数字电子技术第2章

1、2021-12-281 2021-12-282（255）10= （ ）2 =（ ）8 =（ ）16 =（ ）8421BCD2021-12-283内容提要内容提要 基本逻辑运算（与、或、非）；基本逻辑运算（与、或、非）；复合逻辑函数运算；复合逻辑函数运算；2021-12-284逻辑：一定的因果关系。逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治数学家乔治布尔布尔(George Boole)于于1847年提出的年提出的,所所以又称为布尔代数。

2、以又称为布尔代数。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。同于普通代数。相同点：都用字母相同点：都用字母A、B、C表示变量；表示变量；不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为“0”和和“1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。为逻辑变量。“0”和和“1”表示两种不同的逻辑状态：是和非、表示两种不同的逻辑状态：是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。 2021-12-2851. 1. 三种基本逻辑运算三种

3、基本逻辑运算 （1）与运算 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。 开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111A A、B B全1，Y Y才为1。设定逻辑变量并状态赋值：设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：逻辑变量：A和和B，对应两个开关的状态；，对应两个开关的状态；1闭合，闭合，0断开；断开；逻辑函数：逻辑函数：Y，对应灯的状态，对应灯的状态， 1灯亮，灯亮，0灯灭。灯灭。2021-12-286逻辑表达式：逻辑表达式： YA BAB符号符号“”读作读作“与与”（或读作（或读作“逻辑乘逻辑乘”）；）；

4、在不致引起混淆的前提下，在不致引起混淆的前提下，“”常被省略常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图的逻辑符号如图1-1(b)1-1(b)所示，符号所示，符号“&”&”表示与逻表示与逻辑运算。辑运算。 2021-12-287 若开关数量增加，则逻辑变量增加。若开关数量增加，则逻辑变量增加。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 11A A、B B、C C全1，Y Y才为1。YA B CABC2021-12-288（2 2）或运算或运算 当决定某一事件的所

5、有当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系果关系叫做或逻辑关系 ，简简称或逻辑称或逻辑 。 开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮ABY000011101111A、B有1，Y就为1。2021-12-289逻辑表达式：逻辑表达式： YAB符号符号“”读作读作“或或”（或读作（或读作“逻辑加逻辑加”）。）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图的逻辑符号如图1-2(b)1-2(b)所示，符号所示，符号“1”1”表示或表示或逻辑运算。逻

6、辑运算。 2021-12-2810（3 3）非运算非运算 当某一条件具备了，事当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。简称非逻辑。A与Y相反开关A灯Y断开亮闭合灭AY01102021-12-2811实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图的逻辑符号如图1-3(b)1-3(b)所示。所示。 逻辑符号中用小圆圈逻辑符号中用小圆圈“ “ 。”表示非运算，符号表示非运算，符号中的中的“1”1”表示缓冲。表示缓冲。逻辑表

7、达式：逻辑表达式： Y YA A符号符号“ “ ” ”读作读作“ “ 非非 ” ” 。2021-12-28122. 2. 复合逻辑运算复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有合，最常见的复合逻辑运算有与非与非、或非或非、与或与或非非、异或异或和和同或同或等。等。 （1 1） 与非运算与非运算“与与”和和“非非”的复的复合运算称为与非运算。合运算称为与非运算。 逻辑表达式： Y YABCABCA B CY0 0 010 0 110 1 0

8、10 1 111 0 011 0 111 1 011 1 10图1-4 与非逻辑的逻辑符号 “有0必1，全1才0” 2021-12-2813 （2 2） 或非运算或非运算“或或”和和“非非”的复合运算称为或非运算。的复合运算称为或非运算。 逻辑表达式：逻辑表达式： Y YA A+ +B B+ +C CA B CY0 0 010 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 10“有1必0，全0才1” 图1-5 或非逻辑的逻辑符号 2021-12-2814 （3 3） 与与或非运算或非运算“与与”、“或或”和和“非非”的复合运算称为与或非的复合运算称为与或非运算。运

9、算。 逻辑表达式：逻辑表达式： Y YABAB+ +CDCD图1-6 与或非逻辑的逻辑符号 2021-12-2815 （4 4） 异异或运算或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为输出为0，取值不相同时输出为，取值不相同时输出为1 1。 “相同为0，相异为1” 图1-7 异或逻辑的逻辑符号 逻辑表达式：逻辑表达式： Y Y = = A AB B = = A BA B + + A BA B式中符号式中符号“ ”表示异或运算。表示异或运算。 ABY0000111011102021-12-28162021-12-2817逻辑函数的相等：已知Y =

10、F1 (A、B、C、D)W= F2 (A、B、C、D)问：问： Y = W的条件？的条件？仅当A、B、C、D的任一组取值所对应的的任一组取值所对应的Y和和W都都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， Y = W 。等号“”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。ABY000010100111ABW0010101001112021-12-28181. 基本公式 （1）常量之间的关系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 +

11、0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或2021-12-2819（2 2）常量与变量之间的关系常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3 3）与普通代数相似的定理）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)2021-12-2820（4 4）特殊的定理）特殊的定理 De De morgen morgen定理定理2021

12、-12-28212021-12-28222. 常用公式 B B：互补：互补A A：公因子：公因子A A是是ABAB的因子的因子2021-12-2823A A的反函数的反函数是因子是因子与互补变量与互补变量A A相与的相与的B B、C C是第三项是第三项添加项添加项2021-12-2824需记忆2021-12-2825在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。二二. . 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 （1）代入规则 推广利用代入规则可以扩大公式的应用范围。理论依据：任何一个逻辑函数也和任何

13、一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 2021-12-2826 （2）反演规则运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。1)(0DCBAYCDBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换：“”“”“”“” “0” “1”“1” “0”，原变量反变量反变量原变量2021-12-2827 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶式Y。 （3）对偶规则 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减

14、扩号。 ) 1)()0(CABAYCABAY对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”2021-12-2828利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。减少一半。 互为对偶式 对偶定理：对偶定理： 若等式若等式Y=W成立，则等式成立，则等式Y =W也成立。也成立。 2021-12-2829P32P321 1、2.12.1（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）2 2、2.32.3（1 1）、（）、（3 3）3 3、2.42.4（1 1）、（）、（3 3）2021-12-2830 （5 5） 同同或运算或运算所谓同或运算，是指

15、两个输入变量取值相同时所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为输出为1，取值不相同时输出为，取值不相同时输出为0。 “相同为1，相异为0” 图1-8 同或逻辑的逻辑符号 ABY001010100111逻辑表达式：逻辑表达式： Y Y = = A AB B = = A BA B + + A BA B = = A AB B 式中符号式中符号“ ”表示同或运算。表示同或运算。 2021-12-2831二二 逻辑函数的描述逻辑函数的描述 2021-12-28321. 1. 逻辑函数逻辑函数 输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作逻辑

16、函数，写作 Y = F(A、B、C、D) A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；为有限个输入逻辑变量；F为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。式、逻辑图和卡诺图。2021-12-2833真值表是将输入逻辑变真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起输出变量函数值排列在一起而组成的表格。而组成的表格。1个输入变量有个输入变量有0和和1两两种取值，种取值， n个输入变量就有个输入变量就有2n个个不同的取值组合。

17、不同的取值组合。例：逻辑函数例：逻辑函数Y=AB+BC+AC A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11三个输入变量，八种取值组合 2. 2. 真值表真值表ABBCAC2021-12-2834A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11真值表的特点：真值表的特点： 唯一性唯一性; ; 按自然二进制递增顺按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不序排列（既不易遗漏，也不会重复会重复 ）。）。 n个输入变量就有个输入变量就有2n个个不同的取值组合。不同的取值组合。 20

18、21-12-2835例：控制楼梯照明灯的电路。例：控制楼梯照明灯的电路。 两个单刀双掷开关A和B分别装在楼上和楼下。无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯。设灯为L，L为1表示灯亮，L为0表示灯灭。对于开关A和B，用1表示开关向上扳，用0表示开关向下扳。ABL0010101001112021-12-28363. 3. 逻辑表达式逻辑表达式 按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。达式（简称逻辑表达式）。由真值表可以方便地写出逻辑表达

19、式。方法为：由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为： 找出使找出使输出为输出为1 1的输入变量取值组合；的输入变量取值组合； 取值为取值为1 1用原变量表示，取值为用原变量表示，取值为0 0的用反变量的用反变量表示，则可写成一个乘积项；表示，则可写成一个乘积项； 将乘积项相加即得。将乘积项相加即得。 ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A BA BA BA BA B2021-12-28374. 4. 逻辑图逻辑图 用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。表示出来，就可以画

20、出逻辑函数的逻辑图。ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A B2021-12-28382.3.2 2.3.2 具体的代数化简法具体的代数化简法 2021-12-2839（1 1）化简的意义化简的意义 CBBCBCAABAYCBBCBCAABACBBCBCAABAY2021-12-2840若将该函数化简并作变换：若将该函数化简并作变换：CBBCBCAABAYCACABBCBCBAY)()1 (2021-12-2841（2 2）逻辑函数的多种表达式形式逻辑函数的多种表达式形式CAABYCAABY)()(CABAYCABAY与与-或表达式或表达式与非与非-与非

21、表达式与非表达式 或或-与非表达式与非表达式 或非或非-或表达式或表达式 2021-12-2842（2 2）逻辑函数的多种表达式形式（续）逻辑函数的多种表达式形式（续）或或-与表达式与表达式或非或非-或非表达式或非表达式 与与-或非表达式或非表达式 与非与非-与表达式与表达式 )(BACABCCAABAAYBACAYBACAYBACAY2021-12-2843由以上分析可知，由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。用的。 （3 3）逻辑函数的最简标准逻辑函数的最简标准由于与或表

22、达式最常用，因此只讨论最简与或由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或表达式表达式 的最简标准。的最简标准。最简与或表达式为：最简与或表达式为： 与项（乘积项）的个数最少；与项（乘积项）的个数最少； 每个与项中的变量最少每个与项中的变量最少。2021-12-28442.3.2 具体的代数化简法具体的代数化简法反复利用逻辑代数的反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算基本公式、常用公式和运算规则规则进行化简，又称为代数化简法。进行化简，又称为代数化简法。必须依赖于对公式和规则的必须依赖于对公式和规则的熟练记忆熟练记忆和一定的和一定的经经验、技巧验、技巧。 2021-12-2845 （1 1）代

23、入规则代入规则 在任何一个逻辑等式（如在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将）中，如果将等式两端的某个变量（如等式两端的某个变量（如B B）都以一个逻辑函数）都以一个逻辑函数（如（如Y=BCBC）代入，则等式仍然成立。这个规则就）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。叫代入规则。在公式化简中大量应用！在公式化简中大量应用！需灵活掌握。需灵活掌握。最常使用，特别最常使用，特别需要熟练记忆！需要熟练记忆！2021-12-2846 （2 2）反演规则便于实现反函数。反演规则便于实现反函数。 （3 3）对偶规则使公式的应用范围扩大一倍，对偶规则使公式的应用范围扩大一倍，使公式的记忆量减小一倍

24、。使公式的记忆量减小一倍。反演变换：“”“”“”“”“0” “1” “1” “0”，原变量反变量反变量原变量对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”2021-12-2847例例1-2 化简函数化简函数CBACBAY解：解： BACCBACBACBAY)(例化简函数例化简函数解： CBACBACBACBAYAABBACCABCCBAY)()(代入规则 （1 1）并项法并项法 利用公式利用公式A+A=1或公式或公式AB+AB=A进行化简，通进行化简，通过合并公因子，消去变量。过合并公因子，消去变量。AABBAY或： 代入规则2021-12-2848 （2 2）吸收法吸收法 利用公式利

25、用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。进行化简，消去多余项。 例例1-3 化简函数化简函数解：解： 例化简函数例化简函数解： )(FECDBABAYBAFECDBABAY)()(EFFEDABCDCDABYDCDABEFFEDABCDCDABY)(2021-12-2849例例1-4 化简函数化简函数解： 例化简函数例化简函数解： （3 3）消去法消去法 利用公式利用公式A+AB=AB进行化简，消去多余项。进行化简，消去多余项。CBCAABYCABCABABCBAABCBCAABY)(FEFEABCDY)(FEABCDFEABCDFEFEABCDFEFEABCDY)()(2021-12-285

26、0例例1-5 化简函数化简函数解： （4 4）配项法配项法 在适当的项配上在适当的项配上A+A=1进行化简。进行化简。 BACBCBBAYCACBBABBCACBBABCACBACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()()(2021-12-2851例例1-5 化简函数化简函数解解2： BACBCABACBBBCABACBCABCBACBACBABACBCBAACCBABACBCBBAY)()()(CACBBABACBCBBAY解解1得得： 问题：函数Y的结果不一样，哪一个解正确呢？ 答案都正确答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为最简结果的形式是一样的，都为三个与

27、项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！2021-12-2852例例 化简函数化简函数解：解： （5 5）添加项法添加项法 利用公式利用公式AB+AC+BC=ABAC，先添加一项，先添加一项BC，然后再利用，然后再利用BC进行化简，消去多余项。进行化简，消去多余项。CACBBACABACBBACABACBCBBABACBCBBAYBACBCBBAY2021-12-2853下面举一个综合运用的例子。下面举一个综合运用的例子。DEFGEFBACEFBDCAABDAADY解： EFBBDCADEFGEFBBDACEFCAABADEFGEFBACEFBDC

28、AABDAADY)(2021-12-2854 公式化简法评价：公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。缺点：结果是否最简有时不易判断。 下次课将介绍与公式化简法优缺点正好互补的下次课将介绍与公式化简法优缺点正好互补的卡诺图化简法。当变量个数超过卡诺图化简法。当变量个数超过4时人工进行卡诺图时人工进行卡诺图化简较困难，但它是一套完整的方法，

29、只要按照相化简较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。应的方法就能以最快的速度得到最简结果。2021-12-28552.4.1 2.4.1 最小项及最小项表达式最小项及最小项表达式 2.4.2 2.4.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 2.4.3 2.4.3 卡诺图化简法卡诺图化简法 2.4.4 2.4.4 含有无关项的含有无关项的 2021-12-2856 公式化简法评价：公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。有时不易判

30、断。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一下最小项及最小项表达式。一下最小项及最小项表达式。 2021-12-28572.4.1 最小项及最小项表达式最小项及最小项表达式（1 1）最小项最小项 具

31、备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量积项为三变量A A、B B、C C的最小项。的最小项。设设A A、B B、C C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：量按以下规则构成乘积项： 每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；它的一个因子； 每个变量都以反变量每个变量都以反变量(A(A、B B、C)C)或以原变量或以原变量(A(A、B B、C)C)的形式出现一次，且仅出现一次。的形式出现一次，且仅出现一次。 推广：一个变量仅有原变量和反变量

32、两种形式，推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此因此N N个变量共有个变量共有2 2N N个最小项。个最小项。2021-12-2858最小项的定义最小项的定义: :对于对于N N个变量，如果个变量，如果P P是一个含有是一个含有N N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在变量的形式，作为一个因子在P P中出现且仅出现一次，中出现且仅出现一次，那么就称那么就称P P是这是这N N个变量的一个最小项。个变量的一个最小项。 表表1-171-17三变量最小项真值表三变量最小项真值表 2021-12-2859（2 2

33、）最小项的性质最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为的值为1 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为，而变量取其余各组值时，该最小项均为0 0； 任意两个不同的最小项之积恒为任意两个不同的最小项之积恒为0 0； 变量全部最小项之和恒为变量全部最小项之和恒为1 1。 2021-12-2860最小项也可用最小项也可用“m mi i” ” 表示，下标表示，下标“i”i”即最小即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为项的编号。编号方法：把最小项取值为1 1所对应的所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十那一组变量取值组合当成二进

34、制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。进制数，就是该最小项的编号。 表表1-18 1-18 三变量最小项的编号表三变量最小项的编号表 2021-12-2861 （3 3）最小项表达式）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式形式标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例例1-7将将Y=AB+BC展开成最小项表达式。展开成最小项表达式。 解： BCAABCCABBCAACCABBCABY)()()7 , 6 , 3(

35、),(763mmmmCBAY或： 2021-12-2862例例 14写出三变量函数写出三变量函数 的最小项表达式。的最小项表达式。 解解 利用摩根定律将函数变换为与或表达利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成最小项之和形式。式，然后展开成最小项之和形式。BACBAABCBAY),(BACBAAB)()(CCBACBABACBACBACBACBABCACBACBA)4 , 3 , 2(m2021-12-28632.4.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 （1 1）卡诺图及其构成原则卡诺图及其构成原则 卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成

36、的方框图。构成卡诺图的原则是：方框图。构成卡诺图的原则是： N变量的卡诺图有变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；个小方块（最小项）； 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不只有一个变量的形式不同同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：几何相邻的含义：一是相邻一是相邻紧挨的；紧挨的；二是相对二是相对任一行或一列的两头；任一行或一列的两头；三是相重三是相重对折起来后位置相重。对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判

37、断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。2021-12-2864图1-11 三变量卡诺图的画法 （2 2）卡诺图的画法卡诺图的画法 首先讨论三变量（首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画）函数卡诺图的画法。法。 3变量的卡诺图变量的卡诺图有有23个小方块；个小方块； 几何相邻的必须几何相邻的必须逻辑相邻：变量的逻辑相邻：变量的取值按取值按00、01、11、10的顺序（循环码的顺序（循环码 ）排列排列 。相邻相邻2021-12-2865图1-12 四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺正确认识卡诺图的图的“逻辑相邻逻辑相邻”：上下相邻，左右相上下相邻，左右相邻，并呈现邻，并呈现“

38、循环循环相邻相邻”的特性，它的特性，它类似于一个封闭的类似于一个封闭的球面，如同展开了球面，如同展开了的世界地图一样。的世界地图一样。对角线上不相对角线上不相邻邻。2021-12-2866 （1 1）从真值表画卡诺图从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（一个小方块的值（0或或1）即可。需注意二者顺序不）即可。需注意二者顺序不同。同。例例1-8 已知已知Y的真值表，要求画的真值表，要求画Y的卡诺图。的卡诺图。表1-19逻辑函数Y的真值表 A B CY0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101

39、 1 001 1 11图1-20例1-8的卡诺图 2021-12-2867 （2 2）从最小项表达式画卡诺图从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入入1 1，其余的小方块中填入，其余的小方块中填入0 0。 例例1-9 画出函数画出函数Y(A、B、C、D)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。的卡诺图。 图1-14例1-9的卡诺图 2021-12-2868 （3 3）从与或表达式画卡诺图从与或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的

40、小方块都项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上填上1，剩下的填，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。，就可以得到逻辑函数的卡诺图。1 111AB11例已知例已知YABACDABCD，画卡诺图。，画卡诺图。最后将剩下的填01+1ACD=1011ABCD=01112021-12-2869 （4 4）从一般形式表达式画卡诺图从一般形式表达式画卡诺图先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。图。 )15,14,13,12()(1mABCDDABCDCABDCABDDCCABABY)13, 9()(2mDCABDCBADCBBADCAY73mBCD

41、AY2021-12-2870练习：练习： 解：解：（1）利用摩根定律去掉非号，）利用摩根定律去掉非号， 直到最后直到最后得到一个与或表达式，即得到一个与或表达式，即 ACCBACABCBAY),(ACCBACABACCBACBA)(ACCBACBCA （2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下根据与或表达式画出卡诺图，如下图所示。图所示。2021-12-2871BCA1111100011110012021-12-2872 （1 1）卡诺图中最小项合并的规律卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量；合并两个最小项，可消去一个变

42、量； 合并四个最小项，可消去两个变量；合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。合并八个最小项，可消去三个变量。 合并合并2N个最小项，可消去个最小项，可消去N个变量。个变量。 2.4.3 卡诺图化简法卡诺图化简法由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式最小项，利用公式A+A=1，ABABA，可以消去可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。 2021-12-2873图1-15 两个

43、最小项合并 m3m11BCD2021-12-2874图1-16 四个最小项合并 2021-12-2875图1-17 八个最小项合并2021-12-2876 （2 2）利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数 A A基本步骤：基本步骤： 画出逻辑函数的卡诺图；画出逻辑函数的卡诺图； 合并相邻最小项（圈组）；合并相邻最小项（圈组）； 从圈组写出最简与或表达式。从圈组写出最简与或表达式。关键是能否正确圈组关键是能否正确圈组 。 B正确圈组的原则正确圈组的原则 必须按必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为的规律来圈取值为1的相的相邻最小项；邻最小项； 每个取值为每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一

44、次，的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；但可以圈多次； 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。大（消去的变量就越多）。2021-12-2877 C从圈组写最简与或表达式的方法：从圈组写最简与或表达式的方法： 将每个圈用一个与项表示将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去，圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同的因子保留，相同取值为相同取值为1用原变量，用原变量，相同取值为相同取值为0用反变量；用反变量； 将各与项相或，便得到最简与或表达式。将各与项相或，便得到最简与或表达式。2021-12-2878例例1

45、-10 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：解：相邻A2021-12-2879相邻BCA2021-12-2880BCAB DDBCBAY2021-12-2881例例1-11 化简图示逻辑函数。化简图示逻辑函数。解：解：多余的圈ABCDCACBACDAY112233442021-12-2882圈组技巧圈组技巧(防止多圈组的方法防止多圈组的方法)： 先圈孤立的先圈孤立的1 1； 再圈只有一种圈法的再圈只有一种圈法的1； 最后圈大圈；最后圈大圈； 检查：每个圈中至少有一个检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈未被其它

46、圈圈过。过。2021-12-2883例例 19化简化简 解化简步骤如下：解化简步骤如下： 函数的卡诺图如图函数的卡诺图如图1.17所示，所示， “0”可以不可以不填。填。 画卡诺圈：画卡诺圈： 如图如图1.17所示所示1CDAB11111110001111000011110ABCDDBADBDCBAY),(DCBADCBA2021-12-2884 按消去不同、按消去不同、 保留相同的方法写出逻辑表达式。保留相同的方法写出逻辑表达式。 例例 20 化简化简 Y(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11) 解解 （1） 画出函数的卡诺图画出函数的卡诺图,

47、 如图如图1.19所示。所示。 (2) 按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈，按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈， 如图如图1.18所示。所示。 (3) 写出化简后的逻辑表达式写出化简后的逻辑表达式BAACDDCBADBY2021-12-28851CDAB1111111100011110000111102021-12-28862.4.4 2.4.4 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 无关项的概念无关项的概念 对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的以是任意的(随意项、任意项随意项、任意项)，或者这些输入变量的，或者这些

48、输入变量的取值根本不会（也不允许）出现取值根本不会（也不允许）出现(约束项约束项)，通常把这，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中用表示，在标准与或表达式中用d（）表示。（）表示。 例：当例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码码作为输入变量时，禁止码10101111这六种状态所对应的最小项就是无关项。这六种状态所对应的最小项就是无关项。2021-12-2887 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 因为无关项的值可以根据需要取因为无关项的值可

49、以根据需要取0或取或取1，所以在，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使逻辑函数进一步得到简化。逻辑函数进一步得到简化。2021-12-2888例例1-12 设设ABCD是十进制数是十进制数X的二进制编码，当的二进制编码，当X5时输出时输出Y为为1，求，求Y的最简与或表达式。的最简与或表达式。表表1-20 1-20 例例1-121-12的真值表的真值表 XA B C DY00 0 0 0010 0 0 1020 0 1 0030 0 1 1040 1 0 0050 1 0 1160 1 1 0170 1 1 1181 0 0 0191

50、 0 0 11/1 0 1 0/1 0 1 1/1 1 0 0/1 1 0 1/1 1 1 0/1 1 1 1解：列真值表，见表解：列真值表，见表1-20所示。所示。 画卡诺图并化简。画卡诺图并化简。 2021-12-2889图图1-20 1-20 例例1-121-12的卡诺图的卡诺图充分利用无关项化简后得到的结果要简单得充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值为为1 1，而圈外无关项自动取值为，而圈外无关项自动取值为0 0。利用无关项化简结果为：利用无关项化简结果为：YABDBC 2021-12-2890例例1

51、-13化简逻辑函数化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=m(1,2,5,6,9)+ d(10,11,12,13,14,15)式中式中d表示无关项。表示无关项。 图图1-21 1-21 例例1-131-13的卡诺图的卡诺图 解：画函数的卡诺图并化简。解：画函数的卡诺图并化简。结果为：结果为：YCDCD 2021-12-2891例例 1-14 十字路口的交通信号灯十字路口的交通信号灯, 红、红、 绿、绿、 黄灯分别黄灯分别用用A、B、C来表示。灯亮用来表示。灯亮用1来表示，灯灭用来表示，灯灭用0来表来表示。车辆通行状态用示。车辆通行状态用Y来表示，停车时来表示，停车时Y为为0，通车，通车时时Y为为1。用卡诺图化简此逻辑函数。用卡诺图化简此逻辑函数。 解：解： (1) 在实际交通信号灯工作时，在实际交通信号灯工作时， 不可能有两个或两个不可能有两个或两个以上的灯同时亮以上的灯同时亮(灯全灭时灯全灭时, 允许车辆感到安全时可允许车辆感到安全时可以通行以通行)。根据题目要求列出真值表，如表。根据题目要求列出真值表，如表1.13所示。所示。 (2) 根据真值表画卡诺图，根据真值表