鲁棒控制理论第二章

1、2021-12-29鲁棒控制理论第二章第二章 信号和系统的范数信号和系统的范数2021-12-29n描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我们感兴趣的们感兴趣的信号的大小信号的大小来表示。来表示。n本章本章q考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）q介绍系统传递函数的范数介绍系统传递函数的范数q给出两个非常有用的表，概括了输入给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关输出范数关系。系。2021-12-292.1 信号的范数信号的范数n范数的范数的4条性质条性质q1、q2、q3、q4、0u 00uu t

2、t，,aua uaR uvuv考察从（-，）映射到R的信号。假定它们是连续分段的，当然在t0可以是0（即该信号从t=0时刻开始）。三角不等式2021-12-29几种范数的定义几种范数的定义n1-范数范数q定义定义n2-范数范数q定义定义n-范数范数q定义定义n功率信号功率信号*qu的平均功率的平均功率qpow(u) 1:uu t dt 1/222:uu tdt : suptuu t 21lim2TTTu tdtT 1/221:lim2TTTpow uu tdtT信号的时间累积量信号的时间累积量信号所携的总能量信号所携的总能量信号的最大幅值信号的最大幅值2021-12-29范数之间的关系范数之间

3、的关系问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？n*如果如果 ，那么，那么 u是一功率信号，且是一功率信号，且n证明：假定证明：假定u的的2-范数有限，则范数有限，则当当 ，上面的不等式右边趋于，上面的不等式右边趋于02u 0pow u 2221122TTu tdtuTTT 2021-12-29n*如果如果 u是一功率信号且是一功率信号且 ，那么，那么n证明：因证明：因成立，令成立，令 ，得到所求。，得到所求。u pow uu 2221122TTTTu tdtudtuTTT 2021-12-29n如果如果 ，且，且 ，那么，那么因而有因而有n证明：

4、证明：1u u 1/221uuu2u 21u tdtu tu t dtuu2021-12-29集合包含关系集合包含关系(Venn图图)pow212021-12-29n例例1q它的它的1-范数有限：范数有限：q它的它的2-范数无限，因为范数无限，因为 1/t 的积分在区间的积分在区间 0,1 是发是发散的散的q同理，也不是功率信号同理，也不是功率信号q又因又因 u1 是无界的，是无界的，因此因此|u1| 是无限的是无限的 10,01,010,1tu tttt 111012udtt11u1(t)t212021-12-29n例例2n它的它的1-范数存在范数存在n它的它的2-范数存在范数存在n它的它的

5、-范数不存在范数不存在 420,01,010,1tutttt 11u2(t)t2112140143udtt1222012udtt222u2021-12-29n例例3n它的它的1-范数不存在范数不存在n它的它的2-范数不存在范数不存在n它的它的-范数存在范数存在 30010tuttt0113101udt 123201udt 31u212021-12-292.2 系统的范数系统的范数n考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模型型n令令 表示传递函数，即表示传递函数，即G的的Laplace变换。变换。n系统的性质：系统的性质：q因果性因果性

6、(Causal):现在系统的输出现在系统的输出y由过去的输入决定的由过去的输入决定的 t0）解析，或在Re s0无极点n正则的正则的 Proper如果 是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次）n严格正则的严格正则的 Strictly Proper如果 （分母的阶次大于分子的阶次）n双正则的双正则的 Bi-proper如果 和 两个都是正则的（分母阶次等于分子介词）G()G jw()0G jw=G1G-( )11101110,0,1, 0,1,mmmmnnnnijb sbsbsbG sa sasa saa binjm-+=+=LLLL2021-12-29nParseval定理定理设设 ，记，记则

7、则n传递函数的范数传递函数的范数n1-范范数数传递函数传递函数 的范数的范数G()2f tL()()( )dj tfjf t etF fww- =2212ffp=()1dGG jwwD- =)2021-12-29n2-范数范数n-范数范数()1/2221:d2GG jwwp- 骣=桫)():supGG jww=)( )()1/21/2221:dd2GG jG ttwwp- - 骣骣=桫桫蝌)G注意：注意：如果 是稳定的，由Parseval定理，n等于复平面的原点到 的Nyquist图的最远点的距离，也是 的Bode幅频特性图的峰值。n是次可乘的GGGHGH) )2021-12-29传递函数范数

8、的存在性传递函数范数的存在性问题：什么时候这两个范数是有限的？问题：什么时候这两个范数是有限的？n引理引理1：q 的2-范数是有限的，当且仅当 是严格正则的，且无极点在虚轴上；q 的-范数是有限的，当且仅当 是正则的，且无极点在虚轴上。GGGG2021-12-29n证明证明：假定 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分小的正数T， 的Bode图必定高于 的Bode图，即但 的2-范数有限，且其2-范数等于 ，因此 有有限的2-范数。 其余的证明与此类似。G()1KTs+G()1KTs+2KTG()()1,KTjG jwww+看看更详

9、细证明看看更详细证明下一部分内容下一部分内容2021-12-29引理引理1的更详细证明的更详细证明关于2-范数n充分性充分性：若 严格正则，且无极点在虚轴上，则若取令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有G()lim0G jww=()sup G jww+()221KH jTww=+()sup H jKww=()lim0H jww=()(),H jG jwww22HG蕹()1/21/222122211dtg2122KKKHTTTTwwpwp- - 骣骣鼢珑鼢= 珑鼢珑鼢珑+桫桫2G= G2021-12-29如何计算如何计算2-范数范数n 按定义n 假设 是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它

10、的2-范数有限），有最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。因为 是严格正则的，故沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，根据留数定理， 等于等于 在它的左在它的左半平面极点上的留数的和。半平面极点上的留数的和。G()( ) ( )( ) ( )222121212jjGG jdGs G s dsjGs G s dsjwwppp- - =-=-)G22G()( )GsGs-)2021-12-29n例例4已知已知 在左半平面的极点是在左半平面的极点是在这一极点上的留数等于在这一极点上的留数等于因此因此( )()11 ,0G sstt=+( ) ( )Gs G s-)1st

11、= -11111lim112ssssttttt -骣+=桫-+212Gt=)2021-12-29如何计算如何计算-范数范数n计算-范数需要搜索。设一系列稠密的频率点 的估计值为n另一方法是通过解方程找到 的最大值的位置。因为 是有理的，这个导数可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。1,NwwLG()1maxkkNG jw( )2d0dGjww=()G jwG2021-12-29n例例5考察考察观察其观察其Bode幅频特性图：幅频特性图：当当 ，它是递增的（高通），它是递增的（高通），反之，它是递减的（低通）。反之，它是递减的（低通）。于是于是( )1 ,01asG sa bbs+=+

12、ab, 1, a babGab=*u()*00,20,ujpwwewwewe-+= 或其它w0wee2pe*u0()()()()0000222*222221d211dd222212222yG jujG jG jGGwewewewewwwpppwwwwpwpwpwpw-+-=+蛔=蝌)*220, yGue=*21u=e充分小的正数，使得()()0G jG jww)()00,wwe we-+2021-12-29n证明：证明：(2) 由或() ()()y tG ut=*()() ( )()( )()( )1/21/2221/21/2222222ddddd,y tG tuGtuGtuGuGutttttttttttt- - - - - =-骣骣鼢珑=-鼢珑鼢珑桫桫=蝌蝌