§2.2几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集

1、2 . 2几类特殊点和集-聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化对？ E?Rn，我们可以通过看是否有x的完整邻域含于E中将Rn中点x分 为三类：a. ?U (x, 8)满足 U (x, 8)? Eb. ? U (x, 8)满足 U (x, 8) n E 工,U (x, 8) n CE 工c. ?U (x, 8)满足 U (x, 8)? CE定义2. 2. 1 我们称a类点为E的内点，记其全体为E0; b类点为E的边 界点，记其全体为？E;c类点为E的外点。显然外点全体为(CE) 0，Rn =E U ?EU(CE)如图2. 2. 1所

2、示：M i是E的内点，M2、M3、M4、M5是E的边界点，M 6是E 的外点。注2 . 2 . 1: E的边界点既有可能属于 E(如M2、M3、M5)，又有可能不属于E （如 M4）。注2 . 2 . 2: E的边界与CE的边界相同，即？E= ?(CE)注2. 2 . 3 :不受“a,b的边界只有a,b两点”这个具体结论的直观约 束而得出错误的一般结论：“E的边界？E相对集合E而言只是很少一部分”。 事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。对？ E ? Rn，我们也可以通过看x的邻域含E中点的多少将Rn中点x分 为三类：e.对？ 50,U (x, S) A E - x工f .?U (x,

3、 S)满足 U (x, S) A E =xg.?U (x, S)满足U (x, S) A E =(显然此类点即外点)定义2 . 2. 2 我们称e类点为E的聚点(或极限点)，记其全体为 E，并 称为E的导集；f类点为E的孤立点，显然其全体为E-E。即 Rn =E U(E- E) U(CE) 0在图2. 2. 1中，M 1、M2、M3、M4是E的极限点，M 5是E的孤立点。按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边界点， 按第二种分类法既有可能是聚点如 M2、M3、M4，又有可能是孤立点如M5。同样 按第二种分类法的孤立点，是第一种分类法的边界点，按第二种分类法的聚点， 按第

4、一种分类法既有可能是内点 M，又有可能是边界点M2、M3、M4。对外点而 言，两类分类方法所指的概念是完全一致的。“极限点”中的“极限”二字体现在何处，“聚点”中的“聚”字体现在哪里呢？下述两个定理将对此作出解释。定理 2 . 2 . 9: x Eh 互异点列 xn E, xn mx，且 xn x(n +1证明“ = ”因为 xE，所以对 S n =min = ,d(x,x n-1)，存在nxn U(x, S n) A E x，显然 x n E 互异，x n mx，且 x n x(n + )。“v= ”若 m xn E，且 xn Mx,但 xn x(n +，则对任意 S 0,存在N,当 nN

5、时，xn U(x, S) GEx，故 xE。 证毕即之所以称x为E的“极限点”的原因是：x可以表成E中一串异于x的点 列xn的极限。定理2. 2.10: xE ? S0, U(x, S) GE 为无限集。证明“”因为x E，所以m xn E，且xn mx,但xn x(n +引，则对任 意 S0,存在 N,当 nN 时，x n U(x, S) GEx , 故 U(x, S) GE 为无限 集。证毕即之所以称x为E的“聚点”的原因是：在x的任意一个小邻域内都“聚 集”着E的无限多个点。定义2. 2 . 3 若对？ S0, U(x, S) GEM巾，则称 x为E的接触点。接 触点全体记为E，并称E为

6、E的闭包。显然，E = E U ?E=E Ux |x 为 E的孤立点 =E U ?E =E UE=EU ?E = c(cE) 0在数学分析中要看一个区间是开或闭，只须看它是否将作为边界的两个端点 包含在内，对于Rn中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依据， 于是我们给出如下定义。定义2 . 2 . 4若？EGE=，则称E为开集；若？E? E,则称E为闭集。例2.2.1：直线上的开区间，平面上的开圆盘皆为开集，直线上的闭区间， 平面上的闭圆盘皆为闭集。(a,b既不是开集，又不是闭集。全直线既是开集又 是闭集。定理2. 2. 11) E为开集E?E2) E为闭集E ? E证明1)“ =

7、”因为E开，所以？EGE=，故E? E0“v= ”因为E? E0，所以？EGE=，故E为开集。2)“ = ”因为E为闭集，所以？E?E,而E?EUE?E,从而E ? E ;“v=”若E ? E,则？E ? E Ux |x为E的孤立点 ? E，故E是闭集。定理2 . 2 . 2 对？ E ? Rn，E0为开集。证明 对？ x E ，m 30，U(x, S) ? E，对？ y U(x, S)，日 S 1 d(x,y) 0,对？ z U(y, S 1)，d(x,z) d(x,y) +d(y,z) vS,即 Z U(x, S) ? E，即 yE 0，从而 U(x, S) ? E，即 E ? (E 0)

8、 0，故 E 是开集。定理2. 2 . 3 :(开集与闭集的对偶性)1)若 E为开集，则CE为闭集；2) 若E为闭集，则CE为开集。证明1)因为E是开集，所以？EGE=巾，则？E= ?CE ? CE故CE是闭集。2) 因为E是闭集，所以？E ?E，而？E= ?CE CE? ?CE=巾，故CE是开 集。证毕定理2 . 2 . 41)R n、是开集2) 任意有限个开集之交是开集3) 任意多个开集之并是开集证明:1)、3)显然Ei，则x为每一个Ei的内2)设Ei为开集(i=1,2,3,n)，对任意x=1点，即存在 S i满足 U(x, S i) ? Ei，令 3=即n 5 i ,则 U(x, 5)

9、? IEi ,Ii=1nnnn即x为R的内点，故Ei为开集。若Ei二巾，贝U I Ei也是开集。证Ii=1Ii=1Ii=1Ii=1注2 . 2 . 4 :不仅Rn中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质, 在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。定理2 . 2 . 5 :1) R n、是闭集2) 任意有限个闭集之并是闭集3) 任意多个闭集之交是闭集证明: 1) 显然nnnn2) 要证 口 Ei是闭集，只须证Cu Ei是开集，而Cu Ei = i cEi,nn 因为Ei是闭集，所以由定理2 . 2 . 3知cEi是开集，i cEi是开集，故口丘是闭集。3) 同理可证。证毕因为 E0、(CE)0开，所以？E=CE0 U(CE)0闭集。定理2 . 2 . 6:对任意集合E, E是闭集证明:由 E =C(CE) 0即得。定理2 . 2 . 7: E为闭集E= E证明“V= ”由定理2 . 2. 6即得“= ”因为E是闭集，所以？E?E,即E= ?EUE= E .证毕定义2. 2. 5 若E? E，则称E为自密集；若E = E则称E为完备集。显然，自密集即是没有孤立点的集合，完备集即是没有孤立点的闭集。定理2 . 2 . 8 对？ E? Rn , E为闭集。证明 只须证G=C(E)是开集，事实上：对？ x C(E) =G即x