核心素养测评十四

1、温馨提示:此套题为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评十四利用导数研究函数的极值、最值叽电届升歩 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)21. 设函数f(x)二-+ln x贝卩()A. x二-为f(x)的极大值点B. x二-为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点21x-2 丄,【解析】选D.f'(X)二一+一，由 f ' (x)>0,得x>2,所以f(x)的增区间为匹棒丸f(x)的减区间为(0,2), 所以f(x)只有极小

2、值，极小值点为x=2.2. 已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f ' (x)的图象如图，则下列结 论正确的是 ()A. a,c分别是极大值点和极小值点B. b,c分别是极大值点和极小值点C. f(x)在区间(a,c)上是增函数D. f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象 可知，函数f(x)在区间(a,+ I上是增函数.3. 已知x二-是函数f(x)=x(ln ax+1)的极值点，则实数a的值为()11A. B.C.1D.e色£e【解析】选B.因为函数f(x)=x(ln ax+1)有极值点，所

3、以 f' (x)=(ln ax+1)+仁2+ln ax;因为x二一是函数f(x)=x(ln ax+1) 的极值点，所以f' 一 ! =2+In a =0;11所以 In a 一=-2;解得:a二-.ee4. (2020 湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种 植是8万斤,每种植一斤藕，成本增加0.5元,销售额函数是1 3今 2丄一f(x)=- yx +二ax +-x,x是莲藕种植量，单位:万斤;销售额的单位：万兀,a是常数, 若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为

4、g(x),得g(x)=1G2 1】' H23 =2-x+ax+x-1-x二-x ax -1,当 x=2 时,g(2)=- - x 2ax 2 -1=2.5,解得 816228168 ISa=2.所以 g(x)=- x'kx'-l,8 83 2 33g (x)=- x+x=-x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减.所以当x=6时，函数g(x)取得极大值即最大值.ar X-t-15. (多选)(2020 烟台模拟)已知函数f朋叮,则下列结论正确的是()A. 函数3訓存在两个不同的零点B. 函数既存在极大值又存在极小值C. 当-e<

5、k<0时，方程f J =k有且只有两个实根D. 若x 时,f申二一,则t的最小值为2e【解析】选ABC对于A.f ：=0? x2+x-仁0,解得x ,所以A正确；2对于B.二- 二-,当盘君>0时,-1<x<2,当 厂 厂<0or时,x<-1 或 x>2,故(叫血，-.是函数的单调递减区间八-是函数的单调递增区所以-1 |是函数的极小值，f是函数的极大值，所以B正确.对于C.当xt +x时,y 0,根据B可知,函数的最小值是f -=-e,再根据单调性可知，当-e<k<0时，方程f3=k有且只有两个实根，所以C正确;对于D.由图象可知,t的最

6、大值是2,所以不正确.1ytL.才二 f一- -丄/ID f二、填空题(每小题5分,共15分)6. (2019 濮阳模拟)函数f(x)=e x-2x的最小值为.【解析】f' (x)=e x-2,令 f' (x)=e x-2=0,解得 x=ln 2.可得：函数f(x)在(-* ,|n 2)上单调递减，在(ln 2,+ 乂)上单调递增.所以x=ln 2时，函数f(x)取得极小值也是最小值,f(ln 2)=2-2In 2. 答案：2-2ln 27. 函数f(x)=(工z-l)ex(其e=2.718是自然对数的底数)的极值点是；极大值为.【解析】由已知得f' (x)= (/-兀

7、-1十沪*忑-2)ex=(x+2)(x-1)e因为 ex>0,令 f ' (x)=0,可得 x=-2 或 x=1,当x<-2时f ' (x)>0,即函数f(x)在(-乂,-2)上单调递增；当-2<xv1时,f ' (x)<0,即函数f(x)在区间(-2,1)上单调递减；当x>1时,f ' (x)>0,即函数f(x)在区间(1,+ 8)上单调递增.故f(x)的极值点为-2或1,且极大值为f(-2)= 答案:1或-2 一12 兀耳 jc v 0+-'当x (- 8,m时，函数f(x)的取值范围为-2兀 X >

8、0,-16,+ 8),则实数m的取值范围是.【解析】当 x< 0 时,f ' (x)=3(2+x)(2-x),所以当 x<-2 时,f ' (x)<0,函数 f(x) 单调递减；当-2<x < 0时,f ' (x)>0,函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图象，结合函数的图象得-2 < m< 8时，函数f(x)总能取到 最小值-16,故m的取值范围是-2,8.答案：-2,8三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=xo处取得极大值或极小值，则称X。为

9、函数y=f(x)的极值点. 已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x 3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a,b的值. 设函数g(x)的导数g(x)二f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1)由题设知 f (x)=3x +2ax+b,且 f (-1)=3-2a+b=0,f (1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3.由(1)知 f(x)=x 3-3x,则 g (x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g (x)=0 的根为 xi=x2=1,x 3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当 x<-2 时,g ' (x)<0,当-2<x

10、<1 时，g' (x)>0,当 x>1 时,g ' (x)>0,所以-2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.10.已知函数f(x)=ax+ln x, 其中a为常数.(1)当a=-1时，求f(x)的最大值.若f(x)在区间(0,e上的最大值为-3,求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0,+ 乂),当 a=-1 时,f(x)=-x+ln x,1 1一缶f' (x)=-1+ - ,令 f' (x)=0,得 x=1.当 0<x<1 时,f ' (x)>0;当 x>1 时,f ' (x)&

11、lt;0.所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+ X)上是减函数.所以 f(x) max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+ x)上的最大值为-1. f ' (x)二a+f,x 0 酣£ 2). 若a>则f ' (x) >0,从而f(x)在m |上单调递增,所以f(x) ma>=f(e)二ae+1e> 0,不符合题意. 若 av-,令 f ' (x)>0 得 ak>0,结合 x,解得 0<x<exa令f' (x)<0得aiO,结合x (0 E,解得*<xw e.从

12、而f(x)在(0厂上单调 递增，在(一丄*巳上单调递减，V a J所以 f(x) maFf -=-1+ln 一 ，令-1+山 一 =-3,得 In >-'=-2,所以a=-e2，因为-e2v-,所以a=-e2为所求,故实数a的值为-e2. e综合运用练 (15分钟35分)1. (5分)(多选)下列函数中，存在极值点的是()A. y二x- B.y=_.'i-3C.y=-2x -xD.y=xln x”2罢)内单调递增，没有极值点.函数 W =【解析】选BD.由题意,函数y=x-,则y =1l>0,所以函数y=x-在(-*,0),(0,+*尬根据指数,X < 0,函

13、数的图象与性质可得，当x<0时，函数y= 单调递减，当x>0时，函数y= 单调递增，所以函数y='在x=0处取得极小值；函数y=-2x3-x,则y'=-6x2-1<0, 所以函数y=-2x3-x在R上单调递减，没有极值点；函数y=xIn x,则y'=n x+1,x>0,当x (厲时,y ' <0,函数单调递减，当x 淇订时,y ' >0,函数单调递增，当x=-时，函数取得极小值.e2. (5分)用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30m),要求长方体的长与宽之比为3 : 2,则该长方体最大体

14、积是()3333A.24 mB.15 mC.12 mD.6 m【解析】选B.设该长方体的宽是x m,由题意知，其长是一m,高是=242m(0<x<3),则该长方体的体积 V(x)二x 二一11?3机骑2次二2=-x +x ,V (x)=- x x,由 V (x)=0,得到 x=2(x=0 舍去),且当 0VXV2 时,V ' (x)>0;当 2<x<3 时，V (x)<0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 m3.【变式备选】用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无

15、盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱，则水箱的最大容积为()3A.120 000 cm3B.128 000 cmC.150 000 cm3D.158 000 cm3【解析】选B.设水箱底长为x cm,则咼为cm.n由 、一得 0VXV120.G > 0,设水箱的容积为y cm3,则有 y=-x3+60x2.23求导数，有 y' =-x2+120x.2令y' =0,解得x=80(x=0舍去).当 x (0,80)时,y ' >0;当 x (80,120)时,y ' <0.因此,x=80是函数y=-x

16、3+60x2的极大值点，也是最大值点，此时y=128 000.3. (5分)(2020 昆明模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx+cln x(a>0)在x=1和x=2处取得极值,且极大值为-,则函数f(x)在区间(0,4上的最大值为()A.0£B. - 2D.4ln 2-4C. 2ln 2-4【解析】选D.函数的导数为因为f(x)在x=1和x=2处取得极值,所以 f' (1)=2a+b+c=0,f'=4a+b+-=0,因为f(x)极大值为-,a>0,所以由函数性质知当x=1时，函数取得极大值为-，2则 f(1)=a+b+cln 仁a+b=- -，由得a=

17、,b=-3,c=2,0即 f(x)= x2-3x+2ln x,2.f，(x)=x-3+ -=,X Xx由 f ' (x)>0 得 2<x< 4 或 0<x<1,此时为增函数,由f ' (x)<0得1<x<2,此时f(x)为减函数，则当x=1时,f(x)取得极大值，极大值为-,又 f(4)=8-12+2ln 4=41 n 2-4>-,即函数在区间(0,4上的最大值为4ln 2-4._24. (10 分)(2019 成都模拟)已知函数 f(x)=aIn x-x2+1"- x-.4*(1)当曲线f(x)在x=3时的切线与

18、直线y=-4x+1平行，求曲线f(x)在11 处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值,并求当f(x)有极大值且极大值为正数时，实数a的取值 范围.【解析】(1)f ' (x)=-2x+a-2.由题意得 f' (3)= ：_2 x 3+a-2=-4,得 a=3.当 x=1 时,f(1)=-12+x 1-一=-,f' (1)=-2 x 1+3-2=2,故曲线f(x)在1处的切线方程为yk=2®lj,即8x-4y-17=0.(2)f(x)= -2x+a-2=(x>0),当a< 0时,f ' (x) < 0,所以f(x)在一 i -.上单调

19、递减,f(x)无极值.当a>0时,由f ' (x)=0得x=，随x的变化,f ' (x)、f(x)的变化情况如下：x1)a2f' (x)+0-f(x)极大值2N故f(x)有极大值，无极小值，极大值为f ： - =aIn：- x-=an-a,由aln=a>0,结合a>0可得a>2e,所以当f(x)有极大值且极大值为正数时，实数a的取值范围是5. (10 分)(2020 济宁模拟)已知函数 f(x)=ln x-xe 1则 g (x)=(x+2)e +>0,.i-所以g(x)在1,+ g)上单调递增，所以 g(x) min=g(1)=2e-1,所

20、以 a< 2e-1.(2)当 a=1 时,f(x)=ln x-xex+x(x>0),则 f' (x)=-(x+1)e x+1= (x+1)上=,+ax(a R).(1)若函数f(x)在1,+ 乂)上单调递减，求实数a的取值范围.若a=1,求f(x)的最大值.【解题指南】(1)由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用 导函数即可确定实数a的取值范围.结合函数的解析式求导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数的单调性， 最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最大值.【解析】(1)由题意知,f ' (x)= -(e x+xex)+a=-(x+1)e x+a< 0 在1,+)上恒成立，所以a< (x+1)e 在1,+ g)上恒成立.令 g(x)=- -+(x+1)ex,x.令 m(x)二-ex,贝廿 m (x)=- 一-e x<0,X所以m(x)在(0,+ g)上单调递减.>0,m(1)<0,所以存在xo>0满足m(xo)=O,即=.当 x (0,x o),m(x)>O,f' (x)>0;当 x (xo,+ g)时,m(x)<O,f ' (x)<0.所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(xo,+ g)上