sinsin2 cossin22coscos2cos-cos-22cos cos 2 sinsin倍角公式:sin 2cos2ct

5、g2tg22sin2cos2 ctg22ctg 2tg1 tg2cos半角公式:sin 21 cos21 cos2, 1 cos正弦定理：一sin A反三角函数性质:1 1 2sin21 cossinbsin Barcsin x七高阶导数公式一一莱布尼兹（(n)(uv)nC：uk 0(nk) (k)V2 cossin2sin3cos33sin4cos34sin33 costg33tg tg33tg2(n)U V(n 1) nu vn(n 1)2!八中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f(a)F(b) F(a)当F(x) x时,九曲率:弧微分公式:平均曲率：KM点

6、的曲率:直线：K 0;半径为a的圆:cos21 cos2sin1 cosctg 21 cos1 cos1 cossinsin1 cos2R sin C一arccosx 2Leibniz）公式:余弦定理:arctgxb22abcosCarcctgx(n 2)Vf(a)f (n(n 1) (n kk!()(b a)柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。ds %1 y 2dx,其中 y tg十定积分的近似计算:1)(n k) (k)V(n) uv:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;-I s| Ids|y(1 y2)3s： MM弧长。b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab a,(V。yinb a

7、 1二2(y0 yn)b抛物线法：f (x)ab a 、/(y。yn)yn 1)yi2(y2yn 1V4yn 2) 4(yi y3yn 1 )卜一定积分应用相关公式: 功：W F s水压力：F p A引力：Fkmm2,k为引力系数 r函数的平均值：y1,f(x)dxb a a均方根：匕 b2 f2(t)dt b a a空间2点的距离：d M 1M 2 向量在轴上的投影：PrjuAB十二 空间解析几何和向量代数:,、2,、2,、2(x2 x1)(y2 y1)(Z2 Z1)AB cos ,是AB与u轴的夹角。Prju(a a?) Prja Prja?a b a b cosaxbx ayby azb

8、z,是一个数量两向量之间的夹角： cosaxbxaybyazbzcabijkaxayazbxbybz222 ,ax ayaz.bx2 by2 bz2c a b sin.例:线速度:向量的混合积：abc (a b) cax ay az bx by bza b c cos , 为锐角时,cxcycz代表平行六面体的体积平面的方程:1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n A,B,C, Mo(X0,yo,Z0)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：个丫三1Axo Byo Czo Da b c,A* 2 B2 C2平面外任意一点到该平 面的距离：d空间直线

9、的方程:x X。myy0 -z0 t,其中 s m,n,p;参数方程: n Px x0 mt y yo nt z zo pt二次曲面：21、椭球面：勺 a22、抛物面：2P3、双曲面：2222单叶双曲面：与 J 1a b c222双叶双曲面：=，1（马鞍面）a b c十三 多元函数微分法及应用x fx(x,y) xy z fy(x,y) y全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：, u . u , u .du dx dy dzzfu(t)Mt)dz z u z v dt u t v tzuz vu xv xz fu(x,y),v(x,y) 一 x当 u

10、u(x,y), v v(x,y)时，du dx dyx y隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0, v , v ,dv dx dyx y2出三，d4 (互)+( dx Fydx x Fy yFx) dyFy，dxzFyyFz隐函数 F(x,y,z) 0, -Fx,xFz隐函数方程组：F(x,y,u,v)G(x,y,u,v).(F,G) (u,v)FvGvy十四1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0,y0, %)处的切线方程:(t)x Xo(Uyo而z Z

11、o在点M处的法平面方程:(to)(x xo)(to )(yyo)(to)(z Zo)若空间曲线方程为：F(x,y,Z) °则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x, y,z) 0上一点 M(xo,yo,Zo),则：FxFxz GxGx1、2、过此点的法向量：过此点的切平面方程n Fx(xo, yo,zo), Fy(xo,yo, Zo), Fz(xo, yo,z°):Fx(xo,yo,Zo)(x xo) Fy(xo,yo,Zo)(y y°)3、过此点的法线方程:x xoy y。z ZoFx(xo,yo,Zo)Fy(xo, yo,Zo) Fz(xo,yo,Zo)卜

12、五 方向导数与梯度:函数zf (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为f一 cos x其中为x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i x它与方向导数的关系是：f grad f (x,y) e,其中e cos isinFz(Xo,yo,Zo)(Z Zo) 0f .sinyj,为l方向上的单位向量。f 是gradf (x, y)在l上的投影。十六多元函数的极值及其求法：设 fx(xo,yo)fy(Xo, yo)ACb2o时,贝1J： ACACB2B20时,0日t,0,令：fxx(xo, yo) A,fxy(xo, yo)o

13、,(xo,yo)为极大值o,(xo,yo)为极小值无极值不确定B,fyy(xo,yo) C十七重积分及其应用:f (x, y)dxdyf (r cos ,r sin )rdrd曲面z f(x, y)的面积A221 dxdyx yy (x,y)dD(x, y)dDDF Fx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdFz fa3D / 222、2(x y a )2x r cos 柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,x (x,y)d平面薄片的重心:_ Mx D x M (x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2 (x, y)d , 对于y轴

14、Iy x2 (x,y)dD平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a),(a 0)的引力:匚, (x,y)xd匚,(x, y)ydF xfW，Fyf3D/222 X2D/222、5(x y a )(x y a )十八柱面坐标和球面坐标：其中：F (r, ,z) f (r cos , r sin , z) x r sin cos球面坐标： y r sin sin , dv rd r sin d dr r2sin drd dz r cosf (x, y,z)dxdydz F(r,1重心：x x dv, yM转动惯量：Ix (y2 z2)2i、2,)r sin drd d d d00

15、1 H-1y dv,z zMM22、，dv,I y (x z ) dv,(.)2F (r, , )r sin dr0dv,其中 M x dv22、，Iz (x y ) dv十九曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：x (t),( t )，则:y (t)f(x,y)ds f (t),L(t) ,2(t)2(t)dt特殊情况：y (t)第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为 x(t),则：y(t)Hx,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t) Q(t),(t)(t)dtQ cos )ds,其中和分别为L两类曲线积分之间的

16、关 系：Pdx Qdy (P cosLLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式： (一 一)dxdy d x y当Py,Q x,即：x:Pdx QdyLP ，2时，得到D勺面积: ydxdyD-xdy2 Lydx平面上曲线积分与路径 无关的条件:1、。一个单连通区域;2、Rx,y), Qx, y)在纵具有一阶连续偏导数一 QP，且、=。注意奇点，如(0,0),应xy减去对此奇点的积分， 注意方向相反!二元函数的全微分求积：,QP-在一= 一时，Pdx Qd时是二兀函数u(x, y)的全微分，其中：xy(x,y)Ux,y)P(x, y)dxQx, y)dy,通常设 x°yo0

17、。(xo,y o)二十曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x,y) 1 z2(x,y) z2(x,y)dxdyDxy,对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x, y, z)dydz Px(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y, z)dzdx Qx, y(z,x),zdzd为取曲面的右侧时取正 号。Rcos )dsDzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx

18、Rdxdy (Pcos Qcos高斯公式:)dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(P cos Qcos Rcos )dsx y z高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div ,IP：单位体积内所产生的流体质量，若x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可写成： div Adv o Andsdiv0,则为消失二十二斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:/ RQPRQP.,( )dydz ()dzdx ( )dxdy . Pdx Qdy Rdz yzzxxydydzdzdxdxdyxyzPQR上式左端又可写成:关的条件：二 yco

19、scoscosxyzPQR空间曲线积分与路径无ijk旋度：rotA xyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A tds二十三常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：1 2 31 1调和级数:1 1 12 3二十四级数审敛法:(n 1)n21是发散的 n1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛设： lim&7,则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： 1防5二，则 1时，级数发散 n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;1imsn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4（或u1u2u

20、3,un0）的审敛法莱布尼兹定理：un un 1如果交错级数满足 J n，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝又t值rn un1 lim un 0 n卜五绝对收敛与条件收敛:u1 u2un ,其中un为任意实数；（2）u1 u2 u3un如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：1发散，而 n级数：工收敛；n1时发散1时收敛1时，收敛于1 x1时,发散对于级数（3）a0 a1x a2x数轴上都收敛，则必存 在R,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1求收敛

21、半径的方法：设limnan 1anan 1是（3）的系数,则0时,R时，R 0二十七函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:f (x0)2f(x)f(x0)(x X。)丁(x X。)f(n)(x。)n!(x x°)n余项：Rn(n 1) /fS(x x°)n 1, f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:(n 1)!lim Rn0nx0 0时即为麦克劳林公式:f (0) 2f(x) f(0) f(0)x 丁xf (n)(0) nxn!二十八一些函数展开成哥级数:m(1 x)/ m(m 1) 21 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!(1x1)sinx3 x3!

22、5 x5!1)n2n 1x(2n 1)!二十九欧拉公式:ix ecosx isinxcosx或sin xix eix ee2ix e2ixf(t)A0An sin( nn 1a0t n)- (an cosnx2 n 1bn sin nx)其中， a0 aA°, anAn sin n， bn An COs正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx 上的积分=0t x。任意两个不同项的乘积在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期n 1其中anf(x)cosnxdx(n 0,1,2bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31孑1

23、1TT -2241521621221221321321421422(相力口)62一(相减)12正弦级数:an0，bnf (x)sin nxdx1,2,3f(x)bn sin nx是奇函数余弦级数:bn0, anf(x)cosnxdx00,1,2f(x)a02an cosn娓偶函数周期为21的周期函数的傅立叶级数:f(x) a0(an cos-nx bnsinn_x), 周期 2l2 nill其中an一 . n x .f (x) cosdxilbn一 .n x .f (x)sindxl(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念: 一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成? f(x, y) dx(x, y),即写成y的函数，解法: x