大学概率论与数理统计公式全集

1、大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式逆概率公式伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式P(AB) P(A)P(B)； P(B A) P(B) ； P(b|a) P(B A) ； P(B|A) P(B A) 1 ；P(目 A) P(B A) 1、随机变量及其分布1、分布函数性质2、离散型随机变量分布名称分布律0 - 1 分布 B(1, p)二项分布 B(n, p)泊松分布P()几何分布G(P)超几何分布H(N,M,n)3、连续型随机

2、变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U (a,b)指数分布E()正态分布N( , 2)标准止态分布N(0,1)三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布2、离散型二维随机变量条件分布3、连续型二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y) x y f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 x边缘分布函数：Fx (x)f (u,v)dvdu边缘密度函数：fx (x) f (x,v)dv5、二维随机变量的条件分布四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)xkPk连续型随机变量：E(X) xf (x)dxk 12、数学期望的性质假设XY相互独

3、立那么：E(XY) E(X)E(Y)3、方差：D(X) E(X2) E2(X)4、方差的性质(1) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)假设 XY相互独立那么：D(X Y) D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y)假设 XY相互独立那么：Cov(X,Y) 06、相关系数：XY - 7sSXY相互独立那么：XY的XY不相关7、协方差和相关系数的性质8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1,p)二行分布B(n, p)泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)均匀分布U(a,b)止态分布N( , 2)指数分布

4、E()五、大数定律和中央极限定理1、切比雪夫不等式假设E(X) ,D(X)2,对于任意0有PXE(X)2 或 PX E(X) 1 Dd2、大数定律：假设Xi Xn相互独立且n时,nn1D 1Xi E(Xi)n i 1n i 1假设Xi Xn相互独立,E(Xi) i,D(Xi)i2且1 n一E(Xi),(n)n i 1假设X1 Xn相互独立同分布,且E(Xi)i那么当n 时:1nxi n i i3、中央极限定理(1)独立同分布的中央极限定理：均值为.的独立同分布时,当n充分大时有:x有:(2)拉普拉斯定理：随机变量n(n 1,2 )B(n,p)那么对任意n一,、一nXk"(3)近似计算

5、：P(a Xk b) P(* 与L)n ,nn六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(Xi,X2 Xn)的联合分布为F(Xi,X2 Xn) F (Xk ) k 12、统计量nnn(1)样本平均值：X 1 Xi (2)样本方差：S2 (Xi X)2 (Xi2 nX )n i in 1 i in 1 i i(3)样本标准差：S匚1一(Xi又)2 (4)样本k阶原点距:Ak -Xik,k 1,2:n 1 i 1n i 1n样本k阶中央距：Bk Mk - (Xi X)k,k 2,3 n i 1(6)次序统计量：设样本(XX2Xn)的观察值(X1,X2%),将X3X2 Xn根据由小到大的

6、次序重新排列,得到X(1)X(2)X(n),记取值为X(i)的样本分量为X(i),那么称X (1) X X(n)为样本(X3X2 Xn)的次序统T"hjlL °X(1) min(X1,X2Xn)为取/J、次序统计量；X(n)max(X1,X2Xn)为最大次序统计量.3、三大抽样分布(1) 2分布：设随机变量X1,X2Xn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),那么随机变量2 X： X；X2所服从的分布称为自由度为n的2分布,记为2 2(n)性质：E 2(n) n,D 2(n) 2n设X2(m), 丫2(n)且相互独立,那么X Y 2(m n) t分布：设随机变量XN(0

7、,1),Y2(n),且X与Y独立,那么随机变量：T不建所. Y n服从的分布称为自由度的n的t分布,记为Tt(n)(X )2性质： Et(n) 0,Dt(n) -,(n 2) limt(n) N(0,1) -e 2 2 n 2n2F分布：设随机变量U2(m),V 2(n2),且U与V独立,那么随机变量F(m,n2)外 V n2所服从的分布称为自由度(1,电)的F分布,记为FF(n1,n2)性质：设 XF(m,n)贝(jL-FS'm)X七、参数估计1、参数估计定义：用(Xi,X2, Xn)估计总体参数,称(X1,X2, Xn)为 的估计量,相应的(Xi,X2, Xn)为总体 的估计值.(2)当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值 =未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：(总体矩=样本矩).n离散型样本均值：X E(X) Xi连续型样本均值：X E(X) xf (x, )dx n i 1n离目攵型参数：E(X2) Xi2n i 13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：Xi,X2, Xn取自X的样本,设xf(x )或P(X Xi) P()那么可得到nnPi 1概率密度：fXi,