求由极坐标表示的平面图形的面积

1、 1 平面图形的面积 本节介绍用定积分计算各种表示方法一、求由直角坐标方程表示的平面图形二、求由参数方程表示的平面图形的面三、求由极坐标表示的平面图形的面积的面积积下的平面图形的面积.一、求由直角坐标方程表示的12( ),( ) , fxfxa b其其中中是是定定义义在在上上的的连连续续函函数数. .12( , )|( )( ), , ,xAx yfxyfxxa b型型区区域域: :12( , )|( )( ), , ,yBx ygyxgyyc d型型区区域域: :用用定定积积分分求求由由直直角角坐坐标标方方程程表表示示的的平平面面图图形形的的面面xy积积, ,通通常常把把它它化化为为型型和和

2、型型区区域域上上的的积积分分来来计计算算. .12( ),( ) , gygyc d其其中中是是定定义义在在上上的的连连续续函函数数. .平面图形的面积通过上移通过上移xA型型区区域域abxyO2( )yfx1( )yfxAxyOab2( )yfxM1( )0yfxMA由定积分的几何意义，可知由定积分的几何意义，可知 A 的面积为的面积为例例1 1228.yxxyA求求由由抛抛物物线线和和所所围围图图形形 的的面面积积解解21221204,.028xxyxyyxy的的解解为为21()( )d( )dbbaaS AfxMxfxMx21( )( )d .bafxfxx21( )( )( )d .d

3、cS BgygyyyB同同理理, , 型型区区域域的的面面积积为为于是于是 0424132d8323402 xxxxxAS.382464316Axy图图形形既既是是型型区区域域又又是是型型区区域域212( ),( ),8xAxfxfxx把把看看作作型型区区域域, ,则则24xy 2yx82 (4, 2)xyOA212( ),( )8 ,Aygyygyy把把看看作作为为型型区区域域， 则则33222022( )88330yS Ayydyy于是于是.38388328例例222.yxxyA求求由由和和围围成成的的图图形形的的面面积积解解22(1, 1)(4,2).yxxy和和的的交交点点为为和和图图

4、形形A如如下下图图. .1,01( ),2 ,14xxfxxx . 40,2 xxxf,Ax若若把把看看作作型型区区域域 则则24xy 2(4, 2)xyO2xy(1, 1)A421()(2) dS Axxx113 210044()() d.33S Axxxx 112,fAAA由由于于分分段段定定义义分分为为二二图图形形和和1241439()()().3322S AS AS A423 2121432.3232xxx则则.29123122132yyy显然显然, ,由于由于g1(y), g2(y) 非分段定义的函数非分段定义的函数, ,计算比计算比Ay若若把把看看作作为为型型区区域域，则则212(

5、 ), 12,( )2, 12.gyyygyyy 221( )(2)dS Ayyy较容易较容易.二、求由参数方程表示的图形的面积设曲线设曲线C 形由参数方程形由参数方程( ), ,( )xx ttyy t 表示表示,( ),( ).y tx t连连续续连连续续可可微微( ), ( ), ( ) ,xa xb x t 若若在在上上单单调调增增, ,则则,Cxa xbx由由曲曲线线及及直直线线和和轴轴所所围围图图形形的的面面积为积为( )d( )( )d .baS Ayxy t x tt (), ( ), ( ) ,xa xb x t 若若在在上上单单调调减减时时，()d( )( )dbaS Ay

6、xy t x tt ( )d .S Ay t x tt 因此因此, ,不论不论 x(t)递递增或递减增或递减, ,( )( )d .y t x tt 若上述曲线若上述曲线C 是封闭的，即是封闭的，即( )(),( )(),xxyy 则由则由C 所围的平面图形所围的平面图形 A的面积同样是的面积同样是 ( )d .S Ay t x tt ( )d.S Ax t y tt 或或22220(1cos ) d3.atta 解解20( )(1cos ) (sin )dS Aat a ttt 所围图形的面积所围图形的面积. .aa2xyO2 a A与与 x 轴轴例例3 3(sin ),0, 2 (1cos

7、 )xa tttyat 求求由由摆摆线线三、求由极坐标表示的平面图形的面积01,nT 作作分分割割 ：射射线线1,2,iinAn 把把扇扇形形分分割割成成个个小小xO A rr 图形图形 A 由曲线由曲线 C . 和和两两条条射射线线= =与与 = =围围成成xOi 0 n1i i 1 i 设曲线设曲线C 的极坐标方程为的极坐标方程为( ), ,.rr 从而从而2211111().22nnniiiiiiiimS AM 由于由于2220011111limlim( )d ,222nniiiiTTiimMr .21nAAA，扇扇形形，设设1inf ( )|,iiimr1sup ( )|,1,2, .

8、iiiMrin 2211(),22iiiiimS AM则则因此因此例例4(1cos ).ra 由由心心脏脏线线所所围围平平面面图图形形的的面面积积解解2201() (1cos ) d2S Aa 23.2a 21( )( )d .2S Ar 220(1cos ) da Oxya2a例例522cos2.ra 求求双双纽纽线线所所围围平平面面图图形形的的面面积积由图形的对称性由图形的对称性,2401( )4cos2 d2S Aa 解解20,r 因因为为所所以以的的取取值值35,.4444 范范围围是是与与2240sin2.aa a/2 aOyx解解22240411( )sindcosd22S A .d22cos121d22