高等数学 §9.1多元数量值积分概念与性质ppt课件

1、 设有一立体，它的底是xoy面上的有界闭D 区域， 侧面是以的边界 D曲线为准线而母线平行于轴的 z 柱面，它的顶是曲面),(yxfz ，0),(yxf且在 上D连续。这种立体称为曲曲顶顶柱柱体体。试求该曲顶柱 体的体积。 9.1.1 9.1.1 数量函数积分的概念数量函数积分的概念例例1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积9.19.1多元数量值积分的概念与性质多元数量值积分的概念与性质 当hyxf),(h为常数,0h)时，为平顶柱体， 平顶柱体的体积底面积高V。yxzoD),(yxfz （2 2）近近似似 ) , (iii) , 2, , 1(ni，用以) , (iif为高， i为底的平顶柱体

2、的体积iiif) , (近似代替个第i 小曲顶柱体的体积，即 iiiifV) , () , 2, , 1(ni。 （1 1）分割。）分割。 将D 区域任意分成个 n子域：1，2，n。 并以i) , 2, , 1(ni表示个第i子域的面积。然后以每个 子域的边界曲线为准线，作母线平行于轴 z的柱面，这些 柱面就把原来的曲顶柱体分成 n 个小的曲顶柱体。 ),(iiiyxzo) ) , ( , , (iiiifiiiifV) , (（4 4）取取极极限限 设max1的直径inid，当0d时上面和式的极限就是曲顶柱体的体积，即 iniiidfV10) ,(lim。（3 3）求求和和 将这 n 个小平

3、顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体 体积的近似值，即 iniiiniifVV11) ,( 设有一平面薄片在xoy平面上占有区域 D，其面密度 为 D 上的连续函数) ,(yx，求该平面薄片的质量 m。 xyoD) , (iii 均匀薄片的质量 面密度薄片面积（1 1）分分割割 将薄片(即区域 D)任意分成 n 个子域：n,21， 并以i) , 2, , 1(ni表示个第i子域的面积。 3求和求和4取极限取极限iniiidm10) ,(lim3 3二重积分的定义二重积分的定义即 Ddyxf),(iniiidf10) ,(lim。 （1）定义定义 设) ,(yxf是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭

4、 区域 D 任意分成 n 个小闭区域:i) 3, , 2 , 1(i，并 以i表示个第i小闭区域的面积。) , (iii， 作和式 iniiif1) ,(。若当各小闭区域的最大直径 0d时，和式的极限存在，则称此极限为) ,(yxf在闭 区域 D 上的二重积分，记作Ddyxf),(，即 Ddyxf),(iniiidf10) ,(lim。 （1）其中称为二重积分号，D称为积分区域，) ,(yxf称为被积函数，)d ,(yxf称为被积表达式，d称为面积元素， yx与称为积分变量，iniiif1) ,(称为积分和。若函数) ,(yxf在有界闭区域 D 上连续，则二重积分 Ddyxf),(必定存在。

5、由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的高0) ,(yxf在底面区域D上的二重积分，即 DdyxfV),(。 非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度) ,(yx在薄片所占有的区域D上的二重积分，即 Ddyxm),(。 （1）当0) ,(yxf时，曲顶柱体的体积DdyxfV),(。yxzoD),(yxfz 4.二重积分的几何意义二重积分的几何意义（2）当0) ,(yxf时，曲顶柱体在xoy平面的下方，曲柱体的体积DdyxfV),(，或DdyxfV),(。（3）当) ,(yxf在上D有正有负时，若规定在xoy平面上方的柱体体积取正号，在xoy平面下方的柱体体积取负号，则Ddyxf),(的值就

6、是这些上下方柱体体积的代数和。例例根据二重积分的几何意义判别积分的值根据二重积分的几何意义判别积分的值. .:,d222222ayxDyxaD 3421d 3222ayxaD 解解投影区域为圆域投影区域为圆域.:222ayxD 被积函数半球面为被积函数半球面为,222yxaz 由二重积分得几何意义由二重积分得几何意义xyzO.323a 性性质质 1 1 DDdyxfkdyxkf),(),(（k 为常数） 。 性性质质2 2 DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(。 性性质质 3 3 若DDD21，21DD ，则 21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf。 性性

7、质质 4 4 若在D上1) ,(yxf， 的面积为且 D， 则Dd。 .对积分区域具有可加性这一性质表明二重积分9 9. .1 1. .2 2 二二重重积积分分的的性性质质 推推论论：DDdyxfdyxf),(),(。) ,() ,() ,(yxfyxfyxf，DDDyxfyxfyxfd) ,()d ,(d) ,(，即得性性质质5 5 若在D上) ,() ,(yxgyxf，则DDdyxgdyxf),(),(。 性质性质 6 6 若 M 和 m 分别为) ,(yxf在闭区域 D 上的最大值和 最小值，为D的面积，则 MdyxfmD),(。 设) ,(yxf在闭区域 D 上连续，记的面积为 D，则

8、在 D上至少存在一点) ,(，使得),(),(fdyxfD。 性质性质7二重积分中值定理二重积分中值定理.上有定义在的几何形体，函数是一个有界的可以度量设f数量函数积分的概念数量函数积分的概念), 2 , 1nknk（个小部分任意分割成将定义1，的直径记（其度量仍记为knkkdnk1max), 1kknkkkMfM)(1，作和式任取点如何选取，当如何分割，点如果不论将kkM，即记为上的积分在上可积，极限值为几何形体在极限，则称函数时，上述和式有确定的dMfffd)(,0kknkdMfdMf)(lim)(10kknkkdDfdyxf),(lim,10二重积分；二重积分；三重积分：三重积分：kkknkkdvfdvzyxf),(lim),(10第一型曲线积分第一型曲线积分对弧长的曲线积分：kkknkkdLsfdszyxf),(lim),(10kknkkdLsfdsyxf),(lim),(10第一型曲面积分第一型曲面积分对面积的曲面积分：kkknkkdAfdAzyxf),(lim),(10的度量knkdd10lim时，1f