佛山市2021届普通高中高三教学质量检测（一）数理

1、佛山市2021届普通高中高三教学质量检测（一）数理 佛山市2021 届普通高中高三教学质量检测（一） 数 数 学（理科） 本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目 2. 选择题每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4. 请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 第 卷 卷( 选

2、择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，复数i 2 1i 5+对应的点位于（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 2 已知集合 a = x x 2 - x - 2 < 0 ， b = x | x |> 1 ，则 ab = （ ） a (-2, -1) b (-1,1) c (0,1) d (1, 2) 3 已知 x, y Î r ，且 x > y > 0 ，则（ ） a cos x - cos y > 0 b cos x + co

3、s y > 0 c ln x - ln y > 0 d ln x + ln y > 0 4 函数 f (x)的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于 y 轴对称，则 f (x) = （ ） a 1e+ -x b 1e- -x c 1e- x d 1e+ x 5 希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一 个 "中心三角形'（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 "中心三角形'，我 们用白色代表挖去的面积，那么黑三角 形为剩下的面积（

4、我们称黑三角形为希 尔宾斯基三角形）在如图第3个大正 三角形中随机取点，则落在黑色区域的 概率为（ ） a 53 b 169 c 167 d 52 6 已知等比数列 na 满足 24 , 363 1 2 1= - = - a a a a ，则使得na a a ×2 1取得最大值的n为（ ） a 3 b 4 c 5 d 6 7 已知 a 为锐角，53cos = a ，则 =÷øöçèæ+2 4tana p（ ） a 31 b 21 c 2 d 3 8 已知双曲线c: 12222= -byax，o为坐标原点，直线 a x = 与

5、双曲线c的两条渐近线交于a, b两点，若oab是边长为2的等边三角形，则双曲线c的方程为（ ） a 1322= - yx b 1322= -yx c 14 122 2= -y x d 112 42 2= -y x 9 地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2021 年累计装机容量就突破了 100gw，达到 114.6gw，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图 根据以上信息

6、，正确的统计结论是（ ） a截止到 2021 年中国累计装机容量达到峰值 b10 年来全球新增装机容量连年攀升 c10 年来中国新增装机容量平均超过 20gw d截止到 2021 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过31 10已知函数 1 21 21) ( + += x x fx，且 3 ) 2 ( ) (2> + a f a f ，则 a 的取值范围是（ ） a ) , 1 ( ) 3 , ( +¥ - -¥ u b ) , 0 ( ) 2 , ( +¥ - -¥ u c(2，0) d(1，3) 11 已知函数 f (x) = sin

7、x + sin(x)，现给出如下结论： f (x)是奇函数； f (x)是周期函数； f (x) 在区间 (0, ) 上有三个零点； f (x) 的最大值为 2. 其中正确结论的个数为（ ） a 1 b 2 c 3 d 4 12 已知正三棱柱 abc - a 1 b 1 c 1 的侧棱长为 4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱aa 1 , bb 1 ,cc 1 分别交于点 m , n , q ，若 mnq 为直角三角形，则 mnq 面积的最大值为（ ） a 3 b 10 c 17 d 3 2 第 卷 卷( 非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 21 题为

8、必考题，每个试题考生 都必须作答第22 23 为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分 13 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种（用数字作答） 14 在 abc 中， ab = 2 ， ac = 3 ， p 是边 bc 的垂直平分线上一点，则 bc ap× = . 15 函数 f (x) = ln x 和 g(x) = ax 2 - x 的图象有公共点 p，且在点 p 处的切线相同，则这条切 线方程为 . 16 在平面直角坐标系xoy中，对曲线c上任意一点p，p到直线x +1 = 0的距离

9、与该点到点o的距离之 和等于2，则曲线c与y轴的交点坐标是 ；设点a ÷øöçèæ -0 ,45，则 pa po + 的最小 值为 . 三、解答题：本大题共7 小题，共70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分12分) 绿水青山就是金山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点

10、出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立. （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价

11、？ 18 (本小题满分12分) 在 abc 中，内角 a ， b ， c 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 a sin b = b sin )3(p- a . （1）求a; （2）d 是线段 bc 上的点，若 ad = bd = 2 ， cd = 3 ，求 adc 的面积. 19 (本小题满分12分) 已知椭圆 c : ) 0 ( 12222> > = + b abyax的离心率为21，点a ÷øöçèæ23, 1 在椭圆c上，直线l 1 过椭圆c的右焦点与上顶点，动直线 kx y l = :2与椭圆c交于m 、

12、 n两点，交l 1 于p点. （1）求椭圆c的方程； （2）已知o为坐标原点，若点p满足 mn op41= ，求此时 mn 的长度. 20(本小题满分12分) 如图，三棱锥 p - abc 中，平面 pab 平面 abc ， pa = pb ，Ðapb = Ðacb = 90 o ，点 e, f 分别是棱 ab, pb 的中点，点g 是 bce 的重心 （1）证明： gf / / 平面 pac ； （2） 若 gf 与平面 abc 所成的角为 60 o ，求二面角 b-ap-c 的余弦值. 21 ( 本小题满分12分) 已知函数 f (x) = 1 + x - 2 sin

13、x, x > 0. （1）求 f (x) 的最小值； （2）证明：xx f2e ) (-> . 请考生在第 22 ，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号 22 (本小题满分10分)选修4 - 4 :坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为îíì=m ym x442(m为参数). （1）写出曲线c的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线2 1 ,ll ，其中1l 与c交于a ， b两点，2l 与c交于m ， n两点，1l 与2l 交于点 ( )0 0 ,yx p ，求证

14、： pn pm pb pa × = × . 23 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数 1 ) ( - + - = x a x x f . （1）若 2 ) ( < a f ，求 a 的取值范围； （2）当 , k a a x + Î 时，函数 ) (x f 的值域为1,3，求k的值. 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 a d c a b b d a d b b c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13 60 1

15、425 15 1 - = x y 1647), 1 , 0 ( ± 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 【解析】(1)当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为1y （元），则1y 是随机变量，其分布列为： 1y 15 -5 p 0.3 0.7 1分 1 7 . 0 5 3 . 0 15 ) (1= ´ - ´ = y e 元，则5000个游客的平均利润为5000元； 2分 当收费为10元时，照片被带走的可能性为 8 . 0 10 05 . 0 3 . 0 = &#

16、180; + ，不被带走的可能性为0.2，设每 个游客的利润为2y (元)，则2y 是随机变量，其分布列为： 2y 5 -5 p 0.8 0.2 4分 3 2 . 0 5 8 . 0 5 ) (2= ´ - ´ = y e 元，则5000个游客的平均利润为15000元； 5分 该项目每天的平均利润比调整前多10000元. 6分 (2)设降价 x 元，则 15 0 < £ x ，照片被带走的可能性为 x 05 . 0 3 . 0 + ，不被带走的可能性为 x 05 . 0 7 . 0 - ，设每个游客的利润为 y (元)，则 y 是随机变量，其分布列为： y

17、15 x -5 p 0.30.05 x 0.70.05 x 8分 ) 7 ( 69 05 . 0 ) 05 . 0 7 . 0 ( 5 ) 05 . 0 3 . 0 ( ) 15 ( ) (2- - = - ´ - + ´ - = x x x x y e 10分 当 7 = x 时， ) (y e 有最大值3.45元， 即当定价为13元时，日平均利润为17250元. 18 【解析】(1)由正弦定理，可得 a b b a sin sin = . 1分 则有÷÷øöççèæ- = a a b a b

18、 cos23sin21sin ，化简得 a a cos23sin21- = . 3分 即 3 tan - = a ， ) , 0 ( p Î a q ，则32 p= a . 5分 (2)设 ÷øöçèæÎ = Ð3, 0 ,pq q b ， 由题意得 q = Ðbad ， q 2 = Ðadc ， qp- = Ð32dac ， qp- = Ð3acd . 6分 在 adc d 中，acdaddaccdÐ=Ð sin sin，则÷

19、8;öçèæ-=÷øöçèæ- qpqp3sin232sin3. 7分 q q q q sin21cos232sin21cos233-=+ ，得 q q cos53sin = . 8分 结合 1 cos sin2 2= + q q ，可得1421sin = q ，147 5cos = q . 9分 则143 5cos sin 2 2 sin = = q q q . 10分 143 1543 53 221sin21= × × × = Ð × 

20、15; = dadc cd ad sadc. l2分 19 【解析】(1)由题意得21= =ace ， 1231222=÷øöçèæ+b a，结合2 2 2c b a + = ， 解得 42= a ， 32= b ， 1 = c . 3分 故所求椭圆 c 的方程为 13 42 2= +y x. 4分 (2)易知定直线1l 的方程为 0 3 3 = - + y x . 5分 联立ïîïíì= +=13 42 2y xkx y，整理得 12 ) 4 3 (2 2= + x k ，解得24

21、312kx+± = ， 无妨令 m 点坐标为÷÷øöççèæ+ +2 24 312,4 312kkk. 7分 | |41| | mn op = q ，由对称性可知，点 p 为 om 的中点， 故 p 点坐标为÷÷÷÷øöççççèæ+ +24 312,24 3122 2kkk. 8分 又 p 在直线 0 3 3 :1= - + y x l 上，故 0 324 31224 31232 2=

22、 -+´kkk， 解得33 2, 02 1= = k k .故 m 点坐标为 ) 0 , 2 ( 或÷÷øöççèæ53 4,56. 10分 所以 2 | | = om 或521 2，所以 | | mn 的长度为 4 或521 4. 12分 20 【解析】(1)连接 ef ，连接 eg 并延长交 bc 于点 d ，则点 d 为 bc 的中点，从而点 f e d , , 分别是棱 pb ab cb , , 的中点， ac de / ， ap ef / . 1分 又 Ì / ef de, 平面 pa

23、c ， Ì ap ac, 平面 pac . / de 平面 pac ， / ef 平面 pac . 2分 又 Ì ef de, 平面 efg ， e ef de = i ， 平面 / efg 平面 pac . 3分 又 Ì gf 平面 efg ， / gf 平面 pac . 4分 (2)连接 pe ， pb pa = q ， e 是 ab 的中点， ab pe ， q 平面 pab 平面 abc ，平面 i pab 平面 ab abc = ， Ì pe 平面 pab ， pe 平面 abc . 6分 连接 cg 并延长交 be 于点 o ，则 o 为 b

24、e 的中点，连接 of ，则 pe of / ， of 平面 abc . fgo Ð 为 gf 与平面 abc 所成的角，即o60 = Ðfgo . 7分 在rt fgo d 中，设 2 = gf ，则 1 = og ， 3 = of ， 3 = oc ， 3 2 = pe . 3 4 = ab ， 3 2 = ce ， 3 = oe ，2 2 2ce oc oe = + ，即 ab oc . 8分 如图建立空间直角坐标系 xyz o- ，则 ) 0 , 3 3 , 0 ( - a ， ) 0 , 0 , 3 ( c ， ) 3 2 , 3 , 0 ( - p ， ) 0

25、, 3 3 , 3 ( = ac ， ) 3 2 , 3 2 , 0 ( = ap ，设平面 pac 的一个法向量为 ) , , (1z y x n = ， 则由ïîïíì= + = ×= + = ×0 3 2 3 20 3 3 311z y ac ny x ap n，可取 ) 1 , 1 , 3 (1- = n . 10分 又平面 pab 的一个法向量可取 ) 0 , 0 , 1 (2= n . 11分 则51553| | |, cos2 12 12 1= =×>= <n nn nn n ，所以二面角

26、 c ap b - - 的余弦值为515.12分 21 【解析】(1) x x f cos 2 1 ) ( " - = ，令 0 ) ( " = x f ，得21cos = x . 1分 故在区间 , 0 p 上， ) ( " x f 的唯一零点是3p= x . 2分 当 ÷øöêëéÎ3, 0px 时， 0 ) ( " < x f ， ) (x f 单调递减； 当úûùçèæÎ pp,3x 时， 0 ) (

27、" > x f ， ) (x f 单调递增. 3分 故在区间 , 0 p 上， ) (x f 的极小值为 3313- + = ÷øöçèæ p pf . 4分 当 p > x 时， ÷øöçèæ> - = - + >31 2 1 ) (pp p f x f ， 所以 ) (x f 的最小值为 3313- + = ÷øöçèæ p pf . 5分 (2)要证： 0 > x 时，x

28、e x f2) (-> ，即证： 0 > x 时， 1 ) sin 2 1 ( ) (2> - + =xe x x x g .6分 x x xe x x x e x e x x x g2 2 2) cos 2 sin 4 2 3 ( ) cos 2 1 ( ) sin 2 1 ( 2 ) ( " - - + = - + - + = . 7分 令 x x x h sin ) ( - = ， 0 > x ，则 0 cos 1 ) ( " ³ - = x x h ，即 ) (x h 是 ) , 0 ( +¥ 上的增函数. 0 ) 0 (

29、 ) ( = > h x h ，即 x x sin > . 9分 04sin 2 2 3 ) cos (sin 2 3 cos 2 sin 4 sin 2 3 cos 2 sin 4 2 3 > ÷øöçèæ+ - = + - = - - + > - - + px x x x x x x x x 0 ) cos 2 sin 4 2 3 ( ) ( "2> - - + = xe x x x x g . 11分 即 ) (x g 是 ) , 0 ( +¥ 上的增函数， 1 ) 0 ( ) ( = > g x g ，故当 0 > x 时，xe x f2) (-> .12分 22 【解析】(1)由 m y 4 = ，得4ym = ，代入24m x = ，得42yx = ，即 x y 42= .