高一数学-直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)

1、同J数学-直线与圆的方程 一一直线与圆的位置关系(带答案)专题二直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断教学重难点：直线和圆的位置关系的应用教学过程：第一部分知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：222直线l : Ax By C 0和圆C: x a y br2 r 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：Ax By C 0由2 y 22 ,消元得到一元二次方程，计算判别式，(x a) (y b) r0 相交；0 相离；0 相切；(2)几何方法如果直线l和圆C的方程分别为：Ax By C 0, (x a)2 (

2、y b)2 r2.可以用圆心C(a,b)到直线的距离d | Aa Bb C |与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系A2 B2d r 相交；d r 相离；d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。例1 直线。十仁2+。与圆(x1)2+y2= 4的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能答案 B 解析 圆心到直线的距离 d=所以直线与圆相切.例2已知直线l过点(一2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A. (2, 2) B. (-, )C. (-, )D.(-,)答案C 设l的方程y=k(x+ 2),即一y+2k

3、=0.圆心为(1,0).由已知有<1,，一 <k<.例3圆(x3)2+(y3)2=9上到直线34y11=0的距离为1的点有几个?解：圆(x 3)2+(y3)2=9的圆心为 Oi(3, 3),半径 3,设圆心。1(3, 3)到直线34y- 11=0的距离为d,则|3 3 4 3rHI2 3.3242如图1,在圆心Oi的同侧，与直线34y- 11=0平行且距离为1的直线Ii与圆有两个交点，这两个交点符合题意,又r32=1,所以与直线34y11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意所以符合题意的点共有 3个。1 / 10高一数学-直线与圆的方程 一一直线与圆的位置关系(

4、带答案)高一数学-直线与圆的方程 一一直线与圆的位置关系(带答案)例4平移直线x y+1 = 0使其与圆(x 2)2+(y1)2= 1相切，则平移的最短距离为()-1B. 21 与 + 1答案 A解析 如图2,圆心(2,1)到直线I。： x-y+1 = 0的距离d = = ,圆的半径为1,故直线10与11的距离为 1,，平移的最短距离为1,故选A.7 / 10例5 已知曲线5x2y2+5=0与直线 ”0无交点，则m的取值范围是1<m<1例6 直线a(1)(1)=0与圆x22=2的位置关系是( C )(A)相离(B)相切(C)相交或相切(D)不能确定考点二：圆的切线的求法 ：直线与圆

5、相切，切线的求法：222(1)当点(x0,y0)在圆x y r上时，切线万程为 x°x y°y r ；(2)若点(xo，y。)在圆(x a)2 (y b)2 r2上时，切线方程为2(x。 a)(x a) (y。 b)(y b) r ；(3)斜率为k且与圆x2 y2 r相切的切线方程为 y kx J1 k2 ；斜率为k且与圆222y kx m ,然后变成一般式(x a)2 (y b)2 r2相切的切线方程的求法：先设切线方程为kx y m 0,利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m；(4)点(xo，y。)在圆外面，则切线方程为 y y。 k(x x。)，再变成一般式，因为

6、与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k ,注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.例7求经过点(1, 7)与圆x22=25相切的切线方程.解法一：设切线的斜率为k,由点余式有7(x 1),即，(x-1)-7,将上述方程代入圆方程 x2+k(x 1) 72=25整理得(k2+1)x2(2k2+14k)2+1424=。， =(2 k2+14k)2 4(k2+1)(k2+1424)=。,由此方程解出k,再彳t回7(x1),可得切线方程，好了，到此打住！从过程可以看到：利用此法求切 线方程，一般地讲，过程冗长，计算、书写量大而繁杂，容易出现错 误，通常情况下不采用.解法

7、二：设所求切线斜率为k,所以所求直线方程为7(x1),整理成一般式为yk7=。，所以 |0 0 ： 7| 5,化简为 12k27k12=0, .1k24 .、3 所以或一.所以切线万程为 4x3y25=0或3425=0.34解法三：设切点为(X0, yo),所求切线方程为X0025,将坐标(1, 7)代入后得X0-7y0=25,由x07y025X04X0322，解得，或故所求切线方程为4X3y25=0或3425=0.X)V。25y03yO4例8 已知圆C: X2+y2+2X-4y+ 3=0.若圆C的切线在X轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切 线的方程.解析 二切线在两坐标轴上截距的绝对值相等

8、，切线的斜率是 土.设切线方程为y=x+ b或y=x+ c,分别代入圆 C的方程得2x22(b 3)X+(b2 4b+3)= 0或 2x2+2(c 1)X+(c2-4c+ 3)=0,由于相切，则方程有等根，即b = 3或b=1, c= 5或c= 1.故所求切线方程为：x+y 3=0, x + y+1 = 0, x- y+5=0, x-y+ 1 = 0.例9直线与圆x22(m>0)相切，则( D )1 2人(A) (B)(C) J2(D) 22 2例10 由点P(1, 2)向圆x22+2x 2y2=0引的切线方程是51219=0和1.例11 直线a(1)(1)=0与圆x22=2的位置关系是

9、( C )(A)相离(B)相切(C)相交或相切(D)不能确定考点三：直线与圆相交的弦长公式(1)平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B,线段的长即为直线l与圆相交的 弦长. AB设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为，则有(空)2 ,r2 d22(2)解析法求弦长公式：X2I (X X2)2 4x/2 ,如图所示，直线l与圆相交于两点A(X1, y1), B(X2,到一个关于X的一元二次方程，求得X12和X1X2于是| X1这样就求得 | AB | 、1 k2 | x1 x2 | 1 12 1yly2| °例11直线l经过点P(5, 5),且和圆C: x22=25相交

10、，截得弦长为4后，求l的方程.解：设是圆心到直线l的距离，是圆的半径，是弦长的一半，在中，5, 2 J5 ,所以 J|OA|2 | AH |245 ,即粤普_| 75,解得 1，2,k. k2 12所以直线l的方程为x25=0,或2x y5=0.例 12两圆C1:x2y2 D1x E1yF10 与 C2:x2y2D2xE2yF20 相交于 A、B 两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点，可以采用 设而不求”的技巧.解：设两圆Ci、C2的任一交点坐标为（x0,y0）,则有:2 2x0y0D

11、1x0E1 y0 F103 2x。V。D2x。E2 y0F20得：(D D2)x0 (E1E2)y0 F1 F20 .A、B的坐标满足方程（D1D2)x (E1 E2)y F1 F2 0.，方程(D1 D2)x (E1 E2)y F1F2 。是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是唯一的.，两圆C1、C2的公共弦 AB所在直线的方程为（D1 D2）x （E1 E2）y F F20 .说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与

12、方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很 广泛.例13圆心为（1, 2）、半径为245的圆在x轴上截得的弦长为（ A ）（A） 8（B） 6（C） 6g （D） 4V3例14直线1被圆x22 2x 2y7=0所截得线段的中点是（ A ）(A),11,13、(二,-)(B) (0, 0)(C)(-,-)224 4例15已知圆C: x22-24y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦为直径的圆过原点, 若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解法一：假设存在斜率为 1的直线l,使以l被圆C截得的弦为直径的圆过原点。设l 的方程为，A（x1, y1）

13、，B（x2, y2）,由，知， 1,即 x1x21y2=0.由x2y x b2y 2x 4y 4，得 2x2+2(1)2+4b 4=0。022 b2 b-xi2= (1), xix2=- 2b 2 , yiy2=(xi)(x2)ix2(xi2)= b 2 ,22 xix2iy2=0.b2+3b4=0,解得一4 或 1故存在这样的直线.，它的方程是-4或1。解法二：圆C化成标准方程为(x1)2+(2)2=9,假设存在以为直径的圆 M,圆心M的坐标为(a, b)。,一一 b 2由于-L l, 1,即1 , a 1.a 1直线 l的方程为 y a,即 x 0,|CM | |b % 3| , 、2因为

14、以为直径的圆C过原点，所以，2而 22 2=9 (b a 3 )222,2， 9(b3)2(b a 3) = a22,代入消元得22a2a 3=0, '''或一1,2P到顶P到顶点A、B、。的距离的平方和,35 .当一，b时，此时直线l的方程为x y4=0 22当一1, 0时，此时直线l的方程为x1=0。故这样的直线l是存在的，它的方程为xy4=0或x1=0。例16 在中，/ 90°, 8, 6,点P为它的内切圆C上任一点，求点 点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值.解：如图所示，以。为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(8, 0), B(0, 6

15、),内切圆C的半径8 6 10 2,2所以圆心坐标为 C(2, 2),所以内切圆C的方程为(x2)2+(y2)2=4,设P(x, y)为圆C上任一点，点则(x-8)222+(y- 6)222=3x2+3y2- 16x- 12100=3( x- 2)2+(y- 2)2 - 476,因为点 P(x, y)在圆上，所以(x 2)2+(y2)2=4,88-4x,因为点P(x, y)是圆C上的任意点，xC 0, 4, 当0时，88;当=4时，72.例17 已知圆 C: (x3)2+(y4)2=4和直线 l: y 43=0.(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交.(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短

16、，并求最短弦的长答案：(2) 1,弦长为2 <2第二部分课堂练习.221、直线x y 1与圆x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则 a的取值范围是 同J数学-直线与圆的方程 一一直线与圆的位置关系(带答案)9 / 10解：依题意有1a 1 a ,解得 M,2a 、泛 1a 0 , .-.0 a 1.2:若直线ykx 2与圆(x 2)2(y3)21有两个不同的交点，则k的取值范围是解：依题意有2k 1解得0，一4，.一k的取值范围是(0,).3一 一 23、圆x2x 4y0上到直线x y 1 0的距离为22的点共有()分析:圆心到直线的距离为4、过点P 3, 4y2 2x(B) 2

17、个(C) 3 个(D)24y 3 0化为x 18 ,圆心为 1,J2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于C.作直线l ,当斜率为何值时，直线l与圆C: x分析：观察动画演示，分析思路. 解：设直线l的方程为kx3k 4根据d3k 4k24有公共点，如图所示., 2-21 y 2整理得3k2 4k解得5、已知的两个顶点 点C的坐标.2 4解：kBH -5 6A(-10 ，2),B(6,4),垂心是H(5,32),求顶kAC直线的方程为1 1(x 10) 226=0, kAH 0.所直线与x轴垂直故直线的方程为6(2)解(1)(2)得点C的坐标为C(66)图E226、已知万程x y 2x 4y

18、m 0.(I)若此方程表示圆，求 m的取值范围;高一数学-直线与圆的方程 一一直线与圆的位置关系(带答案)(n)若(I)中的圆与直线 x 2y 4 0相交于M, N两点，且 (O为坐标原点)求 m的值;(出)在(n)的条件下，求以为直径的圆的方程解：(I) x2 y2 2x 4y222, 4, m D E(n)x 2y 4 022x y 2x 4y25y 16y 8 mm 04F =20- 4m 0, m 5x 4 2 y代入得m 0011 / 10yi得出：x1x2 y1y205yi y28(yiy2) 16 016y2 一， yi y25半径r4 . 5*)(出)设圆心为(a,b) a &

19、#39;一上 -,b y一y1 82525圆的方程(x 4)2 (y 8)216555227、已知圆 C: x (y 1)5,直线 l: mx y 1 m 0。(I)求证：对 m R ,直线l与圆C总有两个不同交点；(n)设l与圆C交与不同两点 A、B,求弦的中点 M的轨迹方程；AP 1(出)若定点 P (1, 1)分弦为 ，求此时直线l的方程。PB 2解：(I)解法一：圆 C:x2 (y 1)2 5的圆心为C(0,1),半径为 J5。，圆心C到直线l : mx y 1 m 0的距离d ；=m= Lm 1 J5 , m2 1 2m 2，直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；方法二：

20、直线l: mx y 1 m 0过定点P(1,1),而点P(1,1)在圆C : x2 (y 1)2 5内.直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；(n)当M与P不重合时，连结、，则CM MP,222 CM MP CP2222设 M(x,y)(x 1),则 x (y 1) (x 1) (y 1)1 ,化简彳导:x2 y2 x 2y 1 0(x 1) 当M与P重合时，x 1, y 1也满足上式。故弦中点的轨迹方程是 x2 y2 x 2y 1 0。一 AP 11(出)设 A(x,y1), B(x2, y2),由 一得寿-PB ,PB 22,1 , 1 x - (x2 1),化简的 x2 3

21、2x12mx y 1 m 02 222又由 22 消去y得(1 m )x 2m x m 5x2 (y 1)2 52m2-x1 x2 2 1 m同J数学-直线与圆的方程直线与圆的位置关系（带答案）由解得Xi3 m21 m2,带入（*）式解得m1,直线l的方程为x y0或 x y 2 0。第三部分作业练习、选择题:1.已知过A1, a、B a, 8两点的直线与直线2x y 1 0平行，贝U a的值为（）2.3.4.5.6.7.8.9.10.A. -10设直线xA.已知过A（A.4若点P（m,A. 2B. 2C.5D.17my n 0的倾角为，则它关于x轴对称的直线的倾角是（B.2C.2, m）,

22、B（m,4）两点的直线与直线C.2D. 一2y 1x垂直，则m的值（ 210)到点A( 3,B. 1不论k为何值，直线（2kA.(0,0)B.(2,3)2）及B（2, 8）的距离之和最小，则 m的值为（C. 2D. 11)x (k 2)yC.(3,2)（k 4） 0恒过的一个定点是（D.(-2,3)圆(x 1)2（y 2）2 8上与直线xB, 2个在4中，/ A = 90°, / B= 60°,C.1,若圆径是（A.3圆x2A. 2过圆A. 2x已知点2x1 0的距离等于双的点共有（D, 4个O的圆心在直角边上，且与和所在的直线都相切，则圆O的半1B.23C.一2-3D.3

23、2y 1B. 10上的点到直线2的距离的最大值是（D. 1 2,24xmy0上一点P（1,1）的圆的切线方程为（B. 2x y 1C.x 2y 10 D. x 2y 1 0P(a,b)(ab0）是圆O：r 2内一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直2线n的万程为ax by r ,则（A . m / n且n与圆。相离C. m与n重合且n与圆。相离 二、填空题：B.D.m /m ±n且n与圆。相交n且n与圆。相离13 / 10高一数学-直线与圆的方程 一一直线与圆的位置关系(带答案)11 .若直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，又回到原来的位置， 则直线l的

24、 斜率k .12 .斜率为1的直线l被圆x2y2 4截得的弦长为2 ,则直线 l的方程为.13 .已知直线l过点P(5,10),且原点到它的距离为 5,则直线l的方程为 .14 .过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 .15 .已知圆C的圆心与点P ( 2,1)关于直线y x 1对称，直线3x 4y 11 0与圆C相交于A、B两点，且AB 6,则圆C的方程为.三、解答题：16 .求经过直线l1：345=0 l 2:238=0的交点M,且满足下列条件的直线方程：(I )经过原点；(II )与直线25=0平行；(出)与直线25=0垂直.17 .已知圆C:(x a)2 (y 2)2 4 (a 0)及直线l:x y 3