Ch2轴向拉压8节2019材料力学-ppt课件

1、材 料 力 学第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩Ch2. Axial Tension Ch2. Axial Tension and Compressionand Compression作业作业:2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-41:2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-418 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题Statically Indeterminate Problem of Axial Forced BarsStatically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars.超静定问题及其解法超静定问

2、题及其解法.装配应力装配应力(assembly stress) 温度应力温度应力.综合问题综合问题8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题Statically Indeterminate Problem Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Barsof Axial Forced Bars超静定问题及其解法超静定问题及其解法 基本概念基本概念Conception: 静定问题静定问题SDP: 构造构造(杆件或杆系杆件或杆系)的内力和支反力仅用静的内力和支反力仅用静力学平衡条件就能力学平衡条件就能 唯一确定的问题。相应的结构叫静定唯一确定

3、的问题。相应的结构叫静定结构结构(SDS) 与之对应与之对应: 超静定问题超静定问题SIP:构造构造(杆件或杆系杆件或杆系)的内力和支反力仅用静的内力和支反力仅用静力学平衡条件不能唯一确定的问题。相应的结构叫超静力学平衡条件不能唯一确定的问题。相应的结构叫超静定结构定结构 (SIS) 实例实例:如图如图8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法 基本概念基本概念 由上可见,SIP的未知力个数(内力+未知反力)超过了独立的平衡方程的个数。其差值叫超静定次数阶数: the order of statical indeterminacy）。解SIP需补充一些方程才能

4、唯一确定未知力。这些补充方程一般是根据变形后,约束条件不被破坏来建立的。由于约束条件的限制,各杆件(or 杆件的各部分)之间的变形必存在一些联系变形协调条件(con-dition of displaced compatibility构件体系的变形协调原则:杆件不破坏,彼此不相分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影响结构形状的相对位移。),由此可建立相应的变形几何方程(geometrical equation of deformation) 在线弹性范围内，我们可由胡克定律将变形与杆件的内力联系起来，得到以内力为未知量的变形几何方程补充方程,然后与静力学平衡方程一起求解，即可求出结构的所

5、有未知力。8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法 思绪： 静力+变形几何+物理关系 物理关系即本构关系(Constitutive Relation) 实际弹性力学中方程的封闭性和解的唯一性定理和实践证明:无论超静定次数为多少，总能找到相应数量的补充方程来求解 。 （比较：流体基本方程的非封闭性）。8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法例例 图图(a)(a)所示为两端固定的所示为两端固定的钢杆钢杆, ,已知已知l1=1.0m,l2=0.5m,l1=1.0m,l2=0.5m,A=20cm2,P=300kN,E=200GPa

6、A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。试求钢杆各段应力和变形。试求钢杆各段应力和变形。解解1,1,列静力平衡方程列静力平衡方程 以整根杆为研究对象以整根杆为研究对象, ,画出受力图如图画出受力图如图(b),(b),静力平静力平衡方程为衡方程为 RA+RB=P (a) 2,建立补充方程 (杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长D l1,而CB段缩短D l2,杆两端固定总长不变,即 D l0 。因此,有: D l1|D l2| 这就是本例的几何方程。变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为:N1=RA, N2=RB(压) 。8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及

7、其解法超静定问题及其解法)(1111伸长EAlREAlNlA)(2222缩短EAlREAlNlB )(1003212 kNPPlllRA)(20032211kNPPlllRB)(501002010100311拉MPaARANA )(1001002010200322压MPaARANB )(25. 0102010200100 . 11010023331111伸长mmEAlREAlNlA)(25. 0102102500102003532222缩短mmEAlREAlNlB 由虎克定律式(3.18)求得各段变形为: 以上两式称为物理方程。将此代入式 D l1|D l2| 即得补充方程:RA+RB=P (

8、a)(b)联解(a),(b)两式,得:EAlREAlRBA21 3,求各段应力和变形(反力求出以后,就按静定问题求各段内力、应力和变形): 2,建立补充方程(原结构下端铰接于A点,受到P力作用变形之后仍应铰接于A点。作出A节点变位图(d)。由于结构的对称性,有:Dl1=Dl2 ,A点应在杆3的轴线上。根据变位图,几何方程为: Dl1=Dl3cosa (b)物理方程为: 8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法例例: :图图(a)(a)所示三杆铰接组成的结构所示三杆铰接组成的结构, ,1,21,2两杆横截面刚度为两杆横截面刚度为E1A1,3E1A1,3杆为杆为

9、E3A3E3A3。求在。求在P P力作用下三杆的内力。力作用下三杆的内力。解解:1,:1,列静力平衡方程列静力平衡方程( (取节点取节点A A为研为研究对象究对象( (图图(c),(c),其静力平衡方程为其静力平衡方程为: :N1=N2 2N1cosa+N3=P (a)N1=N2 2N1cosa+N3=P (a) 未知力有三个未知力有三个, ,而平衡条件只而平衡条件只有两个有两个, ,故为一次超静定结构故为一次超静定结构, ,需建需建立一个补充方程。立一个补充方程。)cos(cos2cos2)cos(21133333121111121AEAEPlAElAElAEPNN1)cos2(cos2)(

10、3331133312113333 AEAEPlAElAElAEPN 由前述超静定问题的解法及例题可见，在综合应用变形的几何方面、变形与力之间的物理方面以及静力学方面来解超静定问题时，根据问题的变形相容条件写出变形几何方程几何方面），并通过胡克定律物理方面而得到补充方程，这是整个解题步骤中的主要环节。抓住了这一环，超静定问题就迎刃而解了。(c) 将式(c)代入式(b),得补充方程:3333311111AElNlAElNl cos33331111AElNAElN 联立求解式(a)和(d),并注意到l1cosa =l3得: 结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见:在超静定杆系问题中

11、,各杆轴力与该杆本身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆,其轴力也越大。这是超静定结构的一个特性。(d)2 28 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法 coscos)(0231PNNNX sinsin)(031PNNY332211,DDlDDlDDltgllFGDFDG21sin sin32ltglEDGEDG 例例: :桁架如图所示桁架如图所示, ,由三根抗拉压刚度均为由三根抗拉压刚度均为EAEA的的杆杆 ADAD、BDBD和和CDCD在在D D点铰接而成。试求点铰接而成。试求:1,:1,在力在力作用下各杆的内力。作用下各杆的内力。解解:1,:1,计算

12、计算P P力作用下三杆的内力力作用下三杆的内力(1)(2)(1)作节点的受力图 用截面将AD、BD及CD杆截开,取节点部分为考察对象,并设三杆轴力为N1、N2及N3且均为拉力,如受力图所示。则平衡条件为: 可见仅有二个独立的平衡方程,但包含三个未知量,故为一次静不定问题。(2)作变形位移图 因为各杆轴力均设为拉力,故均产生伸长变形: 过D1、D2及D3各点作各杆垂直线,相交于D点(如位移图所示)。在位移图中过D点作铅垂线,延长D1D及DD3与此铅垂线交于F、E点,由几何关系可得:8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法若b=90o,则有:) 1 (cosco

13、s)(0231 PNNNX)2(sinsin)(031 PNNYtgllFGDFDG21sin sin32ltglEDGEDG cos2231lll coscos333333222222111111EAlNAElNlEAlNAElNlEAlNAElNl 2231cos2NNN )6(sinsincos21coscos22cos21cossinsincos21coscos2232332321 PNPNPNPNPNN323231cos211cos21cos 0sin2231 NPNN比较上面二式，得变形协调条件为:(3)物理关系为:将此式代入变形协调条件,得补充方程:(3)联解平衡方程式(1)、(

14、2)及补充方程式(3),得:讨论:若b=0,则有:8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题超静定问题及其解法超静定问题及其解法 也可以选取结构的节点位移作为基本未知量首先求出,再求内力和应力。这种以位移作为基本未知量的方法称为位移法。位移法在现代结构分析中有广泛的应用,具有方法规范,便于编制结构通用计算机程序的特点。 在结构分析中,以内力作为基本未知量的方法称为力法。即先求出内力,进而求应力和变形。8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题 .装配应力装配应力(assembly (assembly stress) stress) 温度应力温度应力 一，装配应力一，装配应力(Assembly St

15、ress): 预应力预应力Prestress 预应变效应预应变效应Prestrain Effect SDS因杆件尺寸误差因杆件尺寸误差,会使结构空间形状与会使结构空间形状与原设计相比发生偏差。但不会产生内力原设计相比发生偏差。但不会产生内力(不会不会引起各杆的变形引起各杆的变形)。 SIS因杆件尺寸误差因杆件尺寸误差,不仅会使空间结构、不仅会使空间结构、形状与原设计相比发生偏差。而且会产生内形状与原设计相比发生偏差。而且会产生内力力(引起各杆的变形引起各杆的变形,相应的应力叫装配应力相应的应力叫装配应力)。 即即: SDS的杆件尺寸误差的杆件尺寸误差各杆的刚体位移各杆的刚体位移 引起引起 SI

16、S的杆件尺寸误差的杆件尺寸误差各杆的刚体位移各杆的刚体位移+变形位移变形位移 8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题 .装配应力装配应力 温度应力温度应力解解: :由于中间杆短了由于中间杆短了D,D,为装配在一起为装配在一起, ,显然显然,2,2杆要拉长一些杆要拉长一些, ,而而1 1、3 3杆则要缩短一些杆则要缩短一些, ,图中实线为装配前的情况图中实线为装配前的情况, ,虚线为装配在一起虚线为装配在一起时的情况。时的情况。 设设1 1、3 3杆缩短杆缩短Dl1Dl1及及Dl3 Dl3 ，2 2杆伸长杆伸长Dl2 Dl2 ，此时，此时1 1、3 3杆杆的轴力的轴力N1N1及及N3N3为压力

17、，为压力，2 2杆轴力杆轴力N2N2为拉力，为拉力，例例: :桁架如图所示桁架如图所示, ,由三根抗拉压刚度均为由三根抗拉压刚度均为EAEA的杆的杆ADAD、BDBD和和CDCD在在D D点铰点铰接而成。试求接而成。试求: 2,: 2,由于中间杆由于中间杆BDBD短了短了D D而引起的各杆内力。而引起的各杆内力。 cos|1231llllEAlNAElNlEAlNAElNll2222221111131cos lEANN 212cos)10(cos21cos2|cos21cos3323231 lEANlEANN 1 l12 l3 3 l2 由受力图可得平衡条件为: 由变形图得变形协调关系为:物理

18、关系为:得补充方程: 解 得 的 结 果 都 为 正 值 ,说 明 与 所 设 方向 相 符 ,即 杆 1、 杆 3受 压 ,而 杆 受 拉 .联解平衡方程和补充方程得:23131cos)(NNNNN 杆件的伸长（T0OR缩短（T0)变形。在SDS中，与(28.一,)类似,只引起结构的变温位移。但在SIS中,与(28.一,)类似,会引起结构的变温位移和内力-变形位移。8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题 .装配应力装配应力 温度应力温度应力TNT 一一,装配应力装配应力(Assembly Stress): 由于装配应力是在由于装配应力是在SIS受载之前就已存在构件内受载之前就已存在构件内的

19、的,因此可称为预应力因此可称为预应力(Prestress)。它对某些构件会。它对某些构件会产生不利影响产生不利影响(减低承载力减低承载力),而对某些构件又可能产而对某些构件又可能产生有利效应生有利效应(提高承载力提高承载力)。二二,温度应力温度应力Thermal Stress(变温应力变温应力):T在杆内均匀变化在杆内均匀变化=tt热应力OR变温应力8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题 .装配应力装配应力 温度应力温度应力 二二, ,变变温应力温应力 附注：由轴向受力杆的内力N求应力的过程实质上也是解超静定问题的过程。( 0时为压)t.Nt. .lNtEAANtEttl tltl tNlE

20、AA,E,例:ABll t初应力0= + t P、T、d共同存在的SIP:解法1. 直接求解;解法2. 叠加法:=P +T +d解解:3,:3,计算由温度升高计算由温度升高D D而引起的温度应力而引起的温度应力( (若温度升高若温度升高D D,D,D节点位移至节点位移至DD点点( (如右图如右图),),8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题 .装配应力装配应力 温度应力温度应力 联立式(13)、(7)解得各杆横截面上的轴力、正应力为:)7(cos)(|23131NNNNN )14()(cos21cossin2|)(cos21sin3223231拉压 TEANTEANN例例: :桁架如图所示桁

21、架如图所示, ,由三根抗拉压刚度均为由三根抗拉压刚度均为EAEA的杆的杆ADAD、BDBD和和CDCD在在D D点点铰接而成。试求铰接而成。试求: 3,: 3,由于温度升高由于温度升高DTDT而引起的温度应力。而引起的温度应力。设N1、N3为压力,N2为拉力,则平衡条件仍为:由右图f得变形协调关系为:)11(cos231lll 物理关系:杆件变形包括荷载引起的弹性变形和温度引起的热变形。即:式中a为线膨胀系数；等式右边第二项之符号按轴力为拉、压而定。将式(12)代入式(11)得补充方程:)12(|333322221111EAlNTllEAlNTllEAlNTll )13()cos1 (cos2

22、221 TEANN 可见可见, ,变温应力一般与变温应力一般与杆件的横截面面积无关杆件的横截面面积无关! !)(cos21cossin2|)(cos21sin322232131拉压 TEANTEAN8 8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题 .综合问题综合问题4,讨论 试求在P、Dd、DT三种因素共同作用下,图示三杆的内力。 因为在弹性小变形情况下,可应用叠加原理,所以杆件的内力是三种因素分别引起的内力的代数和(拉力为正,压力为负)。叠加式(6)、(10)、(14)得:)6(sinsincos21coscos22cos21cossinsincos21coscos2232332321 PNPNPN)10()(cos21cos2|)(cos21cos3323231拉压 lEANlEANN)14()(cos21cossin2|)(cos21sin3223231拉压 TEANTEANN TEAlEAPNTEAlEAPNTEAlEAPN32323233233323232321cos21sincos21cossinsincos21coscos22cos21cossin2cos21cos2cos21coscos21sincos21cossinsincos21