§2.4一阶隐方程与参数表示.ppt.

1、对于打皱聘右程薯）“，有时丕焦显或解难于求得，就是 隱式屣也不容易寻求.汪意到徽分方程F（“?）丸的解，如果存在,OX则在3）平面上的黴塞一股是一条鞍（常称之为积分曲线）.由数 学分析课程知道，对于平面曲线，除可用显式丿少）或八呛）来表 示外，也容讦有養数表示.为此先给出琴数形式解的定义：卩定义d 对于埶分方程只5务）丸，如果存在定义在心冈上的可微 函数“沁）2丿二#使得当fe（a,®时，则称£ :豔"S为方程仏饶"的参数形式解 “我们刖才已经提过，对于一般的隐方程尸（和,字）=0,它的求解 dxSE2法.卩（1）丿叮（®），（2）“佝,门,*

2、（3） F（V）-0,（4）吃丿'）0卩思路：通过引进参变量，设法把所求的方程化为正规形方程，再利用前面所学过的方法求解.“具体地讲，2对与（2）两种类型（常称为就龙或丿可解出的方程），我们先通过设P*为一新变崑，用徽分法从腸上逍未丿或和化为正规形方程，然后用前面学迥的方法（如分离变量法、恰当方程法）求得的解为联系或丿的代数方程；叢后把原方程中的”用p代入.并连立刖得到的代数方程即猖原徽分方程的通解，或从刚得到的代数方程中解出p,并把原方程中的”用p代入，也可得到庾航分方程的通对（3）与 两种类型（就X、，及字都不能解出的，但不显 dx含X或八常称为非完全徽分方程），是先通过引进一个参

3、数，比如说f,把原徴分方程表示成赛数形式；然后禾问徽分恒等式力心，将 间題转化为求解丿（或门与f的一阶方程此时导数字（或孚）已 ai dt表示为f的已知函数，通过求积分即可求得原方程的通解2下面我们依次介绍这几种方程的初等解法3二、可以解出工（或y ）的方程1、） = /（X ）如果所求得的通解为p=ZQ,则原方程的通解为，丿=/(儿祕x,C)； a如果所求得的通解为"叭nO,则原方程的通解为参数形式通 解：仁兀舄 P)'其中卞为参数，C为任意常数；亠如果所求得的通解为讯毎P,o = 0.则原方程的通解为参数形式通 絡鳥腓其中沁细c隔常数.”wai：在参数形式通解中的参数“通

4、常用彳来替代，一方面这是习 惯所至.另一方面，这也可表明在通解中的p只起参数作用，而不再 表示字* 了.*dx附注2：在求的通解后，比如厂您6不应把通解中的F看成字， dx即欽恋6并进而两辺关于x积分，得到ujgg+c； 我们 可这样去理解，因为丿=/(“)是一阶方程，通屛中只有一个任意常 数，而厂用gHC,中有两个相互独立的任意常数c与G，这显然 是不对的.卩例1,求方程俾丫+2埠-丿=0的解"dx) ax解：解出八并令p=g,则原方程化为2 ax = p°+2卒亠两端关于片求导并用卩=纟代入，得到卩 ax* 奢加奢2”即“(3异+2Q切+ pdx 0卩经检验，它不是一哈

5、当方程，但有一积分因子戸=p，于是当p *0时，上式两边同乗以积分因子“卩，得到恰当方程卩(3戸+2卒加+： = 0“将它代入卢+2小 褂卽厂/3-4 I -2Jr5c.p(? S.J当F-o汁 由方用HT?唯知0也杲方怦子册亘E不包含在5用1?中«2t求万程 =序-务+寻旳解. 解I设厂务则原方程化为“dxpp .今.誉*两倉关于X求孕并用厂孚代人得卸rfrp工乃冬x孚pi2（扫）n由此得空: = 0或:P-* = 0.3uJ从字小0礬尿d*并将它代人丿严¥诗得鱼凑方程的通解2二+ SC2.又从2px = 0解得-p 二 F 2将它代入严卩2十+才得到原方程的解a且此解不

6、能由通解取适当的C得到.所以貝方程的解：通解 J =斗 + O+C2及一解厂壬注意到丿=壬与通解= - + Q+C2 中每一条积分曲线相切，这样的解以后照做奇解，如杲所求得的通解为p",6回原方程的通解为如果所求得的通解为丿=讥P.O,则原方程的通解为琴数形式通解：3卩，(巩 p,C),p)b r(P.C)'其中f为参数，C为任意常数如果所求得的通解为4<",C)"，巫憨崖的通解为参数形式通F叮5)I 唄” p,c)= o其中P为参数，C为任意常数“例3:求亩稈組当字.0时.私上"并令厂纟.则臣育理化为 didi1 -心 T代入得到2p两就

7、关丁丿求导并用02p3輝防0经检热 它是一个怆当方程.鮭总题堀合后.得到通解"切协4C"RP*因此，痉方程的参数形式的通解为2(p“)”(2 0).当F0时，由方程直接推知丿0也是方理的解些解丕能由通解取适当的C得到.a三、就-y与鴛都不能解出| 的方程3、F(x$) = O4、F(y,/) = 0基本想法*设p =/'=则从几何上看'F(x,p)=O表不(x,p)平ax面上的一条曲线.如果能找到这条曲线的参数表示x =祕対=卩，其中"(“)是参数，即满足F(f)事0 化9,0)注意到这样一个事实：沿方程的F(x,/) =0的任何一条积分曲线上，恒

8、预足基本关系式："妙”办 pdx把才曲),p"(f)代入上式得到卩力=述)如=附(欣必忙 4两边积分，常到卩丿町帆曲曲+ C.4-町+1严Q+c(r+DJ-y + C20+0)两辺积分，得到卩(1心 3J 庐話i(0+l)+9J3(1+护)丄厂因此，原方程的参数形式的通解为由此緡例忘求解方程鯉：令2-户"，则与癡方程有去”后，得到丿2（幵“）丿2Q卩两边积分，得到3x！+C"t因此，原方程的参数形式的通解为：卩”丄+c丿严或逋丟参数:后，得到方程的通解y = x+-C 严7 "C其中C为任意常数.此外，当八0时，瘵方程变为丿-4,于是厂±2也是方程的解*附注2=如果方程Fg,务胡就八丿与纟者穌能解出，且方程也不 axax是所谓非芫全微分方程F(x,y)-0或F0,y)O 则和上面类似，设p =?*=»将代数方程F(qp)= 0看成(yp)空间中的一个曲面.如 ax果能找到这个曲面的参数表示：“X工卩。)丿-如).p工丿鼻心),2因尬fdx di-¥dt, <fy - ds+4/ *8s &B