复变函数中mathematics的应用

1、浅谈mathematics在复变函数中的一些应用15051105 赵杨摘要：数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联 系起来。经过一学期的大学学习，就目前学习的知识和对于所了解的复变函数的应用而 言，个人感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。 我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽 象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃 而解。本人认为mathematics软件对于复变函数的学习有很大帮助，所以本文把复变函数 与积分变换和mathematics结合起来，把复杂繁

2、琐的计算交于计算机，给人以更直观的 图像感觉和更高的处理效率。关键词：复变函数mathematics应用目录摘要1图目录3引言41 基本功能41.1 微分41.2 积分71.3 幕级数72特殊功能72.1 复变函数的分解72.2 路径积分82.3 复变函数泰勒展开和洛朗展开92.4 留数计算113三维图像124总结14参考文献15图目录图1正弦函数一阶导数5图2塞函数的二阶导数6图3复合函数求导6图4复变函数的乘除与最初的分解8图5复变函数在 maihcmaiics中积分9图6复变函数洛朗展开10图7洛朗展开函数图像11图8计算留数12图9三维图像绘制13引言数学是一门很抽象的学科，而复变函数

3、更是如此，如果直接想象很难和实际联系起 来。 经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是 有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。 我们日常中的电流都是交流三相的，而 相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则 较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。可以通过RCL电路我们也用虚数 去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示 了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。 我们打 电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。信号分析 和其他领域使用

4、复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z) 表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的 和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中3对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息、。于是当我们要的信息得以传递。 所以，不管是我们使用家 用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接 触着这位很抽象而无处不在的朋友一一复变函数。数学软件Mathcmatica的功能十分强大,使用非常简便，是我们进行复变函数学习的很 好工具。Mathcmalka中与复变函数有关的命令,有许多与实变函数完全相同，例如微分、

5、 不定积分、塞级数展开等，这些都为其基本功能,Mathcmatica在复变函数中还有许多特殊 的功能。这些功能为我们学习复变函数提供了很大的方便。1基本功能1.1微分在Mathcmatica中对复变函数f(z)求一阶导数的命令是Dfz, z或者f z,以fz=sinz为例，用maihcmatics作图如下CMtCh (z - Inv«r>QFunction Sinh :，MuXX ,1* 0)D(8inz (*. 1)110«1> COS：ZjPlotCob(x), (z« -26.3894, 26.3894)图1正弦函数一阶导致求二阶导数的命令是Df

6、回，z, 2或者。团，以基函数f (z) =z°为例Ou<3> InverseFunction Function： z# In 3 :z： j *z*nit： - D9, z, 2Ou- 72 z日图2幕函数的二阶导数多元函数被，"）对自变量求一阶偏导数E（Z, w）和Q（z, w）的命令分别是Dfz, w,可和Dfz, w, w,求二阶偏导数f=(z, w), fzw(z, w)和J(z, w)的命令分别是Dfz, w, z, 2, Dfz, w, z, *和Dfz, w, w, 2o更高阶导数的命令可以据此类»0ln30:= D Sini * z

7、/ w f z, 2i2 Sin 3-0ut30=5"-Wz图3且合函数求导1.2 积分在Mathcmatica中对函数求不定积分的命令是lnicgratcfz, z,注意在复变函数中, 只有解析函数的不定积分才有意义。对函数取)从21到22求定积分的命令是 Integral明，2, zl, z2,在复变函数的情况下，定积分的路径默认为从起点21到终 点z2的线段。1.3 得级数在Mathcmalica中把解析函数F(Z)在给定的zS0点展开为靠级数的命令是Seriesfz,z, zO, n,其中参数n表示展开式只显示到自变量z的第n次幕.而一个已知的幕级数ITaKz%)n可以用命令

8、Suman(2(2()n ,n,0,8 来求和。其收敛半径R可以用比值法来确定，公式为R=limn-81 ail/an+ 1 |相应的Mathcmatica命 令为 LimitAbsan/an+l,n-8 .2特殊功能2.1 复变函数的分解人们认识复变函数的初期，是通过把它化为实部和虚部两个2元实变函数的方法来 进行探索的。Mathcmatica提供了把复变函数f(z)分解为实部和虚部的命令 Complex Expand f(x+ y I <>例如，要把复变函数sin z分解为实部和虚部，可以输入 ComplcxExpandSinx+ y I ,输出结果为 Coshy Sinx+

9、I Cos因 Sinh国如果要分别得到实 部和虚部，可以用下面的复合命令 ComplcxExpandRcfx+ y I 和 Complex-Expand Im fx+ y I o下面就以此乘法运算，(1/2-(/2)炉(3 - 5 1)为例，我们体会一下复变函数运算在mathematics中的体现和mathematics软件的强大计算能力。.Sfmv«v. -ur22uuIt E& Imett FcemM Cdl GrepKctPehnet 5Mndow H«ipbinary fom, number o< pnmet £ 4 nng not prim

10、 mev* 0 90ComplexExpand 1/2- (VT / 2)工厂(<3 - a/T I)Out|M)= -VT i 51 3m(3or. n-VT i 5l/3ouq邱-1.73205 * 1.70998 1利401 Abs-1.73205 > 1.70998 iout|40. 2.43393：n4r NumberForm 2.43393, 16Ouq41 WNumoecFomH2.433930512198914图4巨变函数的乘除与晨初的分解2.2 路径积分在Mathcmalica中求定积分的命令Integrate可以用来计算以折线为路径的积分。如 果积分路径由点集3

11、), zl, z2,，zn中的各点依次连接成的折线组成则被积函数f(z)沿 该路径的积分为Intcgratefz, z, zO, zl, z2,zn,例如，我们沿折线路径 0,2,2+ i对函 数 z2 进行积分,Mathcmatica 命令为 Integrate z人 2 , z, 0, 2, 2+ I ,结果为 23+1 li3oi %>nff4tnvuuAW Ec£t lc-1 U 3 GrapHc。WooHelp2.433930512198914收 Integrate(zA2, (zt 0r 2, 2 > I)211 i<M<2|= Z fN<M

12、43|> 0.666667 > 3.66667 iir44|- * convert to exponential 0.666667 3.66667 iOU<44|= 3. 72678/ L39094nvnwdcal value corwwl to «KpOMnO«l m>gnteud« conjugMt kw Q, O 曰图5巨变函数在mathematics中积分2.3复变函数泰勒展开和洛朗展开在Malhcmalica中泰勒展开的命令Series还可以对复变函数进行洽朗展开。如果z() 是函数fz的极点，则命令Seriesmz,z, z()

13、, n可以把该函数在极点展开为洛朗级数。例如，我们把函数sin zz(z-l)在极点2:1展开，要求显示到自变量的第4次事,对应的 Mathcmatica命令为：SeriesSinz/z /(z-l),z, 1,4File Edit Insert Format Cell Graphics Evaluation Palettes Window Helpv convert to exponential 0.666667 3.66667 i尸 3.72678 au 3MM* Series Sin(z / z / (z - 1) r (z, 1, 4) Jsm-i; ；Cos：l z - 1 ；SCo

14、s：i：；5COS：1；-CO3.1. -j N .61)S-吟cm12024l.«： 4 NorBal S'n'" (Cos 1 - Sin(l) f-Cos(l) 乎“卬)(z - 1) 5CO9【1】S皿1(0(-”答13 Sin”24101 Cos【l】 13 Sinl12024.101 cos：i： 13 sm：i n 5 cos；i sm：i：cos：i1r- J，(-iy -(sm；li 5 Cos：l) 13 sin：l) ；sm；l(* 1 * z) -Cos ：1：I (-1 - z) I I - Sm _ 1. - 2624-1 zPi

15、ottcosdj，3y. (121 -, y)，(中一竽卜)(.Ci 学).Z)，(-Ul4 £1111 J.stndM, (Z, -8, 8)|图6电变函数洛朗展开结果为sin(l)z-l+(c()s(l)-sin(l)+(-c()s(l)+sin(l)2)(z-l)+(5cos 6-sin 2)(z-l)2+(-5cos 6-13sin 24)(z-l)3+(101cos 120-13sin 24)(z-l)4+ O(z-1)5.最后一项表示还有未显示的更高次事。当然，mathcmalics还有强大的自动绘图功能，上面洛朗展开函数图像如下。UntittocJ 1 - Woltra

16、cn kUttHmitcj 1ODeAe tdt Imert »<xnwt Cdl Graphics tva'uation Pakctrs Window Hdp/111-gXFT. 1111). 7 y I空.畔)2.挈). <“叶/500皿卜卜COS0）M-1W（黄竽卜（7好（亨于卜（77卜050）.”卜（7好£阳必）*图7洛朗展开函数图像2.4留数计算Mathcmalica还提供了计算留数的命令.我们可以用Residuez, z（）计算复变函数 f在zO点的留数值。例如，我们要求函数在sin zz（z-l）z = 1点的留数,对应的Malhcmati

17、ca命令为：Residue Sinz/z /(z-l),z, 1 In49 * Residue Sinz / z/ (z-l)r zr 1Out(49j« Sin *1ln50 « N(SinlOut(50« 0.841471in5i：= NumberForm 0.841471,16Out(51 )/Nu mb«Form»0.841470984807897I图8计算留数结果为Sinl。3三维图像Mathematics除了能作出二维图像之外，还有强大的绘制三维图像的功能。如下图O Untitled-1 * - Wolfram Mathematics 10.0Ale Edit Insert Format Ceil Graphics Ev 毅 uaticr Pafcttes Mndow HelpParasetricPlotSD |u Cosv , u Sinv r Exp- j jr (v, 0, 2 K), ur 0, 4), PlotTlietDe -» "Scientific", PlotPoLnts -f 20, BoxfUtlos - 1. 1. 0.4) , I Boxed False z Axe