张卡第2章-误差分布与精度指标

1、1第二章第二章 误差分布与精度指标误差分布与精度指标 学习要点 正态分布 偶然误差的规律性 衡量精度的指标 精度、准确度与精确度2一、数学期望一、数学期望 随机变量随机变量X的数学期望定义为随机变量取值的概率平均值，记作的数学期望定义为随机变量取值的概率平均值，记作E(X)。2.1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征离散型随机变量离散型随机变量1)(iiipxXE连续型随机变量连续型随机变量dxxxfXE)()(数学期望运算有如下的性质：数学期望运算有如下的性质：1、常数的数学期望等于其本身、常数的数学期望等于其本身CCE)(2、常数于一随机变量乘积的数学期望等于、常数于一随机变量乘积的数学

2、期望等于该常数乘以此随机变量的数学期望。该常数乘以此随机变量的数学期望。)()(XCECXE3、两个随机变量之和的数学期望等于这、两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量各自的数学期望之和。两个随机变量各自的数学期望之和。)()()(YEXEYXE4、两个相互独立的随机变量之积的数学、两个相互独立的随机变量之积的数学期望等于这两个随机变量各自的数学期望等于这两个随机变量各自的数学期望之积。期望之积。)()(),(YEXEYXE)()()(),(2121nnXEXEXEXXXE3二、方差二、方差 随机变量随机变量X的方差，记作的方差，记作D(X)EX-E(X)2。离散型随机变量离散型随机变量

3、12)()(iiipXExXD连续型随机变量连续型随机变量dxxfXExxD)()()(2方差的运算有如下的性质：方差的运算有如下的性质：1、常数的方差等于、常数的方差等于00)(CD2、常数于一随机变量乘积的方差等于该常、常数于一随机变量乘积的方差等于该常数的平方乘以此随机变量的数学期望。数的平方乘以此随机变量的数学期望。)()(2XDCCXD3、22)()()(XEXEXD4、两个相互独立的随机变量之和的方差为：、两个相互独立的随机变量之和的方差为：)()()(YDXDYXD)()()()(2121nnXDXDXDXXXD4三、协方差三、协方差 协方差是描述两个随机变量协方差是描述两个随机

4、变量X、Y的相关程度，记作的相关程度，记作XY。)()(YEYXEXEXY 当当X和和Y的协方差等于的协方差等于0时，表示这两个随机变量是互不相关的；若时，表示这两个随机变量是互不相关的；若XY 0 0，则，则表示它们是相关的。表示它们是相关的。YXXYXYYDXD)()(X、 Y分别称为随机变量分别称为随机变量X、Y的标准差。的标准差。11四、相关系数四、相关系数 两个随机变量两个随机变量X、Y的相关性还可用相关系数来描述，相关系数的相关性还可用相关系数来描述，相关系数：5 正态分布是一种很重要的分布：正态分布是一种很重要的分布：（1）设有相互独立的随机变量）设有相互独立的随机变量X1,X2

5、,Xn，其总和为，其总和为X(X1X2Xn)，无论这些独立的随机变量原来是服从什么分布，也，无论这些独立的随机变量原来是服从什么分布，也无论它们是同分布或不同分布，只要它们具有无论它们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方有限的均值和方差差，且其中每一个随机变量对其总和且其中每一个随机变量对其总和X的影响均匀地小的影响均匀地小，那么其，那么其总和总和X将是服从或近似地服从将是服从或近似地服从正态分布正态分布的随机变量。的随机变量。2.2 正态分布正态分布 例如，对某个量进行观测时，总的测量误差例如，对某个量进行观测时，总的测量误差是一系列个别因素引起的基本是一系列个别因素引起的基本误差

6、项误差项1 1，2 2，n n的之和，如果每一个的之和，如果每一个对其总和对其总和的影响都是均匀的影响都是均匀地小，那么其总和地小，那么其总和就是服从正态分布的随机变量。就是服从正态分布的随机变量。（2）许多分布都是以正态分布为极限分布的。）许多分布都是以正态分布为极限分布的。因此，正态分布是一种最常见的概率分布，是处理观测数据的基础。因此，正态分布是一种最常见的概率分布，是处理观测数据的基础。6一、一维正态分布一、一维正态分布 服从正态分布的一维随机变量服从正态分布的一维随机变量X的概率密度为：的概率密度为：)(21exp21)(),( ,21)(222)(22xxfxexfx或记为： 其中

7、，其中，和和是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对随机变量是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对随机变量X服从参数为服从参数为和和的正态分布，将简记为的正态分布，将简记为XN(，2)。2)(,)(XDXE 可见，正态分布的分布密度中的参数可见，正态分布的分布密度中的参数就是变量就是变量X的数学期望的数学期望，2是它的方差是它的方差。因此，对于正态分布来说，其分布密度参数就是随机变量的两个主要数字特征。因此，对于正态分布来说，其分布密度参数就是随机变量的两个主要数字特征。只要知道了某一变量服从正态分布，则由其数字特征就可决定它的分布律。只要知道了某一变量服从正态分布，则由其数

8、字特征就可决定它的分布律。%7 .97)33(%5 .95)22(%3 .68)(XPXPXP7二、二、n维正态分布维正态分布 设随机变量设随机变量X= (X1,X2,Xn)T，若，若X服从正态分布，则服从正态分布，则X为为n为正态随机向量。为正态随机向量。其联合概率密度为：其联合概率密度为：)()(21exp)2(1),(121221XXXTXXXnnxDxDxxxf22221212122121211,)()()(nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXnnXXnnXDXEXEXE 可见，可见，n维正态分布的分布密度中的参数维正态分布的分布密度中的参数X和方差阵和方差阵DXX都是矩阵。都是矩

9、阵。二维正态分布图82.3 偶然误差的规律性偶然误差的规律性 真误差真误差i i，有时也简称为误差。，有时也简称为误差。一、几个概念一、几个概念 真值真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用值，一般用 表示。表示。L观测值观测值：对观测量进行观测所得的值，一般用：对观测量进行观测所得的值，一般用Li表示表示 。真误差真误差：观测值与真值之差，：观测值与真值之差， 一般用一般用 i= -Li 表示。表示。iL9观测向量：若进行观测向量：若进行n次观测，观测值：次观测，观测值：L1、L2Ln可可用矩阵的形式表示为：用矩阵的形式表示为：n

10、nLLLL211 ,nnLLLL211 ,nnnLLLLLL21211 ,1,1,1,nnnLL 则有，LLELLE)()(TnLELELELE)(,),(),()(21表示其真值若以观测量的数学期望10二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性 基本假设基本假设：系统误差已消除，粗差不存在；真误差：系统误差已消除，粗差不存在；真误差 仅仅是仅仅是偶然误差偶然误差 。 由由1.1节可知，偶然误差就个体而言，其大小或符号没节可知，偶然误差就个体而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（随机性）；但就其总有规律性，即呈现出一种偶然性（随机性）；但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律。而且在大

11、部分情况体而言，却呈现出一定的统计规律。而且在大部分情况下，这种统计规律性可用正态分布来描述。下，这种统计规律性可用正态分布来描述。寻找偶然误差之规律性的方法寻找偶然误差之规律性的方法：统计分析法：统计分析法 （1）统计表法统计表法 （2）直方图法直方图法11例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差180(L1+L2+L3)i，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差分布具有如下性质：误差分布具有如下性质：（1）误差的绝对值有一定的限值；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；（3）绝

12、对值相等的正负误差的个数相近。12l例2：对另一测区在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差分布具有如下性质：误差分布具有如下性质：（1）愈接近于零的误差区间，误差出现的频率愈大；（2）随着离零愈来愈远，误差出现频率亦逐渐递减；（3）出现在正负误差区间内的频率基本相等。13(vi/n)/d00.40.81.2-1.2-0.8-0.4闭合差概率分布曲线或误差分布曲线用误差分布直方图表示:面积= (vi/n)/d* d= vi/n所有面积之和=v1/n+v2

13、/n+.=114由统计分析可以得到，由统计分析可以得到，偶然误差具有下列特性偶然误差具有下列特性：有限性，渐降性，对称性，抵偿性有限性，渐降性，对称性，抵偿性1、有限性：有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说或者说超超过一定限值的偶然误差出现的概率为过一定限值的偶然误差出现的概率为零零；00.40.81.2-1.2-0.8-0.4f()限限限限152、渐降性：、渐降性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；00.40.81.2-1.2-0.8-0

14、.4f()P(|(|小小|)|)P(|(|大大|)|)P(|(|大大|)|)163、对称对称性：性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；00.40.81.2-1.2-0.8-0.4f()P(-(-) )P()P(-(-) )P( () )174、抵偿抵偿性性：偶然误差的理论平均值为零。：偶然误差的理论平均值为零。00.40.81.2-1.2-0.8-0.4f()P(-(-) )P( () )18 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475以理论分布代替经

15、验分布时，各长方条的纵坐标就是的密度函数f()，而长方条的面积f() d ，即代表误差出现在该区间内的概率P() f() d 。22221)(ef正态分布的概率密度函数 f()01-1 02- 2提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。偶然误差的经验分布偶然误差是服从N(0,2)分布的随机变量 。192.4 衡量精度的指标衡量精度的指标 这说明：例这说明：例1 1中的误差更集中于零的附近，这一组误差分布的中的误差更集中于零的附近，这一组误差分布的较为较为密集密集，或者说它的，或者说它的离散度小离散度小。相对而言，例。相

16、对而言，例2 2中的误差分布中的误差分布较为较为离散离散，或者说它的，或者说它的离散度大离散度大。测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度。测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度。 先来比较先来比较2.3节中例节中例1、例、例2中两组观测的精度优劣情况中两组观测的精度优劣情况例例1：误差出现在：误差出现在-0.6“0.6区间内的频率为区间内的频率为0.665；绝对值大于；绝对值大于0.6秒的误差的频率为秒的误差的频率为1-0.6650.335 。例例2：误差出现在：误差出现在-0.6“0.6区间内的频率为区间内的频率为0.492；绝对值大于；绝对值大于0.6秒的误差的频率为秒的误

17、差的频率为1-0.4920.508。20 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475例1的误差分布曲线 f()01-1 02- 2再来比较例1、例2的误差分布直方图和误差分布曲线。例1的误差分布直方图例2的误差分布直方图例2的误差分布曲线结论：如果误差分布较密集，即离散度较小时，则表示观测质量较好，即观测精度较高；反之，误差分布较分散、离散度较大，则观测质量较差、精度较低 。观测质量好坏又反观测质量好坏又反映了什么呢？有什映了什么呢？有什么衡量指标吗？么衡量指标吗？21精度精度：指：指误差分布误

18、差分布的的密集或离散程度密集或离散程度，即，即离散度离散度的大小。的大小。注意注意：所谓：所谓精度高低精度高低，是针对，是针对不同观测组不同观测组而言。假如两组观测成果的误差分布相而言。假如两组观测成果的误差分布相同，则两组观测成果的精度相同；反之，误差分布不同，则精度也就不同。同，则两组观测成果的精度相同；反之，误差分布不同，则精度也就不同。在在相同的观测条件相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布同一种误差分布，也就，也就代表这组观测中的每一个观测值，都是代表这组观测中的每一个观测值，都是同精度观测值同精度观测值。提示：提示：一组观测

19、值一组观测值具有具有相同的分布相同的分布，但，但偶然误差各不相同偶然误差各不相同。离散离散度小度小偶然误偶然误差也小差也小离散离散度大度大偶然误偶然误差也大差也大 精度是用来描述观测结果的偶然误差大小程度的精度是用来描述观测结果的偶然误差大小程度的指标，表示了指标，表示了观测结果与其数学期望观测结果与其数学期望的接近程度，的接近程度，可从误差分布曲线的可从误差分布曲线的陡峭程度陡峭程度看出精度的高低。看出精度的高低。 f()01-1 02- 222一、衡量精度的指标一、衡量精度的指标能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量精度的指标精度的指标

20、。1、方差和中误差、方差和中误差 由于由于偶然误差偶然误差服从服从正态分布正态分布，且其数学期望，且其数学期望E()0，对于在相同条件下得，对于在相同条件下得到的一组独立的观测误差，其到的一组独立的观测误差，其方差方差定义如下：定义如下：随机变量随机变量X的的方差方差定义：定义：dxxfXExxExExDX)()()()(222 方差的算术平方根方差的算术平方根定义为定义为中误差中误差 ：nniinED122lim)()(231、方差和中误差、方差和中误差p提示提示：中误差：中误差不是代表不是代表个别误差个别误差的大小，而是代表误差分布的的大小，而是代表误差分布的离散度离散度的大小；的大小；它

21、是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值。它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值。中误差越小中误差越小，说明，说明绝对值较小的误差绝对值较小的误差越多越多，误差曲线越陡峭误差曲线越陡峭，误差分布越密集误差分布越密集，精度越高精度越高；反之，；反之，精度越低精度越低。 f()01-1 f() 02-2不同的不同的对应着对应着不同的误差分布曲线不同的误差分布曲线24 根据定义可知，方差是真误差平方（根据定义可知，方差是真误差平方（2）的数学期望，也就）的数学期望，也就是是2的理论平均值。的理论平均值。 方差和中误差方差和中误差，在分布律已知的情况下，它是一个确定的常，在分布

22、律已知的情况下，它是一个确定的常数，或者说它是数，或者说它是n趋于无穷大时的极限值，这都是趋于无穷大时的极限值，这都是理论上的数值理论上的数值。在实际工作中在实际工作中，观测个数，观测个数n不可能取无穷大，不可能取无穷大，n总是有限的总是有限的。由。由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估计值估计值（或称（或称估值）。估值）。 方差的估计值：方差的估计值：这就是根据一这就是根据一组等精度组等精度真误真误差差计算方差和计算方差和中误差估值的中误差估值的基本公式基本公式 中误差的估计值：中误差的估计值：25 如果不知道观测值的真值，如何求方差、中误差

23、呢？如果不知道观测值的真值，如何求方差、中误差呢？ ivXX求观测值的期望值、及其改正数求观测值的期望值、及其改正数v：221niin21niin2211niivn211niivnX XNMNX(cm)i(mm) Vi(mm)15.5-1-225.5-1-235.31045.31055.22165.40-175.132(1)(2)221172.47niimmn1.6mm221142.316niivmmn1.5mmiiXX =5.4Xcm已知观测值真值XX真值未知，通过计算1137.35.37niiXXcmniivXX26 在一定的观测条件下一组独立的在一定的观测条件下一组独立的偶然误差的绝对值

24、偶然误差的绝对值的的数学期数学期望望，称为，称为平均误差平均误差。以。以表示。表示。2、平均误差、平均误差即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值的极限值。即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值的极限值。平均误差与中误差的关系：平均误差与中误差的关系： 由此可知，不同的由此可知，不同的，对应着不同的，对应着不同的，于是就对应着不同的误，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差差分布曲线。所以平均误差也可作为衡量精度的指标。也可作为衡量精度的指标。 实际工作中，由于观测个数实际工作中，由于观测个数n有限，只能求得平均误差的有限，只能求得平均误差的估值估值但但仍简称为平均误差

25、。仍简称为平均误差。或者或者27 当观测误差出现在当观测误差出现在(-，+)之间的之间的概率等于二分之一时概率等于二分之一时，称，称为为或然误差或然误差。 即，在相同的观测条件下，大于或然误差与小于或然误差的即，在相同的观测条件下，大于或然误差与小于或然误差的观测误差观测误差(绝对值绝对值)出现的概率各占一半。出现的概率各占一半。3、或然误差、或然误差%50)()(dfP f()0闭合差1150%1/41/4283、或然误差、或然误差t22221)(ef由于由于的概率密度函数为：的概率密度函数为：并作变量代换，令：并作变量代换，令：dtdt,根据或然误差的定义，得：根据或然误差的定义，得：由概

26、率积分表可查得，当概率为由概率积分表可查得，当概率为1/2时，积分的上限为时，积分的上限为0.6745。所以：。所以： 由此可知，或然误差由此可知，或然误差与中误差与中误差存在理论上的关系，不同的存在理论上的关系，不同的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也可作为衡量精也可作为衡量精度的指标。度的指标。29一、真误差的计算一、真误差的计算内容回顾内容回顾二、偶然误差的规律二、偶然误差的规律三、精度的概念三、精度的概念四、衡量精度的定量指标四、衡量精度的定量指标 真误差真误差i i，有时也简称为误差。，有时也简称为误差。偶然误差的四个特性：偶然误差

27、的四个特性：P(-) P() 1、方差和中误、方差和中误差差2、平均误差、平均误差3、或然误差、或然误差30 实际工作中，因为观测个数实际工作中，因为观测个数n是有限的，只能求出是有限的，只能求出的的估值估值 ，但仍简但仍简称或然称或然误差误差。 或然误差可以这样求出：将在相同的观测条件下得到的一组误差，按绝对或然误差可以这样求出：将在相同的观测条件下得到的一组误差，按绝对值大小排列，当值大小排列，当n为奇数时，取位于中间的一个误差值作为为奇数时，取位于中间的一个误差值作为 。当。当n为偶数时，为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为则取中间两个误差值的平均值作为 。3、或然误差、或然误差 但

28、在实用上，通常是先求出中误差的估值，然后按或然误差和中误差的理但在实用上，通常是先求出中误差的估值，然后按或然误差和中误差的理论关系式：论关系式： ，求出，求出 。 例例2-1，为了比较两架经纬仪的观测精度，分布对同一角度各进行了，为了比较两架经纬仪的观测精度，分布对同一角度各进行了30次次观观测，并统计了观测值与真值的误差测，并统计了观测值与真值的误差(表表2-3)，试求出两架经纬仪的中误差、平均误，试求出两架经纬仪的中误差、平均误差和或然误差差和或然误差。65.74, 9 .432经纬仪经纬仪1：05. 13246. 1309 .43 58. 13065.7411121nn86.25, 4

29、 .242经纬仪经纬仪2：62. 03281. 0304 .24 93. 03086.2522222nn31 由于由于： 当当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响，且计算时往往先求出中误差且计算时往往先求出中误差； 中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）；中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）； 平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系； 中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，在中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，在实践中，由于实践中，由于n

30、总是有限的，所以只能求出它们的估值，这与理论总是有限的，所以只能求出它们的估值，这与理论值有一定的差异。值有一定的差异。n愈大，这一差异越小，也越能反映观测的精度；愈大，这一差异越小，也越能反映观测的精度；若若n很小，求出来的估值是不可靠的。很小，求出来的估值是不可靠的。 所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用的指标，我国也统一采用中误差中误差作为衡量精度作为衡量精度的指标。的指标。32 由中误差的定义可知，由中误差的定义可知，中误差是一组同精度观测误差中误差是一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值平方的平均值的平方根极限值

31、。中误差不是代表个别。中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小，中误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小，中误差愈小，表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈误差愈小，表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈多。多。 中误差中误差既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢？对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多

32、少呢？ 4、极限误差、极限误差33由于偶然误差由于偶然误差服从正态分布，误差出现在给定区间服从正态分布，误差出现在给定区间(-k k)内的概率为：内的概率为：4、极限误差、极限误差根据概率论与数理统计知识，得根据概率论与数理统计知识，得k=1，2，3时的概率分别为：时的概率分别为： 上式表明：绝对值大于上式表明：绝对值大于中误差中误差的观测误差出现的概率为的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于；绝对值大于二倍中误差二倍中误差的观测误差出现的概率为的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于；绝对值大于三倍中误差三倍中误差的观测误的观测误差出现的概率仅为差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的

33、绝对值一般不会大于三倍中误差。因。即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差，用用限限表示表示。u在测量工作中，极限误差是保证工程质量的一个重要的在测量工作中，极限误差是保证工程质量的一个重要的定量信息定量信息34 指观测值的指观测值的中误差中误差与与观测值之比观测值之比，一般用分子为，一般用分子为1的分式的分式1/N表示。表示。5、相对误差、相对误差 相对误差是个相对误差是个无量纲的数值无量纲的数值。 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达对于某

34、些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。例如，分别丈量了观测结果的好坏。例如，分别丈量了1000m及及500m的两段距离，的两段距离，它们的中误差均为它们的中误差均为2cm，虽然两者的中误差相同，但就单位长度虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对误差相对误差。35 与相对误差相对应，真误差、中误差、平均误差、极限误差等都与相对误差相对应，真误差、中误差、平均误差、极限误差等都称为

35、称为绝对误差绝对误差。 比如，经纬仪导线测量时，规范中规定的相对闭合差不能超过比如，经纬仪导线测量时，规范中规定的相对闭合差不能超过1/2000，就，就是相对极限误差；而实测中所产生的相对闭合差是相对极限误差；而实测中所产生的相对闭合差(角度闭合差、坐标闭合差角度闭合差、坐标闭合差)，则是相对真误差。则是相对真误差。相对中误差相对中误差 : : 中误差中误差/ /观测值观测值相对真误差相对真误差 : : 真误差真误差 / /观测值观测值相对极限误差相对极限误差 : : 极限误差极限误差 / /观测值观测值导线全长相对闭合差：导线全长相对闭合差：400011KSfssfKS22xyffS2223

36、41500 1010000cmcm导线全长相对闭合差限差：导线全长相对闭合差限差：AAfsfxfyAA132B436例：例：用钢卷尺丈量用钢卷尺丈量200m200m和和40m40m两段距离，量距的中误差两段距离，量距的中误差都是都是2cm2cm，问：这两段距离的真误差是否相等？中，问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？两者误差是否相等？两者的精度是否相同？的精度是否相同？解解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为为2cm2cm。它们的相对精度不相同。它们的相对精度不相同。 前者的相对中误差为：前者的相对中误差为：

37、 0 00202200 200 1 11000010000 后者相对中误差则为：后者相对中误差则为： 0 002024040l l20002000 故前者的量距精度高于故前者的量距精度高于后者。后者。 相对精度相对精度是对长度元素而言。如果不特别说明，相是对长度元素而言。如果不特别说明，相对精度是指对精度是指相对中误差相对中误差。37对于对于多维多维随机变量，即随机变量，即观测向量观测向量，其精度指标是，其精度指标是方差方差-协方差阵协方差阵。6、观测向量的精度指标、观测向量的精度指标协方差阵协方差阵 协方差阵中，协方差阵中，主对角线上主对角线上的元素分别是各观测量的元素分别是各观测量Xi的的

38、方差方差2Xi，非对角线上非对角线上的元素是观测量的元素是观测量Xi与与Xj的的协方差协方差XiXj。一维离散型随机变量一维离散型随机变量X：1)(iiipxXE12)()(iiipXExXD)()(YEYXEXEXY一维随机变量一维随机变量X、Y的协方差：的协方差：都是一都是一个数值个数值 多维随机向量多维随机向量Xn,1X1,X2,XnT的数学期望为的数学期望为E(X)，其方差是一个，其方差是一个矩阵矩阵，称为称为方差方差-协方差阵协方差阵，简称，简称方差阵或协方差阵方差阵或协方差阵：)()()()(21nnXEXEXEXE222,2122121211)()(nnnnnXXXXXXXXXX

39、XXXXXTnnXXXEXXEXED386、观测向量的精度指标、观测向量的精度指标协方差阵协方差阵 当当Xi和和Xj的协方差的协方差XiXj0时，表示这两个观测量之间时，表示这两个观测量之间互不相关互不相关，或者说，或者说相相 互独立互独立，并称这些观测值为，并称这些观测值为不相关的观测值（也称独立观测值）不相关的观测值（也称独立观测值）；当；当XiXj0时，表示它们是时，表示它们是相关相关的，并称观测值为的，并称观测值为相关观测值相关观测值。 多维随机向量多维随机向量Xn,1X1,X2,XnT的方差的方差协方差阵协方差阵：222,2122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXn

40、nXXDijijjijiXXXXXXjjiiXXEEXEXXEXE)()()()(根据协方差的定义：根据协方差的定义：nnkjkikXXji1协方差是两个真误差乘积的数学期望，当观测个数协方差是两个真误差乘积的数学期望，当观测个数n有限时，只能求其估值：有限时，只能求其估值： 因此，观测向量的协方差阵是一个因此，观测向量的协方差阵是一个对称矩阵对称矩阵；当其中的各观测值之间相互；当其中的各观测值之间相互独立时，则所有的独立时，则所有的Xi和和Xj的协方差的协方差XiXj0，此时协方差阵，此时协方差阵DXX为为对角阵对角阵；当；当对角线上的元素相等时，则所有的观测为对角线上的元素相等时，则所有的

41、观测为等精度观测等精度观测。39互协方差阵互协方差阵 其中，其中，DXX，DYY分别是分别是X、Y的协方差阵，而的协方差阵，而DXY称为观测向量称为观测向量X关于关于Y的的互协方差阵互协方差阵；而且，当；而且，当X和和Y的维数的维数n=r=1时（即时（即X、Y都是对一个量的观测都是对一个量的观测值），此时互协方差阵就变成了值），此时互协方差阵就变成了X关于关于Y的协方差。的协方差。则则Z的方差阵的方差阵DZZ为：为：YYrrYXnrXYrnXXnnrnrnZZDDDDD,nrTYXyxyxyxyxyxyxyxyxyxTrnXYDYEYXEXEDnnnnnn,212221212111)()(对于

42、两组多维观测向量对于两组多维观测向量Xn,1、 Yr,1，记：，记：1,1,1),(rnrnYXZ当当DXY0时，称时，称X与与Y为为相互独立的观测向量相互独立的观测向量。40 关于互协方差阵的说明：关于互协方差阵的说明：互协方差阵中的元素均为互协方差阵中的元素均为协方差协方差；互协方差阵互协方差阵D DXYXY于于D DYXYX互为互为转置转置；若若D DXYXY=0=0，则称，则称X X与与Y Y是相互独立的观测是相互独立的观测向量；向量；互协方差阵是表征两组观测向量间两两观测值相关程互协方差阵是表征两组观测向量间两两观测值相关程度的度的指标；指标；当当X X和和Y Y的维数的维数n=r=

43、1n=r=1时，互协方差阵就是时，互协方差阵就是X X关于关于Y Y的协的协方差。方差。41二、准确度二、准确度 引例引例，我们用全站仪测量，我们用全站仪测量AB两点间的距离，设其真实距离是两点间的距离，设其真实距离是观测次数tTL 我们在相同的条件下，进行了两组观测，观测次数都为我们在相同的条件下，进行了两组观测，观测次数都为n，其中第一组的观，其中第一组的观测值分别为测值分别为L1,L2,Ln，其平均值为，其平均值为L 第二的观测值分别为第二的观测值分别为D1,D2,Dn，其平均值为，其平均值为D测量值真实长度TLL1L2LnL第一组结果第一组结果观测次数t测量值真实长度TLL1L2LnD

44、第二组结果第二组结果哪组更准确度？哪组更准确度？)(XEX 准确度准确度又名准度，指观测值的又名准度，指观测值的真值真值与其与其数学期望之差数学期望之差。即。即42二、准确度二、准确度用某尺测量基线用某尺测量基线X X，相同观测条件下测了相同观测条件下测了100100次，求次，求观测值的系统误差观测值的系统误差 。+XX ( + )()EE XX ( )+E( )()()EE XE X +0()XE X()XE X=80mmX80844mm 系统误差：系统误差：-4mm-4mm: XX系统误差：偶然误差：真值 ：观测值:X观测值真值()E X ：观测值数学期望准确度是准确度是E E( (X X

45、) )的真误差，即的真误差，即准准确度确度表征了观测结果中表征了观测结果中系统误系统误差差大小的程度大小的程度当观测值中不存在系统误差时：当观测值中不存在系统误差时：= ()=0X E X，故1(858486)84100XmmN12345 100X(mm) 85 84 8787848643三、精确度三、精确度 精确度的衡量指标是精确度的衡量指标是均方误差均方误差，观测值，观测值X的均方误差定义为：的均方误差定义为： 精确度精确度是精度和准确度的合成，指观测结果与其是精度和准确度的合成，指观测结果与其真值真值的接近程度，包括观的接近程度，包括观测结果与其测结果与其数学期望之差数学期望之差的接近程

46、度、及的接近程度、及数学期望与其真值数学期望与其真值的偏差。的偏差。 2)()(XXEXMSE 当不含系统误差时当不含系统误差时 ， 均方误差即是方差。均方误差即是方差。)(XEX 222222)()()( )()()()(XXEXXEEXEXEXXEXEXEXXEXMSEX 即即X的的均方误差均方误差，等于，等于X的偶然误差的的偶然误差的方差方差加上加上准确度的平方准确度的平方。因此，精确。因此，精确度反映了度反映了偶然误差和系统误差偶然误差和系统误差联合影响的大小程度，当不存在系统误差时，联合影响的大小程度，当不存在系统误差时，精确度就是精度。精确度是一个精确度就是精度。精确度是一个全面衡

47、量观测质量全面衡量观测质量的指标。的指标。反映偶然误差反映偶然误差的的精度精度反映系统误差的反映系统误差的准确度准确度44三、精确度三、精确度22)()(XXEXMSEX反映偶然误差的反映偶然误差的精度精度反映系统误差的反映系统误差的准确度准确度用某尺丈量基线用某尺丈量基线X X，相同观测条件下测了相同观测条件下测了100100次，求次，求观测值的均方误差观测值的均方误差 。N12345 100X(mm) 85 84 87878486=80mmX()MSE X22222(102 )41001Xm miivXX1,0, 3,2,2ivmm 2222()4420XMSE Xmm1(858486)8

48、4100Xmm80844mm 45 精度精度是表示：是表示：观测结果观测结果与其与其均值（即数学期望）均值（即数学期望）的的接近程度接近程度，也，也可以可以说是一说是一个量的重复观测值彼此之间接近或一致程度；描述的是测量水平的高低（重个量的重复观测值彼此之间接近或一致程度；描述的是测量水平的高低（重复观测值之间的离散程度）。复观测值之间的离散程度）。 准确度准确度是表示：是表示：观测结果的均值观测结果的均值与与真值真值的偏差。的偏差。 精确度精确度是表示：是表示：观测结果观测结果与其与其真值真值的的接近程度。接近程度。精度、准确度、精确度三者之间的关系246246246偶然误差分布离散偶然误差

49、分布离散偶然误差分布密集偶然误差分布密集偶然误差分布密集偶然误差分布密集没有明显的系统误差没有明显的系统误差精度精度低低，准确度，准确度高高有明显的系统误差有明显的系统误差精度精度高高，准确度，准确度低低系统误差小系统误差小精度精度高高，准确度，准确度高高即即精确度高精确度高46内容回顾内容回顾一、衡量精度的定量指标一、衡量精度的定量指标1、极限误差、极限误差2、相对误差、相对误差3、多维向量的精度指标、多维向量的精度指标方差方差-协方差针协方差针 多维随机向量多维随机向量Xn,1X1,X2,XnT的方差的方差协方差阵协方差阵：222,2122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXX

50、XnnXXD 对于两组多维观测向量对于两组多维观测向量Xn,1、 Yr,1，其互协方差阵：其互协方差阵：nrTYXyxyxyxyxyxyxyxyxyxrnXYDDnnnnnn,212221212111当当DXY0时，称时，称X与与Y为为相互独立的观测向量相互独立的观测向量。二、准确度、精确度二、准确度、精确度 精度、准确度、精确度三者之间的联系与区别精度、准确度、精确度三者之间的联系与区别472.5 测量不确定度测量不确定度 不确定度是度量不确定性的一种指标不确定度是度量不确定性的一种指标。 不论测量数据是否服从正态分布，衡量不确定性的基本尺度不论测量数据是否服从正态分布，衡量不确定性的基本尺

51、度仍是仍是中误差中误差，并称为，并称为标准不确定度标准不确定度。 测量数据的测量数据的不确定性不确定性，是指一种广义的误差，它既包含偶然，是指一种广义的误差，它既包含偶然误差，又包含系统误差和粗差；也包含数值上和概念上的误差，误差，又包含系统误差和粗差；也包含数值上和概念上的误差，以及可度量和不可度量的误差。以及可度量和不可度量的误差。 不确定性的概念很广，数据误差的随机性和数据概念上的不不确定性的概念很广，数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模糊性，都可视为不确定性问题。完整性及模糊性，都可视为不确定性问题。 测量误差理论仅讨论数值上测量误差理论仅讨论数值上可量度的误差可量度的误差，这也是不确定性，这也是不确定性 问题所研究的主要对象，其数据处理也是基于测量误差理论。问题所研究的主要对象，其数据处理也是基于测量误差理论。48 例如，例如， X是偶然误差，并服从正态分布，取是偶然误差，并服从正态分布，取p p=95.5%=95.5%，则有概，则有概率式：率式： 设观测量为设观测量为X，其真值为，其真值为 ，真误差，真误差X X 由于由于U值一般难以准确给出，为此要借助于统计概率，就是预值一般难以准确给出，为此