年高三数学第二轮复习-高中数学知识点汇总(学生用)

1、2009-2010年高三数学第二轮复习高中数学知识点汇总一、集合与命题1考纲要点：集合的表示方法、子集（真子集）、集合相等；集合的交、并、补运算；命题的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）及其相互之间的关系；充要条件。2注意点：（1）集合的表示法中代表元素要看清，注意空集对问题结论的影响；（2）要熟练地掌握集合的交、并、补运算；（3）弄清充要条件的相关概念。3填空：（1）元素与集合的关系： 。（2）子集与真子集的定义: 。（3）两个集合的交集、并集、补集的定义：。（4）集合的子集个数为 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集有 个。（5）四种命题的相互关系：如果原命题为：若A，

2、则B。则逆命题为；否命题为；逆否命题为；其中等价。（6）充要条件充分条件：若，则是的 条件. 是的 条件。必要条件：若，则是的 条件. 是的 条件。充要条件：若，且，则是的 条件。是的充分不必要条件等价于的 条件是。4精选例题例1（1）（06高考题）已知集合A1，3，21，集合B3，若BA，则实数。（2）已知，则（ ）(A) (B) (C) (D) （3）已知，则“”是“恒成立”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）设集合，那么“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）

3、已知非零向量，则是与垂直的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件二、不等式1重点内容：不等式的性质、基本不等式、不等式解法、不等式的证明及不等式的应用问题；2注意点：（1）利用不等式的性质，两边同乘以一个含未知数的式子时，要注意不等号的方向；（2）用基本不等式求最值时，要注意不等式的适应范围及等号成立的条件；（3）特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于填空、选择题。3填空：（1）若，则，当且仅当时取等号；若，则，当且仅当时取等号。（2）若，则，。 （3）若均为正数，则的在小关系为。（4）设，则（当且仅当 时取等号）（5）（

4、当且仅当 时取等号）；（当且仅当 时取等号）（6）； 。（7）作差比较法证明不等式：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。*（8）已知不等式的解集为，则。（5）若，则 ； ；（6）与 同解与 同解（7）分式不等式的解法：通常变形为整式不等式。 ； ； ； 。例2（1）若关于的不等式的解集是，则对实数的取值范围为。（2）不等式 的解集为，那么的值等于_。（3）下列函数中，最小值为4的是 （ ）（A

5、） （B）（C） （D）（4）已知不等式，对任意恒成立，则a的取值范围为（ ） （A）（B）（C）（1，5）（D）（2，5）例3已知按A设计方案，建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分造价组成，若建造一栋面积为的房子，地面部分的造价，基础部分的造价（其中为正实数），又知按A设计方案建造一栋面积为1600元，且地面部分的造价是基础部分的36。求：（1）求 （2）现要按A设计方案，建造总面积为40000的住房若干栋，试问：建造多少栋可使其总造价最少？三、复数1重点知识：复数的代数表示形式、复数的运算、实系数一元二次方程。2注意点：（1）当时，不成立；（2）对于复系数的一元二次方程，判别式不

6、成立；（3）实系数一元二次方程的二根不一定是共轭虚数，只有当时才成立。3填空：（1）复数是实数的充要条件为；（2）；。（3）如果，则，是命题（填真、假）。（4）方程的解为。（5）复数在复平面上对应的点位于。例4（1）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 。（2）已知，且为虚数单位，则的最小值是( ) （A）. （B）. （C）. （D）.（3）在复数范围内下列各个结论中正确的是（ ）（A）若，则 （B）若，则且（C） （D） 是纯虚数或零（4）已知为复数，给出下列四个命题：若，则或是纯虚数；若，则或；若，则或；若，且，则且。上述命题中假命题的个数是 （ ）(A)4. (B)3. (C)2 .

7、(D)1（5）若是方程的两个根，则_。例5已知一元二次方程（）（1）若是方程的解，求的值；（2）若、是方程的两个虚根，且，求的取值范围。 四、函数1重点内容：函数定义域、值域、最大值与最小值；函数的图象；反函数的相关内容；函数的奇偶性与单调性；函数的周期性；指、对数函数的图象与性质；2注意点：（1）求函数表达式时，要考虑定义域；给定范围的二次函数求最值时，要注意讨论；（2）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数，求函数反函数时，要标出反函数的定义域；（3）函数的图象与其反函数的图

8、象关于直线对称这一结论十分重要；。（4）设的定义域为A，值域为B，则有，。（5）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（6）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，；（7）复合函数单调性的特点是同增异减，求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不要用集合或不等式表示。3填空：（1）定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：(i)在给定区间的子区间I（形如，）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是 ；(i

9、i)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是 ；(iii)处理恒成立问题的方法：。（2）叙述函数单调性的定义：。（3）如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数是 函数；如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是 函数。（4）叙述奇函数与偶函数的定义及图象特征定义：；性质：奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 函数；如果一个函数图象关于轴对称，那么这个函数是 函数。（5）对于函数(),恒成立,则函数的对称轴方程为。（7）函数与函数的图象关于直线 对称。（8）若将函数的图象右移、上移个单位，

10、得到函数 的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线 的图象。(9)指数函数、对数函数,余弦函数,正弦函数的图象与性质： 。（10）几个函数方程的周期(约定)（i），则的周期 ；（ii）或或,则 的周期 。（11）指数式与对数式的互化式： 。（12）对数的换底公式： 。（13）对数的四则运算法则： 。 （14）函数，的单调递增区间为；单调递减区间为。（15）形如的图像是双曲线，其两渐近线方程为；对称中心是；单调区间为例6（1）设函数，则_.ABCDP图（1）yx1449O图（2）（2）直角梯形ABCD如图（1），动点P从B点出发，由沿边运动，设点P运动的路程为x，的面积为如果函数的图象如

11、图（2），则的面积为（3）已知函数的定义域为R，当时，且对任意的实数R，等式成立若数列满足，且(N*)，则的值为 。（4）函数的反函数是（ ）(A) (B)(x) (C) (x (D) (x（5）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是 （ ）（A） （B） （C） （D） （6）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）（A）（B） （C）（D）（7）已知函数是以2为周期的偶函数，当时，那么在区间-1，3内，关于的方程的根的个数（ ）（A）不可能有三个（B）最少有一个，最多有四个（C）最少有一个，最多有三个（D）最少有两个，最多有四个例7已知是定义在R上的奇函数，当（）求的解析式； （

12、）当时，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；（）如果函数是区间上的单调递增函数，求的取值范围。五、三角比与三角函数1知识要点：角度制与弧度制任意角的概念；诱导公式与同角三角比的关系式；三角恒等式（两角和与差、两倍角、半角、万能公式）；正弦定理、余弦定理；三角函数的图象与性质。2填空：（1）终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为。（2）与角终边相同的角的集合为。（3）三角函数的定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin= ， csc= ，cos= ， sec= ， tan= ， cot= 。（4）弧长计算公式与

13、扇形面积计算公式：。（5）同角三角函数基本关系式：平方关系是： ， ， ；倒数关系是： ， ， ；商数关系是： ， 。（6）诱导公式：可用十字口诀概括为： 。如： ，= ， 。（7）三角恒等式：两角和与差的三角函数公式： 二倍角公式：sin2= cos2= = = tan2= 。半角公式是：sin= ；cos= ；tan= = = 。升幂与降幂公式： 。 。万能公式：sin= cos= tan= 。辅助角公式： （其中辅助角与点在同一象限，且）。（8）三角函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象和性质可归纳为下表：三角函数图象定义域值域最值奇偶性周期性有界性单调性对称性函数的最大值是 ，最小

14、值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 。函数是奇函数的充要条件是，是偶函数的充要条件是；函数是偶函数的充要条件是，是奇函数的充要条件是；（3）函数的对称中心的横坐标为，对称轴方程为。（9）反三角函数的定义：反正弦函数：；反余弦函数：；反正切函数：。（10）与三角形有关的几个重要结论：正弦定理： ；余弦定理： ；三角形面积计算公式：。在ABC 中： 。例8（1）方程在区间内的解是 。（2）已知，求的值。（3）函数的最小正周期 。（4）如果，且是第四象限的角，那么 。（5）已知，则。（6）函数图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A） （B） （C） （D）（7）把函数的图象左平移个单位，所得

15、曲线的一部分如图所示，则的值分别是（ ）（A）1， （B）1， （C）2， （D）（8）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）（A）（B）（C）（D）例9已知在中，所对的边分别为，若且()求角A、B、C的大小；()设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。六、数列1知识要点：（1）数列的前项的和与通项之间的关系；（2）等差数列与等比数列的通项公式；（3）等差数列与等比数列的前项的计算公式；（4）递推数列；（5）数列极限；（6）数学归纳法。2注意点：（1）等比数列前项和的计算公式要分

16、公比和公比记忆；（2）用求数列的通项公式时，必须注意到的特殊情形；（3）有极限时，则或，在求数列的极限时，要注意到时，这种特例。3填空：（1）等差数列的定义：；等比数列的定义：。（2）等差数列的通项公式为；等比数列的通项公式为。（3）等差数列前n项和的计算公式为；等比数列前n项的和公式为。（4）无穷等比数列当公式比的绝对值小于1时，它的前项和的极限存在，这个极限值叫做无穷等比数列各项的和，记作，则。 （5）等差数列的主要性质： 等比数列的主要性质：。4程序框图。例10（1）已知无穷数列前项和，则数列的各项和为 。（2）已知；（是正整数），令，. 某人用右图分析得到恒等式：，则 。（3）设是定义

17、在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是（）（A）若成立，则当时，均有成立（B）若成立，则当时，均有成立（C）若成立，则当时，均有成立 （D）若成立，则当时，均有成立 （4）设；（5）数列满足,则=_。（6）已知程序框图如下：则上述程序运行的结果为。例11已知数列中，且（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项例12在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列。（1） 判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右上方.

18、任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为点列，正整数满足，求证：。七、排列、组合、二项式定理1知识要点：（1）两个基本原理；（2）排列与排列数；（3）组合与组合数；（4）排列组合应用题；（5）二项式定理(展开式)、二项展开式通项。2注意点：（1）解排列组合问题的解题原则是：先取后排，特殊元素优先考虑；（2）相邻问题捆绑法，间隔问题插空法；（3）要分清是排列问题还是组合问题，只要交换两个元素的顺序解不变是组合问题，如果解改变则是排列问题；（4）解决排列组合问题不要忘记穷举；分组问题一定要看是否是均匀分组等，正难则反的策略运用，不重不漏。3填空：（

19、1）排列数公式：= (，N*，且)。注:规定。（2） 。（3）组合数公式：= (N*，且)。（4）组合数的两个性质(i)= ;(ii) += ；注:规定。（5）组合数恒等式：； =； ； ；。（6）排列数与组合数的关系： 。(7)（理）二项式定理：，它的第r+1项的二项式系数为；展开式共有项，其中第r+l项为。例13（1）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有；（2）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法有 种。（3）（理）的展开式中项的系数是_。（用数字作答）（4）的二项展开式

20、中的系数为 （用数字作答）。八、古典概型、独立事件积的概率、数学期望（理）、统计初步。1知识要点：古典概型的概率计算公式、与统计相关的几个概念、数学期望。2填空（1）必然事件的概率为 P(A)=，不可能事件的概率为P(A)=。（2）等可能事件的概率： P(A)=，这里m、的意义分别为。（3）所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，样本中所有个体的平均数叫做样本平均数（4）总体中位数 将总体中各个个体的取值按照由小到大的顺序依次排列，当N为奇数时，位于该数列正中位置

21、的数称为总体中位数；当N为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平均数称为总体中位数。（5）样本平均数 随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数=（6）总体方差 叫做这组数据的方差 =-2（7）总体标准差 =（8）样本方差 叫做这组数据的样本方差（9）样本标准差 =注意：方差越小，表示总体中各个体的取值比较接近，差距不大；方差越大，表示总体中各个体的取值比较分散，差距较大。（10）数学期望（i）随机变量分布律的性质：（ii）分布律：P（）数学期望：方差：标准差：；性质：。例14（1）从编号为1,2,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）

22、(A)(B)(C)(D)（2）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示） （3）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人例15一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球。从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。求：（）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（）袋

23、中白球的个数。 例16甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. （）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）（理）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列和数学期望。九、解析几何1知识要点：（1）直线的倾斜角与斜率；（2）直线方程（两直线的位置关系、点到直线的距离、两直线的夹角计算公式）；（3）圆的标准方程和一般方程；（4）椭圆的定义、标准方程和主要性质；（5）双曲线的定义、标准方程和主要性质；（6）抛物线的定义、标准方程和主要性质；（7）直线和圆锥曲线的位置关系的讨论；（8）曲

24、线的参数方程和极坐标方程（理）；（9）线性规划（文）；（10）对称问题的处理方法。2注意点：（1）如选用点斜式和斜截式作为直线方程时，要注意斜率不存在的情况，选用截距式时要注意直线与坐标轴平行及直线经过原点时的特殊情况；如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉这一解；经过点P(1，2)，在两个坐标轴上的截矩相等的直线有几条？如果用截矩式只能求出一条，另外通过原点的一条直线y=kx在两条坐标轴上的截矩都是0，也是截矩相等，它容易被遗忘。本题有两个解x+y-3=0和y=2x。（2）利用圆锥曲线与直线方程联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数

25、是否为零？判别式的限制。（求交点、弦长、中点、斜率、对称，存在性问题都在下进行）。另外在使用“点差法”时，千万不要忘记验证判别式。例如：双曲线中，被点(2，1)平分的弦的所在直线方程是（ ）(A)8x-9y-7=0 (B)8x+9y-25=0 (C)4x-9y-6=0 (D)不存在，如果用“点差法”获得8x-9y-7=0，再演算判别式发现，所以选择（D）；（3）在解答直线与圆的位置关系时，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。（4）直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。3填空：（1）直线的倾斜角为；（2）已知，是直线上的两个不同点，则；（3）过点且与圆相切的直线方程为；（4

26、）两条直线的平行和垂直 两直线平行的充要条件是： 两直线垂直的充要条件是： （5）夹角公式： （6）四种常用直线系方程(i)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为 (除直线),其中是待定的系数；经过定点的直线系方程为 ,其中是待定的系数；(ii)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为 (除)，其中是待定的系数。(iii)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是 ()，是参变量。(iv)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是 ，是参变量。（7）点到直线的距离： (点，直线：).（8）圆的方程(i)圆的标准方程 。(ii)

27、圆的一般方程 。(iii)圆的参数方程 。（9）点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：若，则 ； ； 。（10）直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种:；。其中。（11）圆的切线方程：已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 .当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线。（12）椭圆的焦点坐标为；（13）双曲线方程为的渐近线方程： ；（14）渐近线方程为双曲线可设为 ；（15）若双曲线与有公共渐近线，则双曲线方程可设为 ；（16）抛物线上的点到其焦点的距离为。过抛物线焦点的弦长为 。（1

28、6）二次函数的图象是抛物线：（i）顶点坐标为 ；（ii）焦点的坐标为 ；（iii）准线方程是 。（17）直线与圆锥曲线相交的弦长公式为 。（端点A， 为直线的倾斜角，为直线的斜率）例17（1）直角坐标平面中，定点与动点满足，则点的轨迹方程是_。（2）（理）参数方程（为参数方程）所表示的曲线的焦点的直角坐标是 ；（文）若、满足不等式组，则目标函数的最大值是 ；（3）若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为。（4）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则_。（5）若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是。（6）若抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标为。（7）（理）经过点A

29、，（），且与极轴正方向夹角为的直线的极坐标方程为 ；（8）已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点。如果延长到，使得=，那么动点的轨迹方程为（9）以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_。（10）已知、，从点射出的光线经直线反向后再 射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是。（11）已知直线某学生作了如下变形：由消去后得到形如的方程，当时，该方程有一解；当时，恒成立.假设学生的演算过程是正确的，则实数的取值范围为。（12）已知曲线方程为，圆方程为，斜率为直线与圆相切，切点为，直线与曲线相交于点，则直线AB的斜率为。例18已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面

30、上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD、AE，且AD、AE的斜率=2，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论。例19已知向量，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中为坐标原点，为非负实数。（I）求动点的轨迹方程；（）若将曲线向左平移一个单位，得曲线，试判断曲线为何种类型；（）若（）中曲线为椭圆，当是曲线的两个焦点时，则曲线上恒存在点，使得成立,求实数的取值范围。九、空间图形1知识要点：平面的基本性质（三条公理与公理三的三个推论）；空间线面位置关系的讨论；异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角（理）的计算；棱柱与棱锥的体积计算

31、公式；圆柱、圆锥、球相关概念。2注意点：（1）在用反三角函数表示直线与平面所成的角、两条异面直线所成的角等时，必须注意到它们各自的取值范围。异面直线所成角的范围为、直线与平面所成角的范围为 ；（2）如证明直线与平面平行时，一定要说明直线在平面外；（3）用向量求解立几问题时，要合理选用坐标系，正确地写出相关点的坐标。3填空：（1）异面直线所成角的定义。计算方法有。（2）直线与平面所成的角的定义计算方法有（3）二面角及其平面角的定义。（4）点到平面的距离的计算方法有。（5）正棱柱的定义和性质。（6）正棱锥的定义的性质。（7）一般棱锥的性质。 （8）棱柱与棱锥的体积计算公式。例20（1）给出下面四个

32、命题：“直线为异面直线”的充分非必要条件是：直线不相交；“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l平面；“直线”的充分非必要条件是“垂直于在平面内的射影”；“直线平面”的必要非充分条件是“直线至少平行于平面内的一条直线”其中正确命题的个数是（）B（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（2）设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为（D）（A） （B） （C） （D）（3）如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为，放入一球后，水面恰好与球相切，则球的半径为 （用表示）（4）（文）一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 。主视图俯视图左视图例21如图，在三棱