含绝对值的不等式知识点

1、1.绝对值的意义是:x(x 0)x(x 0)含绝对值的不等式2. | x | < a(a>0)的解集是 x | av xv a.I x | > a( a>0)的解集是 x | xv a 或 x>a.【思考导学】1 . | ax+ b| v b(b>0)转化成一bv ax+bv b的根据是什么答：含绝对值白不等式| ax+ b| <b转化b< ax+ bv b的根据是由绝对值的意义确定.2 .解含有绝对值符号的不等式的根本思想是什么答：解含有绝对值符号的不等式的根本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不 等式,而后,其解法就与解一

2、般不等式或不等式组相同.【典例剖析】例1解不等式2V | 2x-5 | & 7.解法一：原不等式等价于|2x 5| 2|2x 5| 7.2x 5|2 或 2x 57 2x 5| 77 一或x21 x 6,原不等式的解集为 x 1 1Wxv 0或点评：这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外向“里 方法,去掉绝对值的符号,逐次化解.【随堂练习】1 .不等式|8 3x| >0的解集是A.B . R vxW622解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(I)2x 52 2x(n)2x 5 02 5 2x不等式组(I )的解集为 x I 7<x<62不等式组(n)的

3、解集是 x | - 1<x< - 2,原不等式的解集是 x 1 1Wxv 0或7 vxW622解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集.(I )2 < 2x-5< 7(n)2 V 5-2x< 7不等式(I )的解集为 x | -<x<623不等式(n )的解集是 x | - 1<x< -2,原不等式的解集是 x 1 1Wxv °或7 vxW6.22点评：含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.例2解关于x的不等式：（1） I 2x+3 |

4、 1<a(a R)；（2） | 2x+ 1 | > x+ 1 .解：1原不等式可化为I 2x+3|va+1当a+1 >0,即a>1时,由原不等式得一 a+1 v 2x+3va+1a 4 a 2-v x<当a+1w0,即aw 1时,原不等式的解集为<x<综上,当a>- 1时,原不等式的解集是 x当aw 1时,原不等式的解集是2原不等式可化为下面两个不等式组来解(I)2x2xx 12x 1 0 (2x 1)不等式组I的解为x>02不等式组n的解为x<- 23,原不等式的解集为,2x | x<-或 x>03点评：由于无论x取何值

5、,关于x的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0,故I f x I < aa< 0的解集为.解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如(2).例3解不等式| x |2 x+ 1| > 1.解：二.由 |x|2x+1| >1 等价于(x|2x+1|) >1 或 x|2x+1|v1(1)由 x |2 x+ 1| > 1 得 |2 x+ 1| vx 12x 1 0 32x 1 0 或2x 1 x 1(2x 1) x 111x_.x_ .即2或2均无解x 2 x 0(2)由 x |

6、2 x+ 1| v 1 得|2 x+ 1| >x+ 12x 1 0- 2x 1 0或,反复应用解答绝对值根本不等式类型的2x 1 x 1(2x 1) x 1答案：C2.以下不等式中,解集为 R的是A. | x+2 | > 1 B . | x+2 | + 1 >1C. x- 782>- 1 D . x+782-1>0答案：C3 .在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是A. x | - 2<x< 2B. x I 0<x<2C. x I 2<x<2D. x | x > 2 或 x w 2解析：所求点的集合即不等式Ix |

7、< 2的解集.答案：C4 .不等式| 12*|<3的解集是A. x | x< 1B. x | - 1<x< 2C. x | x>2D. x | xv 1 或 x>2解析： 由 I 1 2x|v3 得3v2x 1v3, 1vxv 2答案：B5 .不等式| x + 4 | > 9的解集是 .解析： 由原不等式得 x+ 4>9或x+4v 9,x> 5或xv13答案： x x>5 或 xv136 .当a>0时,关于x的不等式| b ax | < a的解集是. 解析： 由原不等式得I ax b I v a,一 aaxbvab-

8、1<x<b+1b -1<x< b + 1 aa答案： x| b - 1< x< + 1 aa【强化练习】1 .不等式I x+a | v 1的解集是A. x | 1 + avxv 1+ aB. x | - 1 -a<x< 1- aC. x| 1 I alx<1 I a I D. x|x<1 I al 或 x>1 |a|解析： 由 I x+ a | < 1 得一1 vx+ a< 1答案：B2 .不等式1 w | x 3 | w 6的解集是A. x | 3<x<2 或 4<x<9B. x | 3&l

9、t;x<9C. x | 1<x<2D. x | 4<x<9解析:不等式等价于x 3 03 x 3 0或1x3613x6解得：4WxW9 或3<x<2. 答案：A3 .以下不等式中,解集为 x | x< 1或x>3的不等式是A. | x-2 | >5B. | 2x 4 | > 3C. 1 - | - - 1 | < 122D. 1 | x-1 < 122解析： A中,由 | x-2 | > 5得 x2>5或 x2v 5x> 7 或 x< 3同理,B的解集为 x | x> 7或xv 12C的

10、解集为 x | xw 1或x> 3D的解集为 x | xv 1或x> 3答案：D4.集合 A= x| x-1|<2 , B= x| x-1| >1,那么 An B等于A. x| - 1 <x< 3B. x| xv 0 或 x>3C. x| -1<x< 0D. x| 1 vxv 0 或 2vx<3解析：| x 1| V 2 的解为一1 vxv 3, | x- 1| >1 的解为 x<0 或 x>2.An B= x| 1 v xv 0 或 2v x v 3.答案：D5.不等式 I x -2 | < aa>0的

11、解集是 x | 1 vxv b,那么 a+ 2b= 解析： 不等式I x-2 | < a的解集为 x I 2-a< x<2+a由题意知：x| 2 avxv2+a = x| 1vxvb2 a 1 a 32 a c c 5. a+ 2b=3+2X5=13答案：136 .不等式|x+2| >x+2的解集是.解析：:当 x+2>0 时,|x+2| =x+2, x+2>x+2 无解.当 x+2<0 时,|x+2| =(x+2) >0>x+ 2当 xv 2 时,| x + 2 | >x+2答案： x | xv 27 .解以下不等式：(1)|2 3

12、x| W2; (2)|3 x-2| >2.解：(1)由原不等式得一2<2-3x<2,各加上一2得一4W 3xW0,各除以一3得f >x>0,解集为x|03一 一 4、 v xw .3(2)由原不等式得3x-2<- 2或3x2>2,解得x<0x>4,故解集为 "|*<0或*>£.338 .解以下不等式：(1)3 w |x2| <9; (2)|3 x-4| >1 + 2x.解：(1)原不等式等价于不等式组由得xW 1或x>5;由得一7vxv 11,把、的解表示在数轴上(如图),原不等式的解集为x

13、| 7vxw 1或5W xv 11.(2)原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：D 3x 4 0, 3x 4 °3x 4 1 2x;(3x 4) 1 2x.3由不等式组解得 x>5;由不等式组解得 x<3.5,原不等式的解集为x| x< 3或x>5.59 .设A= x | | 2x-1 | < 3, B= x | |x+2 | < 1,求集合 M使其同时满足以下三个条件：(1) M (AU E)nz】；(2) M中有三个元素；(3) MA Bw解：: A= x | | 2x- 1 | <3 = x |

14、- 1<x< 2B= x | | x+2 | < 1 = x | - 3<x<- 1M (AU B) AZ = x | 1 wxw 2 U x| 3vxv 1n Z= x | - 3<x<2n Z=1, 0,1, 2又 MP Bw, . 一 2C M又M中有三个元素同时满足三个条件的 M为： 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 1 , 2.【学后反思】解绝对值不等式,关键在于“转化.根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次不等式(组)I x | v a与| x | > a(a>0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集.2,一7)：不等式| x | va(a>0)的解集是x | avxva.其解集在数轴上表示为(见图1 -不等式| x | > a(a>0)的解集是 x | x&g