食饵捕食者模型

1、精心整理楚雄师范学院数学系数学模型课程食饵一捕食者模型3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用 matlab软件画出图形。自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵一捕食 者系统。一食饵一捕食者选用食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）为研究

2、对象,设x（t）/ x1（t）为食饵（食用鱼）在时刻t的数量， y（t）/x2（t）为捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量，ri为食饵（食用鱼）的相对增长率，D为捕食者（鲨鱼） 的相对增长率；Ni为大海中能容纳的食饵（食用鱼）的最大容量，N2为大海中能容纳的捕食者（鲨 鱼）的最大容量，i为单位数量捕食者（相对于N2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者（相 对于NJ消耗的供养甲实物量的i倍；2为单位数量食饵（相对于Ni）提供的供养捕食者的实物I量为单位数量捕食者（相对于N2）消耗的供养食饵实物量的 2倍；d为捕食者离开食饵独立生存时I I:的死亡率二模型假设1. 假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；

3、2. 假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立精心整理食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为ri，即x rx，而 捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t)满足方程x (t) x(r ay) rx axy (1)比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t)满足y (t) y( d bx) dy bxy (2)比例系数b反映食饵对捕食者的供养

4、能力。方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。不考虑自身阻滞作用：数值解令 x(0)=x0,y(0)=0, 设 r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用 Matlab 求解求解如下1) 先建立M文件fun cti on xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x (2);2) 在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:15;>>x0=25,2;&

5、gt;>t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,>>ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,ans=精心整理省略>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>»>pause>>plot(x(:,1),x(:,2),grid,(可以猜测，x(t),y(t) 是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周 期为10.7，的最大最小值分

6、别为99.3 ,2.0 ,y的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t) 再一个周期的平均值为25, 10.)考虑阻滞作用前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作用，在上面(1)，(2)两式中加入Logistic项，即建立以下数学模型：x1x2x1(t)r1x1 1 寸 1N2 x1x2x2(t)r2x212N；四平衡点进行理论分析下面对(3)( 4)进行平衡点稳定性分析：由微分方程、令 f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡点：I J,I '4 2( 1 1) 2( 2 1) R(N1,0), P2(), P3(0,0)1

7、 1 2 1 1 2因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(XX2 0)才有意义，所以，对P2而言要求2>0。按照判断平衡点稳定性的方法计算：根据p等于主对角线元素之和的相反数，而q为其行列式的值，我们得到下表：平衡点稳定条件2 <12 >1精心整理不稳定五模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：1) 对PjNjO)而言，有p = fi 2( 2 1)，q=订2( 2 1)，故当2<1时，平衡点卩1的,0)是 稳定的。意义：如果R(N1,O)稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。2) 对 P2(N1(11),N2( 2 1)而言，有 p=1(11) r2( 2

8、 1)，q = r12(11)( 2 1)，故当1 12 1 12 1 1 2 1 1 22>1时，平衡点卩2( , N2( 2 1)是稳定的。1 1 2 1 1 2意义：如果P2(N1(11), N2( 2 1)稳定，则两物种恒稳发展，会互相依存生长下去。1 1 2 1 1 23) 对F3(0,0)而言，由于p1 a， q 兀，又有题知匚>0,2>0,故q<0,即R(N1,O)是不稳定的。六用MATLAB求解验证下面将进行MATLA软件求解此微分方程组中的xNt)、X2(t)的图形及相轨线图形。设 1 2，2 6，r1 1，r2 0.3，N13000 , N 2 400,使用 MATLAft件求1) 建立M文件fun cti ony=fun( t,x)2) 在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:20ts=省略>>x0=300060x0=300060>>t,x=ode45('fu n',0,20,3000,60) t=省略>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')图1.数值解x1 (t)， x2(t)的图形>>plot