经典：人教版选修4-4抛物线的参数方程

1、2021/8/61抛物线的参数方程抛物线的参数方程2021/8/62图形标准方程焦点坐标准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 2021/8/63xyoM(x,y)(,)2 2 2021/8/64222.(5)tan.(6)2tan(5),(6),(2tan(5)()ypxMyxpxx ypy 设设抛抛物物线线的的普普通通方方程程为为因因为为点点在在 的的终终边边上上，根根据据三三角角函函数数的的定定义义可可得得由由解解出出，得得到到为为参参数数）这这就就是是抛抛物物线线不不包包括括顶顶点点 的的参参数

2、数方方程程(,)2 2 2021/8/6521,(,0)(0,),tan2()20(0,0)(,)ttxpttyptttt 如如果果令令则则有有为为参参数数当当时时，由由参参数数方方程程表表示示的的点点正正好好就就是是抛抛物物线线的的顶顶点点因因此此当当时时，参参数数方方程程就就表表示示抛抛物物线线。参参数数 表表示示抛抛物物线线上上除除顶顶点点外外的的任任意意一一点点与与原原点点连连线线的的斜斜率率的的倒倒数数。2021/8/66，焦点坐标为：则抛物线的准线方程为，为：、若抛物线的参数方程tytx2212，焦点坐标为：则抛物线的准线方程为，为：、若抛物线的参数方程2442tytx2021/8

3、/672021/8/682021/8/6921212121212121221()2,(),11,xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt . .若若曲曲线线为为参参数数 上上异异于于原原点点的的不不同同两两点点，所所对对应应的的参参数数分分别别是是则则弦弦所所在在直直线线的的斜斜率率是是 、C2021/8/610112121222111222122221212,(2,2),(2,2)22122M MMMttMMMptptMptptptptkptpttt 解解：由由于于两两点点对对应应的的参参数数方方程程分分别别是是 和和 ，则则可可得得点点和和的的坐坐标标分分别别为为2021/8

4、/6112021/8/6122021/8/6132021/8/6142021/8/6152021/8/6162021/8/6172021/8/6182021/8/6192002.2,( 1,0),MyxMPM MP 例例设设为为抛抛物物线线上上的的动动点点 给给定定点点点点为为线线段段的的中中点点求求点点的的轨轨迹迹方方程程。2021/8/62023.,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM 例例如如图图是是直直角角坐坐标标原原点点是是抛抛物物线线上上异异于于顶顶点点的的两两动动点点, ,且且并并于于相相交交于于点点，求求点点的的轨轨迹迹方方程程。xyoBAM2021/8/62

5、12211221212221122222121221 21 21 2:,( , ),(2,2),(2,2)(,0)( , ),(2,2),(2,2)(2 (),2 (),0,(2)(2 )0,1.M A Bx yptptptptttttOMx y OAptptOBptptABp ttp ttOAOBOA OBpt tp t tt t 解解 根根据据条条件件 设设点点的的坐坐标标分分别别为为且且则则因因为为所所以以即即所所以以.(8)2021/8/6222221211212211222,0,2()2()0()0,(0).(9)(2,2),(2,2),OMABOM OBpx ttpy ttx tt

6、yyttxxAMxptyptMBptxptyA M B 因因为为所所以以即即所所以以即即因因为为且且三三点点共共线线，2021/8/623221221121 222(2)(2)(2)(2)()20.(10)(8),(9)(10),()2020(0)xptptyptxypty ttpt txyypxxxypxxM所所以以化化简简，得得将将代代入入得得到到即即这这就就是是点点的的轨轨迹迹方方程程简简化化运运算算。说说明明：设设出出参参数数能能大大大大2021/8/62422221111222222222221 21222222212121223(2)(2)21(2)(2)212(1) (1)222

7、()44,4.AOBOAptptp ttOBptptp ttAOBSpt tttpttpttpttA BxAOBp 由由例例 可可得得所所以以，的的面面积积为为当当且且仅仅当当，即即当当点点关关于于 轴轴对对称称时时，的的面面积积最最小小，最最小小值值为为3,?A BAOB 在在例例 中中 点点在在什什么么位位置置时时的的面面积积最最小小？最最究究：小小值值是是多多少少探探2021/8/62524 (354,2(0),.PA B Cypx pBCxAB ACDEDE. .见见教教材材第第 题题）已已知知是是抛抛物物线线上上的的三三个个点点，且且与与 轴轴垂垂直直，直直线线分分别别与与抛抛物物线线的的轴轴交交于于 ， 两两点点求求证证：抛抛物物线线的的顶顶点点平平分分线线段段2021/8/62625.(355)2(0),.Pypx pOOAOBOAkABM见见教教材材第第 题题 经经过过抛抛物物线线的的顶顶点点 任任作作两两条条互互相相垂垂直