D1-10闭区间上连续函数性质;第一章小结ppt课件

1、 p pd ds sg ga ao os sh hu u 1 16 63 3. .c co om m密密码码：g ga ao od de en ng gs sh hu ux xu ue e有有一一些些资资料料，如如：重重要要教教案案，复复习习资资料料等等，还还可可以以作作为为师师生生交交流流的的一一个个平平台台. .管管理理员员：全全焕焕. .其其他他同同学学不不要要删删除除重重要要的的资资料料 请请高高等等数数学学公公共共信信大大家家配配合合箱箱：，谢谢谢谢！1:和和差差化化三三函函数数的的积积角角公公式式(1)sinsin2sincos22 (2)sinsin2cossin22 (3)co

2、scos2coscos22 (4)coscos2sinsin22 积积化化和和差差公公式式：1(5)sincossin()sin()2 1(7)coscoscos()cos()2 1(6)cossinsin()sin()2 1(8)sinsincos()cos()2 2lim56:12 sin(6)2nnnxP 求求 解：解：lim2 sin2nnnx sin2lim2nnnxx sin2lim2nnnxxx 1. 纠正作业纠正作业lim2 sinlim2limsin22nnnnnnnxx 解解： 解：解：lim2 sin2nnnx . x lim22nnnx 解：解：lim2 sin2nnn

3、x . x lim2lim02nnnnx sin22nnxxn 时时31li56:2(m(1()4kxxPkx 求求为为正正整整数数 ()11lim(1)lim1 ()kxkxxxxx 解解：1lim 1()kxxx 1lim1()kxxx ke 0sin()60:4(lim(,)(sin2)nmxnxPxm 求求为为正正整整数数00sin()limlim(sin )nnmmxxxxxx 解解：0limnmxx 00 0lim1 0 0 xx 0 1 nmnmnm 40lim( );xxf x但但不不存存在在0(2),xx 虽虽在在有有定定义义0(1)( )yf xx 函函数数在在 的的某某邻

4、邻域域内内有有定定义义，复习复习01.( )f xx函函数数在在处处连连续续的的定定义义0( )f xx函函数数在在 处处连连续续满满足足下下面面三三个个条条件件： 0();f x即即存存在在0(2)lim( )xxf x存存在在；00(3)lim( )().xxf xf x 000()()()f xf xf x 0000lim( )()im0( )lxxxf xf xf xxy 在在 处处连连续续0( )yf xx 函函数数在在 的的某某邻邻域域内内有有定定义义，则则2.函数的间断点函数的间断点( ):f x如如果果函函数数有有下下三三种种情情形形之之一一列列00(1)( )yf xxxx

5、函函数数在在 的的某某邻邻域域内内有有定定义义, ,在在处处无无定定义义；00(3),lim( ),xxxxf x 虽虽在在有有定定义义 且且存存在在00lim( )().xxf xf x 但但0,( )f xx则则函函数数在在点点不不连连续续为为0(.)xf x而而点点 称称为为函函的的间间断断点点数数53.间断点分类间断点分类:(1) 第一类间断点第一类间断点000()()f xf xx 都都存存在在第第与与的的间间一一类类断断点点, ,叫叫间间断断点点. .00()(),f xf x 若若0 x可可去去称称为为间间断断点点；00()(),f xf x 若若0 x跳跳跃跃称称为为间间断断点

6、点. .000()()f xf xx 至至少少有有一一个个不不, , ,叫叫存存在在的的间间断断点点第第二二类类间间断断点点. ., 若若其其中中有有一一个个极极限限为为0 x无无则则称称 为为穷穷间间断断点点；,若若其其中中有有一一个个为为振振荡荡0 x振振则则称称 为为荡荡间间断断点点；(2) 第二类间断点第二类间断点64.初等函数的的连续性初等函数的的连续性;所以所以 初等函数的连续区间初等函数的连续区间=定义区间定义区间( )( ).f xf x定定义义区区为为初初等等函函数数其其间间在在上上连连续续注意：注意：(1)找找初初等等函函数数的的间间断断点点的的方方法法：(2)找找分分段段

7、函函数数的的间间断断点点的的方方法法：分分界界点点是是可可疑疑间间断断点点, ,是是否否为为间间断断点点, ,须须讨讨论论左左右右极极限限，但但要要慎慎取取函函数数表表达达式式. .初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.(3),找找间间断断点点时时 不不可可先先将将函函数数表表达达式式变变形形 否否则则有有可可能能失失去去一一部部分分间间断断点点. .0lim( ).xxfx 0lilim (m)( )(uaxxf uaffx 005.lim( ),lim.xxxxfxaf 若若 连连续续且且则则与与 可可以以交交换换位位置置即即7第十节

8、闭区间上连续函数的性质 第一章 一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理8最大最大(小小)值定义值定义:对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定义的函数 f(x),假如假如0 xI ，xI 使使得得，0( )()f xf x 都都有有0( )()(f xf x 或或则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf在区间在区间I上的最大上的最大 值值.(小小)一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理例如例如,(2)sgn ,yx (,), 在在上上, 2max y; 1min y. 1minmax yy(1)1 sin ,yx

9、 ,2,0上上在在 ;0min y, 1max y(0,), 在在上上1 xyo1sgnyx 9定理定理1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即即: 设设( ) ,f xC a b 那那么么12, ,a b使使1()min( )axbff x 2()max( )axbff x 值和最小值值和最小值.在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)ab2 1 xyo( )yf x ( ) , f xa b因因此此在在推论推论. 由定理由定理 1 可知有可知有 , max( ) ,xa bMf x , min( )xa bmf x ,xa b 故故证证: 设设( ) ,f xC a

10、b ( ),mf xM有有上有界上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 10 1.若区间是开区间若区间是开区间,结论不一定成立结论不一定成立;注意注意:2.若区间内有间断点若区间内有间断点,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如,(0,1)yx x无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy11( ) f xxx 又如：又如：0.1 32 2无无最最有有最最值值, ,大大在在小小值值， 上上123451xyo( ) , ( ) , ().Th1:f xC a bf xa b 在在上上有有最最大大值值和和最最小小值值有有界界11二、零点定理与介值定理二、零点

11、定理与介值定理零点的定义零点的定义:00()0 xf x 如如果果满满足足，0( )xf x则则称称为为的的零零点点. .定理定理2. ( 零点定理零点定理 )( ) ,f xC a b 若若至少有一点至少有一点( ,),a b 且且使使( )0 .f ( ) ( )0f a f b ( 证明略证明略 )(又叫根的存在定理又叫根的存在定理).( )0( , )f xa b 即即方方程程在在内内至至少少存存在在一一个个实实根根. .ab几何解释几何解释:xyo( )yf x 连续曲线弧连续曲线弧)(xfy 的两个的两个端点位于端点位于x轴的不同侧轴的不同侧,则曲线则曲线弧与弧与x轴至少有一个交点

12、轴至少有一个交点.1 2 3 12例例1. 证明方程证明方程32410 xx一个实根一个实根 .证证:在区间在区间(0,1)内至少有内至少有由零点定理知由零点定理知, )(xf令令(0)10,f 又又3241,xx ( )0,1,f x则则在在闭闭区区间间上上连连续续(1)20,f 又又(0,1), 使使得得 ( )0,f 32410, 即即32410(0,1).xx 所所以以方方程程在在内内至至少少有有一一个个实实根根 说明说明:11( )02,8f有有内必有方程的根内必有方程的根 ;1(,1)21 ,12取取的中点的中点3,4x 3( )0,4f 有有内必有方程的根内必有方程的根 ;31(

13、,)2 4则则可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01 10,1,2x 取取的的中中点点那么那么13定理定理3. ( 介值定理介值定理 )( ) , ,( ),f xC a bf aA 设设且且( ),f bB AB则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点( ,),( ).a bfC 使使证证: 作辅助函数作辅助函数( )( )xf xC 那么那么( ) , ,xC a b 且且( )( )ab ()()ACBC 0 故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点( ,),( )0.a b 使使即即( ).fC 推论推论: 在闭区间上的连续函数

14、在闭区间上的连续函数C 至少有至少有必取得介于最小值与必取得介于最小值与最大值之间的任何值最大值之间的任何值 .xAbya( )yf x BomM( ) , ,( , ),( )f xC a bmCMa bfC 使使推推论论：( ) , ,( )f xC a bmCMa bfC 推推：使使论论14例例2.( ) , ,( ),( ).( , ),( ).f xa bf aaf bba bf 设设函函数数在在区区间间上上连连续续 且且证证明明使使得得证证:( )( ),F xf xx令令由零点定理由零点定理,( ) , ,F xa b则则在在上上连连续续( )( )F af aa而而0, ( )

15、( )F bf bb 0, ( , ),a b 使使( )( )0,Ff ( ).f 即即辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理注意注意:( )F x构构造造辅辅助助函函数数的的一一种种方方法法(1)x 从从结结论论中中将将 改改写写为为 后后, ,将将它它变变为为一一边边为为零零的的方方程程；(2)( )F x则则方方程程的的另另一一边边即即可可设设为为. .15内容小结内容小结( ) , ,()f xC a b设设则则 1.( ) , f xa b在在上上有有界界；上有最大值和最小值上有最大值和最小值;4.( ) ( )0( , ),( )0.

16、f a f ba bf 当当时时, ,必必存存在在使使2.( ) , f xa b在在3.,()mCMa bfC 当当时时, ,必必存存在在使使1.闭区间；闭区间； 2.连续函数连续函数注意：注意：这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立161)直接用四则法则直接用四则法则;2) 恒等变形后用四则法则恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质利用无穷小的性质; 无限项无限项:约去零因式约去零因式通分通分 分子分母有理化分子分母有理化回忆：回忆：1.学过的求极限的方法：学过的求极限的方法：抓大头抓大头4)无穷小与无穷大的关系法无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则复

17、合函数的极限运算法则(变量代换法变量代换法);0:0型型: 型型:型型化无限为有限法化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则利用夹逼准则和单调有界准则;8)重要极限法重要极限法;9)等价无穷小代换法；等价无穷小代换法；10)利用连续性利用连续性.注意各个方法的理论依注意各个方法的理论依据及条件，使用范围据及条件，使用范围.17则有则有 0( )lim1( )v xxxu x 结论结论1: 假假设设00lim ( )0, lim ( ),xxxxu xv x 0lim( ) ( )xxv x u xe 则有

18、则有0( )lim( )v xxxu x结论结论2: 假假设设00lim( )(0), lim ( ),xxxxu xa av xbba 1 结论结论3： 常用等价无穷小常用等价无穷小:( )0,u x 当当时时 sin tan arcsin arctan ln(1) 1,uuuuuueu 211cos,(1)1 (0).2auuuau a lim1(0)nnaa 2.重重要要结结论论：180,11,1lim,1,1nnqqqqq 不不存存在在0000,abmn 如如果果，和和 为为非非负负整整数数时时，有有101101limmmmnnxna xa xab xb xb .nm 当当,nm 当当

19、,nm 当当00,ab0, 结论结论4: 结论结论5: 19lim( ) ( )lim ( )li)7m(0f x g xag xf x 存存在在，结结论论 : :1lim( )lim ( ) ( )( )f xf x g xg x 00 0lim1 0 8 0:xx 结结论论( )limlim ( )0lim0)6( )(f xag xf xg x 存存在在，结结论论 ：( )lim( )lim( )( )f xf xg xg x20例例1. 求求tan2lim(sin ).xxx 解解: 原式原式 =tan2lim1(sin1)xxx 1 2lim (sin1)tanxxxe 2lim(s

20、in1) tanxxx 2(sin1)sinlimcosxxxx 2(sin1)(sin1)sinlimcos (sin1)xxxxxx 2cossinlim(sin1)xxxx 0 01e原原式式P75T9(6)21例例2.试确定常数试确定常数 a 使使33lim( 1)0.xxa x解解 :,1tx 令令3301lim( 1)0tatt 则则10a 3301lim0ttat330lim(1)0tta1a ( )( )limlim ( )0lim( )lim( )0( )( )6f xf xag xf xg xg xg x存存在在结结论论 ：，330lim1tt 31tu31lim1uu 2

21、2例例3. 设函数设函数( )f x 2(1 cos)axx 0 x 10 x 2ln()bx 0 x 在在 x = 0 连续连续 , 那么那么 a = , b = .解解:20(1cos )(0 )limxaxfx 2a 211 cos 02xxx 20(0 )limln()xfbx lnb 1ln2ab 由由已已知知：2e2,abe 2311,0( )( )ln(1); 104.xexf xf xxx 设设, ,求求的的例例间间断断点点，1( )xf x 显显然然是是的的解解：一一个个间间断断点点，111lim0,xxe 1.x 是是第第二二类类间间断断点点0 x 又又是是分分段段点点，0

22、(0 )limln(1)0,xfx 110(0 )limxxfe 0.x 是是跳跳跃跃间间断断点点并并判判断断其其类类型型. .1.x 因因为为在在处处函函数数无无定定义义111limxxe 1e P75T11lim0limxxxxee 24lim ( ),1.:( )xf xbyf xyb 水水平平渐渐近近果果的的线线：定定则则义义如如sin0,xyyx 所所以以的的水水平平渐渐近近线线为为lim( ),2(:)xaf xyf xxa 如如果果则则的的铅铅直直渐渐近近：义义线线定定. .无无铅铅直直渐渐近近线线3:(P76T14)定定义义斜斜渐渐近近线线. .lim ( ) ()(0 xf

23、xkykxbyfxxdb 是是的的渐渐近近线线( )lim ()0 xf xbxkxx ( )lim()0 xf xbkxx ( )limxf xkx lim ( )()lim ( )0 xxf xkfxxbbxk ( )lim()0 xf xkx 00lim( )( )( )(lim( )0)xxxxf xAf xAxx lim( ) ( )lim ( )li)7m(0f x g xag xf x 存存在在，结结论论 : :25第一章常考题型：第一章常考题型：1.(,).函函数数的的概概念念 会会求求定定义义域域 理理解解对对应应法法则则2.(,).判判断断函函数数的的性性质质 单单调调性性

24、 有有界界性性 奇奇偶偶性性 周周期期性性3.(,).求求各各类类函函数数的的极极限限 显显函函数数 分分段段函函数数 复复合合函函数数 幂幂指指函函数数等等4.已已知知函函数数的的极极限限求求常常数数. .5.比比较较无无穷穷小小的的阶阶. .6.判判断断函函数数的的连连续续性性, ,求求间间断断点点并并判判断断其其类类型型. .8.用用零零点点定定理理证证明明方方程程根根的的存存在在性性. .0,1).0 特特别别是是不不定定式式的的极极限限 如如等等7.已已知知函函数数的的连连续续性性, ,求求常常数数. .作业作业:P74 2; P74 2,9(2)(6), 13;14(2).预习预习:P77-P87P74总习题一总习题一1,3题写在书上题写在书上.26备用备用. 函数函数cos(,)yxx 在在内内是是否否有有界界