曲线曲面积分习题课

1、1一、要求一、要求曲线积分的性质及两类曲线积分的关系曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 会计算两类曲线积分会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1. 理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,理解两类理解两类3. 掌握格林掌握格林(green)公式公式, 会使用平面会使用平面gauss) ，会计算两类曲面积分，会计算两类曲面积分.5.了解散度、旋度的概念及其计算了解散度、旋度的概念及其计算6. 会用曲线积分、会用曲线积分、4. 理解两类曲面积分的概念，掌握高斯理解两类曲面积分的概念，掌握高斯方法方法.曲面积分求一些曲面积分求一些几何量与物理量几何量与物

2、理量.二、典型例题二、典型例题 解解（03年）年）:sin ,1cos (02 )l xtt ytt 在在曲曲线线弧弧上上，( , )llmx y dsyds 2222( )( )(1 cos )sin2|sin|2tdsxtytttdtdt20(1 cos ) 2sin2ltmydstdt则则 = =( , )x yy 分分布布有有质质点点，线线密密度度，求求它它的的质质量量. .2304sin2tdt= =3032sin3udu=8=8(0,0)(1,1)lyx设设 为为直直线线上上点点到到之之间间的的一一段段，则则（08年）年）（07年）年）2_.lxy ds 曲曲线线积积分分(1,1)

3、l设设 为为从从原原点点到到点点的的直直线线段段，则则曲曲线线积积分分22_.xyleds的的值值为为（06年）年）21yx 设设平平面面曲曲线线为为下下半半圆圆周周，则则曲曲线线积积分分22()_.lxyds的的值值为为（10年）年）222222()_:(2),. lxydsl xyaa= =其其中中 解解（04年）年）22( )uuxy设设有有连连续续导导数数，计计算算曲曲线线积积分分( ) 22( ) 22pqxuyyyuxyyx在在第第一一象象限限成成立立，且且连连续续22:25laxyb选选择择路路径径从从 点点沿沿着着圆圆周周到到 点点曲曲线线积积分分在在第第一一象象限限与与路路径

4、径无无关关(5,0),(3,4)ab连连接接的的任任意意光光滑滑曲曲线线. . 2( )( )2,abxuydxyuxy dyab 式式中中是是第第一一象象限限中中22:25laxyb选选择择路路径径从从 点点沿沿着着圆圆周周到到 点点2:,:531xxlxyx 2( )( )2abxuydxyuxy dy 3225(25)25(25)2xxxxdx 则则原原式式= =325(253)48x dx= = 解解（02年）年）fyzizx jxyk 已已知知变变力力，问问将将质质点点从从原原点点沿沿llwfdsyzdxzxdyxydz2220000000222(,)1xyzp xyzabc设设为为

5、曲曲面面第第一一卦卦限限一一点点，则则0000opxyzltxyz则则（即即）的的方方程程为为：2222221xyzabc沿沿直直线线移移到到曲曲面面的的第第一一卦卦限限部部分分上上的的.哪哪一一点点做做功功最最大大？并并求求最最大大功功000,:01xx tlyy ttzz t即即 的的参参数数方方程程为为：1200000003lwyzdxzxdyxydzx y zt dtx y z000,:01xx tlyy ttzz t即即 的的参参数数方方程程为为：222222( , , )1.xyzf x y zxyzabc问问题题转转化化为为求求 在在下下的的条条件件极极值值1法法 ：拉拉格格朗朗

6、日日乘乘数数法法222222( , , , )1xyzf x y zxyzabc令令222222( , , , )1xyzf x y zxyzabc令令x22222222220(1)20(2)20(3)1(4)yzxfyzayfxzbzfxycxyzabc 则则(1)* ,(2)* ,(3)* :xyz222222xyzabc= =22222213xyzabc= =,.3333 3abcabcxyz即即当当时时，达达到到最最大大功功xyzxyzabcabc2222223222222132222221,3333xyzabcxyzabc当当且且仅仅当当= =即即时时，等等号号成成立立. .2222

7、22( , , )1.xyzf x y zxyzabc问问题题转转化化为为求求 在在下下的的条条件件极极值值xyzabc13 31.3 3abc此此时时最最大大功功为为2法法 ：不不等等式式 解解例例22(sin )(1cos )lxa ttaxdyydxlyatxy 计计算算， 为为曲曲线线中中2222220,yxxypqxyxy 当当时时，有有.因因此此该该积积分分在在不不包包含含原原点点的的单单联联通通区区域域与与路路径径无无关关02tt从从到到的的一一段段. . 22222pyqyxxyx 一一阶阶连连续续偏偏导导数数，且且2222:laxyab 选选择择路路径径从从 点点沿沿着着上上

8、半半圆圆周周到到 点点cos:, :0sinxatltyat22lxdyydxxy 2222llxdyydxxdyydxxyxy则则 = =0dtdx = =2222:laxyab 选选择择路路径径从从 点点沿沿着着上上半半圆圆周周到到 点点022coscossin( sin )at atat atdta229lxy设设 为为取取逆逆时时针针方方向向的的圆圆周周，则则（08年）年）（07年）年）(31)(33)xyxylyexydxxexydy计计算算，（07年）年）2( )( )lxy dxyx dyx设设曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，其其中中2(22 )(4 )_.lxyy dxx

9、x dy 22(- ,0)1( ,0).xlaybaa 其其中中 为为从从沿沿到到的的一一段段曲曲线线(1,1)2(0,0)(0)0( ).xy dxyx dy连连续续可可导导，且且，计计算算（06年）年）( )(,)f x 设设在在上上有有连连续续的的一一阶阶导导数数，求求2221()2() 1(3, )(1,2).3ly f xyxdxy f xydylabyy， 为为从从到到点点sin()(cos)xxlieyb xydxeyax dy求求，其其中中（99研）研）（00研）研）22,(1,0),( 1)4lxdyydxlrxy 计计算算其其中中 是是以以为为中中心心为为半半径径2(2 ,

10、0)2(0,0)ablaayaxx， 为为正正的的常常数数， 为为从从沿沿曲曲线线到到的的圆圆弧弧. .的的圆圆周周，取取逆逆时时针针方方向向（10年）年）22(1),(1,0)(1) lxdyydxlxy计计算算其其中中 表表示示包包含含点点在在内内的的简简单单闭闭曲曲线线，沿沿逆逆时时方方向向. .(2(2针针) )（09年）年）2,(0,-1)()lydxxdylaxy计计算算其其中中 表表示示第第四四象象限限内内以以为为(1,0)-b起起点点为为终终点点的的光光滑滑曲曲线线. .( 1)( 1) 解解(06)()xyz ds 计计算算曲曲面面积积分分，其其中中 为为上上半半球球面面()

11、xyz dsxdsydszdsxoy将将 投投影影到到面面，投投影影区区域域为为：xozyozyxyx 关关于于面面和和面面对对称称，而而 和和 分分别别是是 和和 的的奇奇函函数数222zrxy即即 ：2222(0).xyzrz 0 xdsyds222xyr222-rdsdxdyrxy 从从而而 ()xyz dsxdsydszdszds 222222-xydrrxydxdyrxy xydrdxdy 23rrr （09年）年）22101xyzz设设曲曲面面为为圆圆柱柱面面介介于于与与部部分分的的外外侧侧2222_,_.xydxdyxyds则则 （）（）221(1)()(01).2xydszxy

12、z计计算算，其其中中 为为（08年）年）（07年）年）221(0)zxyz 已已知知曲曲面面 的的方方程程为为，则则（例题）（例题）2366xyz设设曲曲面面 是是位位于于第第一一卦卦限限部部分分，则则曲曲面面（例题）（例题）221()(1).2zxyzzds设设曲曲面面 是是，求求曲曲面面积积分分2222_.441xyzdsxy()_.32xyz ds积积分分（例题）（例题）21,0,0,0.(1)dsxyzxyzxy计计算算， 是是.的的边边界界曲曲面面 解解(08)2222()(2),xz dydzx yzdzdxxyy z dxdy 计计算算0,z 补补上上曲曲面面：取取下下侧侧，则则

13、 与与围围成成闭闭区区域域gauss根根据据公公式式：gauss 曲曲面面积积分分在在满满足足公公式式：222zaxy 其其中中 为为半半球球面面的的上上侧侧. .222pqrxyzxyz2222222()(2)xz dydzx yzdzdxxyy z dxdyxyzdv （）2222222()(2)xz dydzx yzdzdxxyy z dxdyxyzdv （）2222000ddsinarrdr 由由球球面面坐坐标标：525a 22222()(2)(2)xz dydzx yzdzdxxyy z dxdyxyy z dxdy对对于于222,xyxoydxya将将投投影影到到面面：2d(2)2xyxyy z dxdyxydxdy 则则0( 对对称称性性）5522055aa原原积积分分= =xdydzydzdxzdxdy计计算算，其其中中 为为旋旋转转抛抛物物面面（07年）年）（07年）年）2222xyza设设 为为球球面面的的外外侧侧，则则（例）（例）222(0).zaxya是是上上半半球球面面的的上上侧侧22(1).zxyz的的上上侧侧32222_.()xdydzydzdxzdxdyxyz323232(2)(2)(2)xxydydzyyzdzdxzzxdxdy计计算算，xyzdydzydzdxzdxd