概率论第3章习题详解

1、习题三1.将一硬币抛掷三次， 以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 .试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:X012310113C3g2 a a 8C2g1 - - 3/8 羯2 203180011112 2 2 82.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:工0123000C2gC2 2c435c；C工c43510C3CC _6C435c3CC 12C435c；C工C4352R0黑,2红,2白尸2241C2

2、&/C735C3gC2_6C435C3823C43503.设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为F（X, y） = sin xsin y，0,冗y 2 其他.求二维随机变量X, Y）在长方形域0 x -46兀 y 内的概率.3【解】如图P0 X兀 八 O _ _Y 三公式（3.2）冗冗冗冗F（；，i） F（；，6） F（0，3）花F（0，6）6冗冗sin -gsin 一43TT TTsin -gsinsin OgsinsinOgsin1).说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X, Y）的分布密度求：(1)(2)(3)【解】（1）得(2)JT题3图f (x, y)=Ae (3

3、x 4y)0,常数A；随机变量（X, Y的分布函数;P0WX1, 0 Y2.A=12由定义,F(x, y)P0P005.设随机变量（212eY)f (x, y)dxdy 0 0Ae(3x00,1.0xf (u, v)dudvx12e (3u 4v)dudv0Y 21,0 Y 2(3x 4y)dxdy (1的概率密度为k(6(x, y)=0,(1e3)(1x y),x 0, y 0, 其他.4y)Adxdy 112e3x)(1 e4y) y 0,x 0,0,其他8e )0.9499.x 2,2y 4, 其他.(1)(2)(3)(4)确定常数k；求 RXv 1, Y 3;求 RX;求 RX+YW

4、4.【解】（1）由性质有1,2 4f(x,y)dxdy k(6 x y)dydx 8k 021故 R -813(2) PX 1,Y 3f(x,y)dydx1 313k(6 x y)dydx 一0 2 88(3) P X 1.5 f (x, y)dxdy如图 a f(x, y)dxdyx 1.5D11.5 ,4127dx (6 x y)dy .02 832 P X Y 4 f (x, y)dxdy如图 b f(x, y)dxdyX Y 4D2题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,）上服从均匀分布,Y的密度函数为fY (y)5e5y, y 0,0, 其他.求：（1） X与Y的联合分

5、布密度；（2） PY y 0,其他.(2) P(Y X)y x0.2f (x, y)dxdy如图25e 5 ydxdy0-1=e7.设二维随机变量（X, Y）dx ：25e5ydy0.3679.的联合分布函数为F (xy)=(1 0,4x e求（X Y）的联合分布密度【解】f (x, y)2F(x, y)8e(4x2y)8.设二维随机变量（求边缘概率密度【解】fX（x）fY(y)0,X,Y)的概率密度为(xy)=4.8y(20,f (x, y)dyx04.8y(2 x)dy0,f (x, y)dx1y4.8y(2 x)dxD0.2)(1(5e 5xe2y),0,y其他.x),5)dxx 0,

6、y0,其他.0,1,0y x, 其他.22.4x2(20,x),1,其他.2.4 y(3 4y0,y2), 0y 1,其他.0,题8图X, Y）的概率密度为题9图9.设二维随机变量（yf (x, y)e , 0 x y,0,其他.求边缘概率密度【解】fX(x) f(x, y)dyx0,e ydyxe , x 0,0, 其他.fy(y)f(x,y)dx，e ydx00,ye0,y 0, 其他.题10图10.设二维随机变量（X,Y)的概率密度为f (x, y)22cx y, x y 1,0, 其他.（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度【解】（1）f (x, y)dxdy如图 f(x,y)dxd

7、yD1dx-112 ,4/2cx ydy c 1.x21214(2)fx(x)f (x, y)dy1 21 2 人21 24、.2 x ydyx (1 x ),1x 1,x 480,0,其他.fY(y)f(x, y)dx21 2 x 7 ；八 .x ydx y2, 0 y 1,y 420,0,其他.11.设随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y)1, y x, 0 x 1,0,其他.求条件概率密度fYix (y | x), fxiY (x | y)题11图1 y 0,0 y 1, 其他.【解】fX(x) f (x, y)dyxx1cy 2x, 0x1,0,其他.1 1dx 1 y,y1

8、fy(y)f(x,y)dx 1dx 1 y,y0,所以fYix(y |x)f(x,y)fx(x)1 2x 0,|y| x 1,其他.fxY(x| y)f(x, y)fY(y)11 y11 y0,y x 1,y x 1,其他.12.袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与Y的联合概率分布；(2) X与Y是否相互独立？【解】(1) X与Y的联合分布律如下表X345PX 为1113 c510223c510333C3106102011c51022C31031030011_2_C510110PY yi110310610E _ _6

9、161 一.(2)因 PX 1gPY 3 - PX 1,Y 3,10 10 100 10故X与Y不独立(2) X与Y是否相互独立?(2)因 PX 2gPY 0.4 0.2 0.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4),故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立白随机变量，X在(0, 1)上服从均匀分布,1y/2fY (y) = 2e , y 0,0, 其他.(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为 a2+2X*Y=0,试求a有实根的概率.Y的概率密度为【解】(1)因fX(x)1, 0 x 1,0,其他；fY(y)122e2, y 1,o, 其他.故 f(x,y)X,Y

10、独立 fX (x)gfY(y)1 e y/2 0 x 1, y 0, 20, 其他.题14图2 一一一(2)万程a 2Xa Y0有实根的条件是(2X)2 4Y 0故从而方程有实根的概率为:X2Y,PX2 Yf (x, y)dxdy1dx0x2 1y/2o 2e dy15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命 同一分布，其概率密度为(以小时计)，并设X和Y相互独立，且服从x 1000, 其他.1000f (x) = x2x求Z=X/ Y的概率密度【解】如图，Z的分布函数FZ（z）XPZ z PX z当 zwo 时，FZ(z) 0(2)当0Vzl时，（这时当y二103时，x=103z）（如图b）

11、Fz(z)1062 ;xx y y -z2 dxdy103 dyzy 106103* 2210 x ydx103103-2y106-dyzy12z2zfz(z)z20,z 1,0 z 1, 其他.fz(z)1 2z2, 1 2, 0,【解】设这四只寿命为 X(i=1,2,3,4)，则XN ( 160 , 202),从而Pmin(Xi,X2,X3,X4)180Xi之间独立 PX1 180gPX2 180180PX3 180gPX4 1801 PXi 180 g1 PX2 180 g1 PX3 180 g141 PX1 18014180 160204一 4一1(1)(0.158)0.00063.1

12、7 .设X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p (k), k=0, 1, 2,PY=r=q()，二0, 1, 2, 证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=p(k)q(i k) , i=0, 1, 2,k 0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以Z i X Y iX0,Y iUX 1,Y i 1 UL UXi,Y 0于是PZ i PX k,Y i kX,Y相互独立 P X kgPY i kk 0k 0p(k)q(i k)k 018 .设X, Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n, p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n, p的二项分布.【证明】 方法一：X

13、+Y可能取值为0, 1, 2,，2n.P X Y kPX i,Y k iP(X i)gPY k ii n pq2nk 2nq2n方法二：设厂，科2,口；X= l+ W 2+ （1,(1Y=阴均服从两点分布（参数为 p）,则+ (12+ -*Y= l+2+ ! n+1+ + (In+ + n ,所以，X+Y服从参数为（2n, p）的二项分布(2) 求V=max (X, Y)的分布律;(3) 求U=min (X, Y 的分布律;(4) 求WX+Y的分布律.【解】(1) PX 2|Y2PX 2,Y 2PY 2PX 2,Y 2 -5PX i,Y 2 i 00.050.25PY3|X 0PY 3, X

14、0PX 0PX3PX j 00,Y 30,Y j0.011, 0.033(2) PV i Pmax(X,Y) iPXi,Y i PX i,Y ii 1PX i,Y kPX k,Y i,i 0,123,4,5所以V的分布律为V=max(X Y)012345P0 PU i Pmin( X,Y) iPX i,Y i3PX i,Yk iPX5kk ii,Y iPX k,Y ii 0,1,2,3,U=min(X Y)0123P1于是(4)类似上述过程，有WX+Y012345678P 020.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X, Y)在屏幕上服从均匀分布.(1)求 PY0 | YX;(2)设附max

15、X, Y,求 RM0.题20图【解】因(X, Y)的联合概率密度为f(x, y)12222, x y R, tR0, 其他.(1) PY 0|Y XPY 0,Y XPY Xf (x, y)dy 0y xf (x, y)dy x冗 R 1d-z- rdr40 TH257t R 14 d 2 rdr40 g3/831/2 4(2) PM 0 Pmax(X,Y) 0Pmax( X,Y)01 PX 0,Y 021.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,f (x, y)dx 0y 0x=1,x=e 2所围成,二维随机变量(X, Y)在区域D上服从均匀分布，求(X, Y)关于X的边缘概率密度在 x=2

16、处的值为多少?e2 1【解】区域D的面积为 S01dx1 x2 e1ln2. (X,Y)的联合密度函数为f(x,y)120,0其他.(X, Y)关于X的边缘密度函数为fX(x)1/x 1dy 0 20,2x其他.Y1Y【解】因 PY yj PjPX x,Y yj,Yi 1F X=xi = piXiX21/81/8P( Y=yj = pj1/61X Y联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处 ,1所以 fX(2)-.422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(故 PYy1PX Xi,Yy。PXX2,Yy1,从而 PX x1,YYi11。6 8 2

17、4而 X与 Y独立，故 PX xigPY yj PX xi,Y yi,1-1从而 PX xi 6 PX xi,Y yi) 24.rr111即：PX x1)/24 6 4又 PX X PX x1,Y % PX x1,Y y? P X xj ys),rr 111即一PX XY y3),4 24 8,1从而 PX xj y3) -.一一13同理 PY y2 -, PX x2,Y v2 - 28一 3一111又 PY yj 1,故 PY y3 1 -.j 1623一一3同理 PX x2-.从而,、，、，、111PX x2,Y y3 PY y3 PX x/ y3) -.3 12 4故y1y2y3PX x

18、 PiX1241811214X2-8381434PY yjpj161213123.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 入（入0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概 率为p （0p1）,且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求： （1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（2）二维随机变量（X, Y的概 率分布.【解】(1) PY m|X n) Cmpm(1 p)n m,0m n,n 0,1,2,L(2) PX n,Y m PX ngPY m| X nm mn m Cn P (1 P) gn!n,n 0,1,2,L .24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为

19、X0.30.7而Y的概率密度为f (y),求随机变量U=*Y的概率密度g(u).【解】设F (y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=-Y的分布函数为G(u) PX Y u 0.3PX Y u|X1 0.7PX Y u |X 20.3PY u 1| X 1 0.7PY u2|X2由于X和Y独立，可见G(u) 0.3PY u 1 0.7PYu 20.3F(u1) 0.7F(u2).由此，得U的概率密度为g(u) G (u)0.3F (u 1)0.7F(u 2)0.3f(u1) 0.7f(u2).25.1.解:25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布,求 PmaxX, Y因为随即变量服从03上的均匀分