第十六章二次根式全章教案

1、第十六章二次根式全章教案第十六章二次根式教材内容本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.教学目标1 .知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解后(a>0)是一个非负数，(指)2=a(a>0), 后=a (a>0).(3)掌握 Ja bb = Tab (a> 0, b>0), >/ab = Va ' / ；=t (a>0, b>0), ( =(a>0, b>0).b 1' b-bb4 4) 了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.5 .过程与方法(1)先提

2、出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.？再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次 根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规 定，？并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，？得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用 它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，？给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并， 达到对二次根式进行计算和化简的目的.6 .情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神， 经过探索二次根式的

3、重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、 发现问题的能力.教学重点1 .二次根式 目(a>0)的内涵. 启(a>0)是一个非负数；(百)2=a(a>0); Va2 =a (a>0) ?及其运用.2 .二次根式乘除法的规定及其运用.3 .最简二次根式的概念.4 .二次根式的加减运算.教学难点1 .对耳(a>0)是一个非负数的理解；对等式(77) 2 = a (a>0)及V7=a (a>0)的理解及应用.2 .二次根式的乘法、除法的条件限制.3 .利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分

4、配如下：16 .1 二次根式 3 课时17 .2二次根式的乘法 3 课时18 . 3二次根式的加减3 课时教学活动、习题课、小结2 课时课题16.1二次根式(1)课型新授三维 目标知识 目标理解二次根式的卞S念，并利用 乖(a>0)的意义解答具体题目.力标 能目提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.情感 目标培养学生转化思想和解决实际问题的能力及逆向思维能力。教学重点形如 点(a>0)的式子叫做二次根式的概念；教学难点利用“再(a> 0)”解决具体问题.教学方法米取小组讨论、合作探究、启发引导等方法。教学过程一、复习引入活动1、填空，完成课本思考1:J3 屈 $6

5、5 V 5活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示 的共同意义.活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动4、思考卜列问题：<9的运算结果是3,，'苗是不是二次根式？ 3是不是？定义中为什么要加a>0?若a<0, ”a表示什么？启无意义？当a=0时，Ja表示什么？结果是什么？当 a>0时，''表示什么？可/、可能为负数？ 7a ( a >0)是什么样的数呢？可由学生思考后进行讨论，然后教师订正，最后师生共同归纳得出性质1: 0a (a >0)是一个非负数二、探索新知例1.卜列式子，哪些是二次根式，哪些不

6、是二次根式：J2、死、xXx (x>0)、而、霹、-72、Jxy (x>0, y?>0).x y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“丁”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：J2、Jx (x>0)、J0、- J2、«y (x>0, y>0);不是二次根式的有：霓、2、4/2、xx y例2.当x是怎样的实数时， ""2在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以x-2>0, ?Vx2才能有意义.解：由 x-2 >0,得：x>2当x2时，Jx 2在实数范围内有意

7、义.三、巩固练习教材P3练习1、2.四、应用拓展1例3.当x是多少时，J2x 3+在头数沱围内有息乂?x 1分析：要使V2x 3 + 在实数范围内有意义，必须同时满足J2x 3中x 11 ，一的学0和中的x+1 W0.x 1解：依题意，得2x 3 0x 1 0由得：x>-2由得：xw-1当x-3且xw-1时，J2x 3+，在实数范围内有意义.2x 1例 4(1)已知 y=J2 + /72+5,求二的值.(答案:2) y(2)若 Va-7 +/b7 =0,求 a2004+b2004 的值.(答案:")5五、归纳小结(学生活动，老师点评)本节课要掌握：1 .形如va (a>0

8、)的式子叫做二次根式，称为二次根号.2 .要使二次根式在实数范围内有意义，必须涉足被开方数是非负数.六、布置作业习题16.1第1、5题16.1二次根式(1)定义：板书设计形如点(a>0)的式子 例1例2 例3例4叫做二次根式课题16.1二次根式(2)课型新授三维 目标知识 目标理解点(a>0)是一个非负数和(Va) 2=a (a>0),并利用它们进行计算 和化简.力标 能目通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出Ji (a>0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出( 7a)2=a (a>0)；最后运用 结论严谨解题.情感 目标培养学生转化思想和解决

9、实际问题的能力及逆向思维能力。教学重点旧(a>0)是一个非负数；(«) =a (a>0)及其运用.教学难点用分类思想的方法导出 V (a>0)是一个非负数；？用探究的方法导出(口) 2=a (a>0).教学方法米取小组讨论、合作探究、启发引导等方法。一、复习引入（学生活动）口答1 .什么叫二次根式？2 .当a0时，“后叫什么？当a<0时，而有意义吗？老师点评（略）.二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）石（a>0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出乖 （a>0）是一个非负数.做一做：根据算术平方根的意义填

10、空：（4）2=；（版）2=；（甚）2=； （ V3） 2=;（.1） 2=； （ , 7 ） 2=； （、. 0 ） 2=.教学过程老师点评："是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，J4是一个 平方等于4的非负数，因此有（J4） 2=4.同理可得：（，2 ） 2=2,（甚）2=9, （ V3） 2=3,（J）2=4 ，）2=,V 3322（而）2=0,所以（后）2=a （a10）例1计算1. （ M5） 2 2 . （275） 2分析：我们可以直接利用（J?） 2=a （a>0）的结论解题.解：（Jl.5） 2=1.5（275）2= 2 2（75）2=4 5=20三、巩固练习

11、 计算下列各式的值：(3x5)2 (53 )2四、应用拓展 例2计算1.(Tx) 2 (x>0) 2 .(府)2 3 . (Ja2 2a 1) 2 4 . (，4x2 12x 9) 2分析：(1)因为 x>0,所以 x+1>0； (2) a2>0； (3) a2+2a+1= (a+1)>0；(4) 4x2-12x+9= (2x) 2-2 - 2x - 3+32= (2x-3) 2>0.所以上面的4题都可以运用(Ji) 2=a (a>0)的重要结论解题.解：(1)因为x>0,所以x+1>0(Jx 1 ) 2=x+1(2) , a2>0,

12、 ( Va2) 2=a2(3) v a2+2a+1= (a+1) 2又丁(a+1) 2>0,a2+2a+1>0 ,2a 1 =a2+2a+1(4) . 4x2-12x+9= (2x) 2-2 - 2x - 3+3"= (2x-3) 2又 丁(2x-3) 2> 0- 4x2-12x+9 >0, a ( “x2 12x 9) 2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1 . Oa (a>0)是一个非负数；2 . ( Va) 2=a (a>0);反之:a=

13、( Va ) 2 (a>0).六、布置作业习题 16.1 第 2(1)-(4)、4、7题16.1二次根式(2)1.4(a>0)是一个非负数；板书设计2.(0)2=a (a>0);例 1 例 2 例 3反之:a= ( Ta ) 2 (a>0).课题16.1二次根式(3)课型新授三维 目标知识 目标理解存=a (a>0)并利用它进行计算和化简.力标 能目通过具体数据的解答，探究02=3 (a>0),并利用这个结论解决具体问题.情感 目标培养学生转化思想和解决实际问题的能力及逆向思维能力。教学重点70r = 2 (a>0).教学难点探究结论.教学方法米取小组

14、讨论、合作探究、启发引导等方法。教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1 .形如2a (a>0)的式子叫做二次根式；2 . 2a (a>0)是一个非负数；3 . ( y/2) a (a>0).那么，我们猜想当a0时，J02=a是否也成立呢？下面我们就来探究 这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：应;； 而12 =; J*)2 =；值2 =;后=,符-(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：痉=2; Jo.012=0.01; )2 =；旧)2 =3 ；后=0; 寅予因此，般地：|V0- =a ( a> 0) 例1化简(1) J16(2)分析：因

15、为(1) 16=4： (2) (-5) 2=52 所以都可运用 Va2 =a (a> 0) ? 去化简.解：(1)416=J42=4(2)，( 5)2 =752=5三、巩固练习教材P4练习2.四、应用拓展例2 填空：当a0时，J$=；当a<0时，J$=, ?并 根据这一性质回答下列问题.(1)若&2=a,则a可以是什么数？(2)若宕=-a,则a可以是什么数？(3)履咨则a可以是什么数？分析：a2=a (a>0), .要填第一个空格可以根据这个结论，第二 空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当 a<0时，后=J( a)2 ,那么-a>0.(1

16、)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3) 根据(1)、(2)可知好=| a | ,而| a |要大于a,只有什么时候才能保 证呢？ a<0.解：(1)因为后2 =a,所以a>0；(2)因为忑2 =-a ,所以a<0；(3)因为当a0时Ja2=a,要使Ja2>a,即使a>a所以a不存在；当a<0 时，>/a2 =-a ,要使 TO2 >a,即使-a>a, a<0 综上，a<0例 3 当 x>2 时，化简 7(x 2)2 - J(1 2x)2 .分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握： =a (a>0

17、)及其运用，同时理解当a<0时，2 = a的应用拓展.六、布置作业习题16.1第2一(8)、3、8、9题16.1二次根式(3)板书设计Va2=a (a>0)例 1 例 2 例 3课题16.2二次根式的乘除（1）课型新授三维 目标知识 目标理解。a>/ab （a>0, b>0）, Tab =Ja - © （a>0, b>0）,并禾 用它们进行计算和化简。能力 目标由具体数据，发现规律，导出 Ta - b = Obb （a>0, b>0）并运用它进行计算；？利用逆向思维，得出 JOB=ja '址（a> 0, b>0

18、）并运用它进 行解题和化简.情感 目标培养学生转化思想和解决实际问题的能力及逆向思维能力。教学重点0a vb = Tab (a>0, b>0), ab= =Va - bb (a>0, b>0)及它们的 运用.教学难点发现规律，导出 J0" , Vb = aab (a>0, b>0).教学方法米取小组讨论、合作探究、启发引导等方法。教学过程一、复习引入 （学生活动）请同学们完成卜列各题.1 .填空（1）V4 x >/9 =? V4 _9 ="（2） <16x725=, ,16 25=.（3） 7100 X 736=, J100

19、36=.参考上面的结果，用“ >、<或="填空.在 X 99 44 9 ,6 X，25 716 25 , /100 乂而J100 362 .利用计算器计算填空（1）近 x 芯&（2）72x75而，（3）v5x76豉，（4）V4 x V5720,（5） 71 义屈V70.老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律.老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，？并且把这两个二次根式 中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地，对二次根式的乘法规定为4 邪=/Ob . (a>0,

20、 b>0)反过来：4ab=花- Jb (a>0, b>0)例1 .计算(1)用 X 4(2) Ji x727分析：直接利用石- Vb = x/Ob (a>0, b>0)计算即可.解：(1) J3x J5=#5(2)白凡57=应=3例2化简(1) aA6=8T(2) V4a2b3分析：利用Vab = VO - 4b (a>0, b>0)直接化简即可.解：(1) -16 81=Ji6x 闹=4X 9=36(2) x-4a2b3 =v14 ?va2 ? Jb3 =2? a? Jb2 ?b=2a后?7%=2ab/b三、巩固练习(1)计算(学生练习，老师点评)

21、x/16 X 883T6x2M底. Ray(2)化简：病；洞;标;754;712a2b2教材P7练习四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(D 4 4)(9r S 眄(2) 41|x725=4X，丝 X 25 =4值 X 岳=4石2 =873解：(1)不正确.改正：/ 4) ( 9)= (2)不止确.改正：.412 X熔五、归纳小结本节课应掌握：(1)(a>0, b>0)及其运用：J4 9 = 74 x 79=2X 3=6=412 X 通=,惜 25=J112=J16 7=477在 bb = 7ab= (a>0, b>0), ./ab =/a 代1

22、 16.2 第 1,3 (1) (2) ,6 题。六、布置作业习题板书设计x/a" 而=Tab =16.2二次根式的乘除(1)(a>0, b>0),Vab = Oa - Vb ( a> 0,b>0)例1 例2课题16.2二次根式的乘除(2)课型新授三维 目标知识 目标理解&a = Ja (a>0, b>0)和胆=g! (a>0, b>0)及利用它们进行运算.Vb VbYb Jb能力 目标利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向 思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.情感 目标培养学生转化思想和解决实

23、际问题的能力及逆向思维能力。教学重点理解导=11a* b>°)' 后卷(a>0, b>0)及利用它们进行计算 和化简.教学难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学方法米取小组讨论、合作探究、启发引导等方法。一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题：1 .写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2 .填空(1)4 =；9(2)16 =25(3)49规律:16、25旭 V3| ，25 '为(老师点评)二、探索新知上台的同学也回答得十分准确,根据大家的刚才同学们都练习都很好, 练习和回答，我们可以得到：般地，对二次根式的除法规定:教学过程反过来,1=7?

24、(a" b>。)卜面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1 .计算：(1)条(2) 分析：上面小题利用 曾忑(a>0, b>0)便可直接得出答案.解：曾瑜思 丫2 丫18="'2 18、2例2.化简:(1)舄偿分析：直接利用 a=a (a>0, b>0)就可以达到化简之目的. b xb解:(1)儒濡310(2),352三、巩固练习教材P10练习1.四、应用拓展例3.已知9-x理工，且x为偶数，求(1+x) x 6% x 6x2 5x 4x2 1的值.分析：式子,3=秦，只有a>0, b>0时才能成立.x=8.因此得到9-

25、x>0且x-6>0,即6<x< 9,又因为x为偶数，所以解：由题意得.6<x<9x为偶数x=8原式二(1+x) J，(x-4)(x-1) (x 1)(x 1)(1+x)(1+x)x 4x 1当x=8时，原式的值=，4 9=6.五、归纳小结及其运本节课要掌握 Ja = Ja (a>0, b>0)和"a =竿 (a>0, b>0)用.六、布置作业习题 16.2 第 2,3 (3) (4),7 题。板书设计16.2二次根式的乘除(2)Wa = ja (a>0, b>0)例 1例 2 例 3野(a>0, b>

26、0)课题16.3二次根式的加减(1)课型新授三维 目标知识 目标理解和掌握二次根式加减的方法。能力 目标先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的 理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.情感 目标培养学生转化思想和解决实际问题的能力及逆向思维能力。教学重点二次根式化简为最简根式.教学难点会判定是否是同类二次根式.教学方法米取小组讨论、合作探究、启发引导等方法。教学过程一、复习引入学生活动：计算卜列各式.(1) 2x+3x;(2) 2x2-3x2+5x2;(3) x+2x+3y;(4) 3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并

27、.同 类项合并就是字母不变，系数相加减.二、探索新知学生活动：计算卜列各式.(1) 2夜+3点(2) 2我-3V8+5&(3) 71 +2V7+3V9 7(4) 3V3-2 33 +V2老师点评：(1)如果我们把 应当成x,不就转化为上面的问题吗？272+372= (2+3) 72=572(2)把囱当成V；2而-3 而+5在=(2-3+5) 78=478=872(3)把J7当成z;.7+2、7+、，9、7=27+2 . 7+3、, 7= (1+2+3)、7 =6,7(4)褥看为x,"看为y.= ,3-2、3+ ,2= (3-2) W+T2= ；3+ 2因此，二次根式的被开方数

28、相同是可以合并的，如2J2与质表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板书)3.2+8 =3.2 +22=5, 23,3+ ,27=3 3+3 3=6.3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，？再将被开方数相同的二次根式进行合并.例1 .计算(1) <80 夜 (2) 79a v25a分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步， 将相同的最简二次根式进行合并.解：(1) V80 <45=4v'5 35=J5(2) 9a 25a =3 a +5 % a 8 a例2.计算(1) 2而 6P 3V48 v3(2)石2 <20<3 <5解：(1) 2<12 6/1 3,4834 3 2 3 123 14 3(2) 62