§1关于实数集完备性的基本定理

1、第九章实数的完备性§ 1关于实数集完备性的基本定理§ 1关于实数集完备性的基本定理教学时数：2学时授课方式：课堂讲授教学目的与要求：理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。教学重点与难点：正确理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。教学过程：前面我们由确界存在定理证明了单调有界定理下面由单调有界定理证明闭区间套定理、再证明聚点定理、柯西收敛准则和有限覆盖定理，最后证明确界存在定理这样就证明了这些定理的等价性它们都是刻画实数集完备性（连续性）的基本定理，它们使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基 础之上.一区间套定理

2、定义9.1.1设闭区间列Uan,bn具有如下性质：（i ） ©n,bn I：匕山 1 1（n =1,2,川）:（ii） lim bn -an =0,n_sc*则称:Ian, bj?为闭区间套，或简称区间套.这里性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等a1 曲2 - 川 an -川 bn - |丨 一 b2 乞 b .定理9.1.1 （区间套定理）若lan.bjz是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点'，使得lan，bn l（n =1,2| ）即an-bn，n=1,2川 I.证 由闭区间套的定义知，订鳥为单调递增有上界的数列，bn?

3、为单调递减有下界的数列，依单调有界定理，与?都收敛，设lim a.二，lim bn二，则有n n .an-bn （n=1,2，IH）.由区间套定义的条件（i ）可得)=0,所以再证 是唯一的.设数也满足an乞 bn，则我们有匕-打 m an （n =1,2,川）.由区间套的条件（ii ）得匕匕 <lim （bn an ）=0n E =n_sc'r推论若：；：=an，bn In =1,2,|H是区间套:Ian, bj?所确定的点,则对任给的；0,存在N LL使得当n . N时有a，bn U ；.需要指出的是：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立对于开区间列如丿

4、0, |1,虽然其中的各个开区间也是前一个包含后一个，且lim ! - 0 1= 0 ,但不存在属于所有开丄n丿：n*n丿区间的公共点二聚点定理与致密性定理定义9.1.2 设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S,也可以不属于 S）.若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称 为点集S的一个聚点.例如，点集s =1n +丄？有两个聚点J = 1和©2=1 :点集s = $sin？只有一个聚点© =0：* 4 K 4* 4I +区间1, |内的一切点及点 勺=1,冷=都是1-的聚点而正整数集L没有聚点：任何有限集也I 3丿3< 3丿无聚点.聚点的另外两个等价定义如下：定义

5、9.1.2 '对于点集S,若点的任何邻域内都含有S中异于的点,即U° j； -.,则称为S的一个聚点.定义9.1.2 ”若存在各项相异的收敛数列：二S,则其极限lim称为S的一个聚点.关于以上三个定义的等价性证明，我们简述如下.定义9.1.2 =定义9.1.2 '是显然的,定义9.1.2 "= 定义9.1.2也不难得到：现证定义9.1.2 '= 定义 9.1.2 ” .设为S（按定义9.1.2 '）的聚点,则对任给的；0,存在U°； ； - S.令 1=1,则存在 X1 U0; ；1 ' S:,则存在x2 U0; ；2 &#

6、39; S,且显然 = x2 ：0 ； ；n ' S,且显然 Xn 与 X|,X2,|H,Xnj 互异1j令:n =min ， _Xn，则存在 Xn U 0 ' InJ无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列：x且由1:lim xn = nn厂下面我们用区间套定理来证明聚点定理.定理9.1.2 （魏尔斯特拉斯聚点定理）实数轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.证 因为S为有界点集，故 M . 0 ,使得S l-M , M 1,记l.a1,ti1 -M ,M 1.S中无穷S中无穷现将1砂，0 1等分为两个子区间.因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个子区间含有多个点,记此子

7、区间为l.a2,b2 I,则Qg i_： a2, b l且1b2 - a2 = ? d - a!= M .再将Ia2,b2 1等分为两个子区间因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个子区间含有多个点,记此子区间为l.a3,b31,则a2,b2丨-：a3,b 1,且b33b222 2将此等分子区间的过程无限地进行下去 ，得到一个区间列l.an, bn卩,它满足l.an,b: Ian .1,bn 1 I,n =1,2,|H，-M 2、bn -an =尹0 n ' ：,即:l.an,bj?是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点 - !an，bn 1 n

8、 =1,2，于是由定理9.1.1的推论，对任给的；0, 存在正整数N 0 ,当n N时，有an, bj U ;；.从而 U ； ；内含有S中无穷多个点，按定义 9.1.2, 为S的一个聚点.推论（致密性定理）有界数列必含有收敛子列.证设：Xn匚为有界数列.若：Xn 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若数列、Xn 不含有无限多个相等的项，则n 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由魏尔斯特拉斯聚点定理，点集至少有一个聚点，记为',于是按定义9.1.2",存在：X”的一个收敛子列% 二使得 lim x% . k_ j:三柯西收敛准则在定

9、理233中，我们用单调有界原理证明了柯西收敛准则的充分性下面，我们用致密性定理再次给出柯西收敛准则的充分性 证设数列 右,满足柯西条件,先证明a是有界的为此,取e = 1 ,则存在正整数 N ,当m = N 1及n N时有an - aN 半 £ 1.由此得an = an 一弘卑* aN卅兰an 一即审+ aN卅V乐卅+1令M = max , a?,，a” , a”彳 +讣,则对一切正整数n,均有an|兰M 于是，由致密性定理，有界数列 a/'必有收敛子列 3皿p?,设|im._ank二A 对任给的； 0 ,存在K 0 ,当m,n,k K时，同时有名呂an am| <2

10、(由柯西条件),ank A v?(由 kiank = A), 因而当取m=nk(_k K)时，得到an A 兰 an _an+|ank _A W +专=E这就证明了 lim an =A. |n下面,我们用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S为非空有上界的数集由实数的阿基米德性，对任何正数:-,存在正整数 k ,使得:.二为S的上界，而二-V 不是S的上界，即存在 J S,使得: k：. -仁.11分别取,n =1,2,，则对每一个正整数n,存在相应的'n,使得'n为S的上界而 n 不是nnS的上界，故存在：S,使得* . 1'n (9-1-1)n又对正整数m,需是S的上

11、界，故有 扁-：，结合(9-1-1)得(9-1-2)同理有从而得m爲 “|<maxL4Im'nJ于是,对任给的；.0,存在N .0,当n,m.N时,有由柯西收敛准则，数列J n '收敛记(9-1-3)现在证明是S的上确界首先，对任何的：S和正整数n有:-< n,由（9-1-3）式得:_ ,即1是S的上界.其次，对任何0 ,由 0n-；:及 （9-1-2）式，对充分大的n同时有n1-，n.n2211又因冷-一不是S的上界，故存在：- S使得:,结合上式得nn _&&一弋:.，一 一 一 一 = _ ；.2 2即，是S的上确界.同理可证：若S为非空有下界

12、的数集，则必有下确界 至此,我们由确界存在定理证明了单调有界定理，用单调有界定理证明闭区间套定理 ，用闭区间套定理证明了聚点定理，而用聚点定理证明了柯西收敛准则 ，最后用柯西收敛准则证明了确界存在定理这样就完成了这些定理的等价性证明 四、有限覆盖定理前面讨论的确界存在原理、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理和柯西收敛准则的关注重点都 是一个点的存在性，也就是说，它们关注的重点都是局部问题 在本小段，我们介绍一个关注整体性的结 论一一有限覆盖定理.为此,我们首先给出定义9.1.3设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如 :的开区 间）.若S中任何一个点都含在 H中至少一个

13、开区间内，则称H为S的一个 开覆盖，或称H覆盖S.若 H中开区间的个数是无限（有限）的,则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.例如，h二 丄n 是区间0,1的一个开覆盖事实上，对一 xG0,1 ,取kJ1 -1, lln+2 n jlx:x ：丄1k 2 ,所以 k ： k 2 ,从而有x1 1但若Hi， n L '，则Hi就不是开区间 0,1的开覆盖.事实上，对任意大于1的正整也+1 n丿J1i数n,当然有 0,1 ,但 不属于H1中的任何开区间.nn再如，H-、：x,xxa,b,：x 显然是闭区间la,b 1的一个开覆盖.在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定

14、.例如，若函数f在区间a,b内连续，则任给名>0对每一点x(a,b),都可确定正数 dx,使得当xUU(x,6x )时有f(xj-f(x)<s 这样就得到一个开区间集H ；x -、x,x 、x x a,b ?.它是开区间 a,b的一个无限开覆盖定理9.1.3 (海涅-博雷尔(Heine-Borel) 有限覆盖定理)设H为闭区间la,b 1的一个(无限)开覆盖, 则从h中可选出有限个开区间来覆盖a,bi.证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖a,bi.将a,b 1等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖.记这个子区间为 abi 则

15、 5,4 丨'a, bl 且 d -a1 二一 b - a .2再将 比，匕1等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖.记这个子区间为 2 ,b2 则：2,匕2】£ ,b1 L且b2 -a2一r b a 22重复上述步骤并将这一过程无限地进行下去，我们可得一个闭区间列an,bjf,它满足an 1,bn Jbn,bn , n =1,2，,且 bn - an = b - a > 0 n > :.2即，an,bn b是区间套，且其中的每一个闭区间都不能用H中的有限个开区间来覆盖由闭区间套定理，存在唯一的一点：= !an,bn! n=1,2，

16、由于H为闭区间'a,b】的一个开覆盖，故 存在一个开区间:i5 H ,使得： 于是，由定9.1.1的推论，当n充分大时有'an,bj: / .而此与“ n,bn t中的每一个闭区间都不能有H中的有限个开区间来覆盖”的结论相矛盾所以结论成立.I上面我们是用闭区间套定理证明的有限覆盖定理，为了进一步说明实数连续性定理之间的关系，我们用确界定理再次证明有限覆盖定理证设B=xa,x 具有有限覆盖，acxcb.由定理的条件，必然存在开区间 I- H ,使得a三,由实数的稠密性得，存在x a ,使得x ， 故B -.显然b是数集B的上界，由确界原理，B有上确界，设sup B = c 乞 b

17、 .由定理条件，存在开区间:15 H，使得c三很.由上确界的定义 ，存在xi B，使得： ： N _c.由B的定义知la，x1 1有有限覆盖.再加上一个开区间 ，；H，因而得l.a，cl也有有限 覆盖，即c三B.若c : b，则由实数的稠密性可得，存在X2三c，b ，从而X2 ：= B.此与c是上确界矛盾.因而c = b . 即l.a，b 1具有有限覆盖.I注：定理9.1.3 的结 论只对闭区间la，b 1成立，而对开区则不一定成立.例如，开区间集合 丄，1 n =1,2， 构成了开区间0,1的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间来盖住0,1 .n 1下面我们用有限覆盖定理证明致密性定理，以进一步说明实数连续性定理之间的等价关系设数列有界，则存在闭区间la,b 1,使得！xn ；二a bl.若'x /无收敛(于a,b】中任何一点的) 子数列.于是，由定义2.1.2'可得，对-x la,bli:x 0,使Ix =U xr x中只含有xj的有限多项. 于是 ,有开区间集H =Ux xla,b, lx中只含有xj的有限多项覆盖la,b 1.由有限覆盖定理知.可从H中选出有限个开区间覆盖l.a,bl,从而X只有有限项.此为矛盾.习 题9-1 n 1 I1. 验证数集2 ( -1 )十1，有且只有