第二章-23恰当微分方程与积分因子

1、1进一步把进一步把 平等看待，写成下面形式的一阶平等看待，写成下面形式的一阶微分方程微分方程, x y2.3. 恰当方程和积分因子恰当方程和积分因子 ( , )dyf x ydx一阶常微分方程的一般形式为一阶常微分方程的一般形式为可改写成微分的形式（或对称的形式）可改写成微分的形式（或对称的形式）( , )0f x y dxdyM(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (3.1)2其中 和 是在平面上某区域 内的已知连续函数，且在 内的每一点处， 和 不同时为零。如果方程（3.1 的左端是某一个已知函数 的全微分,即( , )N x y( , )M x yDD( , )M x y( , )N x

2、 y( , )u x y( , )( , )M x y dxN x y dydu那么就说方程(3.1)是恰当微分方程或全微分方程恰当微分方程或全微分方程。2.3.1 恰当微分方程恰当微分方程1.定义定义设给定方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (3.1)3复习：全微分的定义复习：全微分的定义如果二元函数 在平面区域 内的偏导数存在，且 在 内连续，则函数在D内可微，且有 ( , )u u x y,xyu uDxyduu dxu dyD4由全微分的定义，有 因此，当而且仅当存在函数 ，使得 ( , )uu x y( , ),( , )(3.2)uuM x yN x yxy时，方程(3.

3、1 )是恰当微分方程，并可写成下列形式 ( , )0du x y 结论结论: 关系式关系式( , )(3.3)u x yc就是恰当微分方程的通解，这里c是积分常数。 uududxdyxy5如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxfd例：求方程xcos(x+y)+sin(x+y)dx+xcos(x+y)dy=0的通解。解：不能直接用观察法找出u(x,y), 那么它是恰当方程吗那么它是恰当方程吗?如果是如何找u(x,y)?6需考虑的问题:(1) 方程(1)是否为恰当方程?(判别判别)(2) 若

4、(1)是恰当方程,怎样求解? （方法方法）(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程 求解?(技巧技巧)2 .方程为恰当方程的充要条件方程为恰当方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM7证明“必要性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu从而2,Muyy x 2.Nu

5、xx y 从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM8“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,)5(y满足则需构造函数),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即应满足即应满足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu9,)(的任意可微函数是这里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(无关的右端与下面证明x的偏导数常等于零即对x事实上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同时满足使下面选择),6(),(u

6、ydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu10),(dxyxMxyxNyMxN. 0积分之得右端的确只含有于是,)7( ,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu为恰当方程从而存在即) 1 (,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)为恰当方程,则其通解为( , )( , ),M x y dxNM x y dx dyccy为任意常数11二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1 不定积分法不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu

7、)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1 验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.12解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy这里( , )1M x yy所以故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu, yexux,sin2yxyu积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义xyeyx,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN13).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy 故.

8、cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex142 分组凑微法分组凑微法 采用“分项组合分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd1522yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd22xdxydyxy22(),dxy16例例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,( , )64,M x yxxyN

9、x yx yy这里( , )12M x yxyy所以故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故通解为:。ccyxyx为任常数,32243,),(xyxN17例例3 验证方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1 (),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM这里yyxM),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即x

10、d2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN18, 0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件, 2)0(y, 4c故所求的初值问题的解为:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd193 曲线积分法曲线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分为某函数),(),(),(使即有函数),(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。为恰当方程从而 ) 1 (20则取这时,),(,00Ry

11、x),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN从而(1)的通解为。ccdyyxNdxyxMyyxx为任常数,),(),(000 为简化计算为简化计算,选择选择平行于坐标平行于坐标轴轴的直线段连成的折线进行积分的直线段连成的折线进行积分.21例4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:, 2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.,),(),(全平面上连续在由于yxNyxM则故取),0 , 0(),(0

12、0yx22yxdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2sin2为任常数ccyexxyy故通解为:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM23三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10)(24对一阶线性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰当方程.得方程

13、两边同乘以,)(dxxPe, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则或左边( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.( )( )( )P x dxP x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy251 定义定义使得如果存在连续可微函数, 0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx,( , )(1).x y为恰当方程 则是积程的一个分因子方例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdx

14、xyyyxyx解:对方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM26由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx( , ),x y故所给方程乘以后为恰当方程.),(是其积分因子所以yx后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即3243()()0d x yd x y27也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:。ccyxyx为任常

15、数,34232 积分因子的确定积分因子的确定:0),(),(),(充要条件是的积分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN28)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx尽管如此,方程)(xNyMyMxN还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.29积分因子只是积分因子只是x的的;积分因子只是积分因子只是y的的(1)寻求特殊形式的积分因子寻求特殊形式的积分因子303 定理定理微分方程( , )( , )0,(1)M x y

16、 dxN x y dy是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x,)(NxNyM的积分因子为这时有关仅与) 1 (,x,)()(dxxexNxNyMx)()(这里31充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理y) 1 (,)(MxNyM的积分因子为这时有关仅与) 1 (,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy这里32例6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与xy,)(x33dx

17、xex)()(dxe1xe后得对方程两边同乘以xex )(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为.,222为任意常数ccyeeyxx 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.1)()(NxNyMx34(2)观察法观察法 首先对方程进行适当的首先对方程进行适当的分项组合分项组合,然后然后通过通过观察分析观察分析找出它的积分因子找出它的积分因子2)(1. 7yxyxdxdy解方程例.

18、 0)(. 8dyxyydx解方程例35例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解解:方程改写为:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有积分因子,1),(22yxyx:),(乘改写后的方程两边得以yx,2)(2222dxyxyxd36即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解为:.,22为任常数ccxyx例8 求解方程. 0)(dyxyydx解解:,),(,),(xyyxNyyxM这里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰当方程,37方法方法1:MxNyM)(因为y2,有关仅与y的积分因子故方程有一个仅依赖于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程两边得以y. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解为:.lncyyx)(y38方法方法2: 方程改写为:,ydyxdyydx容易看出方程左侧有积分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有关但方程右侧仅与y由此得为方程的积分