PERT网络的统计分析

1、主要内容主要内容第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析l概述概述l网络周期网络周期PERTPERT均值和实际网络均值和实际网络周期均值周期均值l网络周期网络周期PERTPERT方差和实际网络方差和实际网络周期方差周期方差l网络周期的概率分布网络周期的概率分布1第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析概述概述在计划评审法中每项活动的周期由常数放在计划评审法中每项活动的周期由常数放宽为规定分布的随机变量，但是仍然限定活动宽为规定分布的随机变量，但是仍然限定活动周期必须服从周期必须服从Beta分布，且对其期望值和方差分布，且对其期望值和方差的近似计算做了严格的规定。的近似计算做

2、了严格的规定。但是，在实际工程问题中，各种不同类型但是，在实际工程问题中，各种不同类型的活动可能在执行过程中具有各自固有的特征，的活动可能在执行过程中具有各自固有的特征，其完成时间的周期可能呈现不同的分布特征，其完成时间的周期可能呈现不同的分布特征， 因此仿真技术经常被用来获得更好的近似。因此仿真技术经常被用来获得更好的近似。2概述概述通过多次独立重复的仿真运行，可以给出通过多次独立重复的仿真运行，可以给出工程周期（即网络总周期）的概率分布特征和工程周期（即网络总周期）的概率分布特征和相应的分布参数相应的分布参数工程周期的均值和方差等的工程周期的均值和方差等的估计值。估计值。由于计划评审法的概

3、率计算和网络的仿真由于计划评审法的概率计算和网络的仿真结果可看出二者的不一致性，尤其是在主要分结果可看出二者的不一致性，尤其是在主要分布参数和分布特征上存在明显的差异。为此，布参数和分布特征上存在明显的差异。为此，有必要对网络的周期及其分布作进一步的分析。有必要对网络的周期及其分布作进一步的分析。第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析3网络周期的均值和方差网络周期的均值和方差 PERT是依据期望活动周期来确定关键路线，是依据期望活动周期来确定关键路线，并将均值关键路线上关键活动的均值和方差和并将均值关键路线上关键活动的均值和方差和作为项目周期的均值和方差。作为项目周期的均值和方差。

4、第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析2 若网络中各活动时间是服从任一分布的随若网络中各活动时间是服从任一分布的随机变量，则项目周期机变量，则项目周期T也是一个随机变量。实际也是一个随机变量。实际网络周期的均值和方差为网络周期的均值和方差为E(T)和和Var(T)。用仿用仿真方法可以得到它们的估计值真方法可以得到它们的估计值T和和S 。4于是于是 E(T)=(4+5+6+7+86 +102)/12=7.5 Var(T)=(4-7.5)2+ (5-7.5)2 + (6- 7.5)2 + (7-7.5)2 + (8-7.5)26 +(10-7.5)22/12=1.7 2第三章第三章 P

5、ERT网络的统计分析网络的统计分析 例例. 假设项目中各活动服从离散的均匀分布。如图：假设项目中各活动服从离散的均匀分布。如图：项目完工期项目完工期T 的概率分布为的概率分布为132(1,2,5)(3,5)(2,8)Ti 4 5 6 7 8 10pi 1/12 1/12 1/12 1/12 6/12 2/125第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析用用PERT方法求解：方法求解：3(1,2,5)(3,5)(2,8)12 2( tij )2各活动的均值和方差为：各活动的均值和方差为：12 = ( 1+2+5)/3 = 8/3 12 = (1-8/3)2+(2-8/3)2+(5-8/3

6、)2/3=1.72213 = ( 2+8)/2 = 5 13 = (2-5)2+(8-5)2/2=32223 = ( 3+5)/2 = 4 23 = (3-4)2+(5-4)2/2=122532412均值关键路线均值关键路线：3128/3 51.7 2 1 2项目周期的项目周期的PERT均值和方差为：均值和方差为：T=8/3+4=6238/31.7 2CPT=ij=1.72+12=1.972226第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析实际值与实际值与PERT值比较值比较3(1,2,5)(3,5)(2,8)12 2( tij )25324128/31.7 2T=8/3+4=623CP

7、T=ij=1.72+12=1.97222项目周期项目周期PERT均值与方差均值与方差项目周期项目周期T 的实际的实际均值与方差均值与方差E(T) = 7.5 Var(T) = 1.7 27SUM-MAX法法第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布 11,1,0 , 2,3, maxmaxmiinPmkmkTF TinkTT网络周期的概率分布问题，即工程网络从开始执行，要求确定累积分布函数概率型活动网络属于无回路的有向网络，所有活动的周期均为独立的随机变量。设网络种从源节点到终节点共有条路线，则网络周期通常按下式计算：( ) (4-1) mmijij

8、PmPtPmTm式中 ：由源节点至终节点的第 条关键路线；：第 条关键路线的周期长度。路线；路线的周期长度。8 例例. . 如图所示的简单网络，从源节点到终节点共有四条如图所示的简单网络，从源节点到终节点共有四条路线，且路线，且1234122335122334451335133445 PPPPTtttTttttTttTttt12354t12t23t13t35t34t45用用“SUM-MAX”算法来表示，则有算法来表示，则有5131223353445max,max,Ttttttt第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布9平行平行/串联网络串联网络14

9、65237t27t14t23t46t45t37t12t57t47t67465712371277455174667472142337max, max,max, , Ttttttttttt第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布10交叉联结网络交叉联结网络1234t12t34t24t13t231234第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布T4=maxt12+maxt23+t34,t24, t13+t3413411并联并联/串联网络串联网络 任意活动网络周期的计算均可分解成对两条并任意活动网络周期的计算均可

10、分解成对两条并联线路的联线路的MAX运算和对两条串联路线的运算和对两条串联路线的SUM运算。运算。在计算网路周期的过程中，实际是用在计算网路周期的过程中，实际是用MAX运算将并运算将并联路线组合归并成单一路线，用联路线组合归并成单一路线，用SUM运算来组合归运算来组合归并串联路线，依次过程交叉重复进行，直到形成单并串联路线，依次过程交叉重复进行，直到形成单个等效活动时为止。因此，只需对个等效活动时为止。因此，只需对SUM和和MAX两种两种随机变量的运算进行分析，即可递推出整个网络周随机变量的运算进行分析，即可递推出整个网络周期的概率分布。期的概率分布。第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的

11、统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布12并联路线并联路线:ijkT1 T2串联路线串联路线:第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布ikT)(*)()()()( 212121tFtFdxxtFxftFTTTijt1t2ijt)()()( ,max2121tFtFtFTTT设T1F1(t), T2F2(t), TF (t)13 用下图所示的网络为例，说明网络周期用下图所示的网络为例，说明网络周期(项目完工期项目完工期)的的分布函数的确定方法。分布函数的确定方法。12345t12t13t25t35t34t45 为简便，设网络中所有活动相互独立，

12、且均服从参数为为简便，设网络中所有活动相互独立，且均服从参数为b负指数分布，密度函数和负指数分布，密度函数和分布函数分别分布函数分别为为第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析网络周期的概率分布网络周期的概率分布0 ,1)(0tetF, tbef(t)btbt1412345t12t13t25t35t34t45W1W25maxT 1225,tt3445)tt35max(,t13t W3W4W5第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析例例15W15maxT 1225,tt3445)tt35max(,t13t 第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析例例0 )()()(

13、45341tdxxtFxftFWtxtbbxdxebe0)()1 (tbtbxdxeeb0)()1(00tbttbxxeebbbtebt11btbtteebb1116W15maxT 1225,tt3445)tt35max(,t13t 第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析例例0 11)(1tebttFbtWW20 11)(2 tebttFbtW同理同理W3btbtWWebtettFtFtF1110 )()()(133517第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析W15maxT 1225,tt3445)tt35max(,t13t 例例W2W3W40 )()()(3413td

14、xxtFxftFWWbtbtWWebtettFtFtF1110 )()()(1335dxextbebebttxtbbt)(1110)()2()(212112btebtbtebtbt18第三章第三章 PERT网络的统计分析网络的统计分析W1W25maxT 1225,tt3445)tt35max(,t13t W3W4W5例例0 )()()(425ttFtFtFWWW0 )2()(21211)(0 11)(242tbtebtbtetF tebttFbtbtWbtW)2()(21211 112btebtbteebtbtbtbt19随机随机变量变量表表 达达 式式分分 布布 函函 数数T1T2T3W1W2W3W4T5012t13t3445tt1225tt351max,tW133tW24max,W W1bte1bte11btebt11bt