Lesson2 第2章有限元法的直接刚度法-1梁单元

1、知识点：知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法直梁和平面刚架的直接刚度法重点：重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换单元的坐标变换 难点：直接刚度法的计算过程与物理意义难点：直接刚度法的计算过程与物理意义. 关于梁和弯曲的概念关于梁和弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。工程实例F2F1起重机大梁起重机大梁图图1钻床的摇臂钻床的摇臂图图5悬臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式简支梁外伸梁纵向对称面 对称弯曲对称弯曲外力作用于梁的纵

2、向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。1、梁整体上处于静止的平衡状态2、研究变形比较小的情况3、简单载荷下的直梁的扰度、转角计算公式请参考材料力学。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 使微段梁有顺时针转动趋势的剪力、外力为正，使微段梁有顺时针转动趋势的剪力、外力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩、外

3、力反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩、外力矩为正，反之为负。矩为正，反之为负。Q0Q0M0M0剪力、外力的正负符号规定剪力、外力的正负符号规定弯矩、外力与外力偶矩正负符号规定弯矩、外力与外力偶矩正负符号规定2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 (a) 直梁模型直梁模型图图2.1 直梁直梁(b) 直梁的有限元模型直梁的有限元模型以直梁为例来说以直梁为例来说明明有限元法的直接刚有限元法的直接刚度法。度法。如图如图2.1(a)2.1(a)所示所示直梁，已知直梁，已知E E、I I、Z Z、M M，AB=BC=CD=AB=BC=CD=l l，I IACAC=2I=2I，I ICDCD=I=I。2

4、.1.1划分单元划分单元 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按以下原则选取：以下原则选取： 1、杆件的交点一定要选为节点。杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。单元长度不要相差太多。 按照杆件结构划分单元的原则，对图按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分所示

5、结构划分的单元如图的单元如图2.1(b)所示所示 图图2.1 (a) 单元的节点位移 (b) 单元的节点力2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点的节点位移分量有的节点位移分量有2个：挠度个：挠度 和转角和转角 ，一般规定，向上为正，逆，一般规定，向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。），表示节点的节点位移。 （2-1） 图图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分个节点位移分量：、

6、量：、 、 、 ，可用一个列阵表示，式（，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位）称为单元的节点位移列阵。移列阵。 （2-2） Tiiiiiff Tjjiieffifijfjf2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：个：剪力剪力 、弯矩、弯矩 。所以，梁单元上每个节点的节点力有。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用个，用 、 来表示，规定：来表示，规定： 向上为正，向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式（逆时针为正。写成列阵形式见式（2-3），表示），表示 节点的节点力。

7、节点的节点力。 （2-3） 图图2.2(b)所示梁单元共有所示梁单元共有4个节点力分量：个节点力分量： 、 、 、 ，可用一个，可用一个列阵表示，式（列阵表示，式（2-4）称为单元的节点力列阵。）称为单元的节点力列阵。 （2-4） iq iiimqp TjjiiemqmqpimjqjmQMqmqmi2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 梁单元上每个节点的节点载荷有梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力个：横向力 和力偶和力偶 ，一般规定，一般规定， 向上为正，向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式逆时针为正。写成列阵形式见式（2-5），表示），表示 节点的节点载荷。节点的节点载荷。 （2

8、-5） 同理：同理： ZZMM TiiiiiMZMZQ TjjiieMZMZQ（2-6）i2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力，节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力，如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。 （2-7） Tffffffff44332211443322112.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形

9、的前提下，节点力根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系可以表示为：可以表示为： （2-9）写成矩阵形式：写成矩阵形式： （2-10）jjiijjjiijjjiiijjiiiafaafamafaafaqafaafamafaafaq44434241343332312423222114131211jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq444342413433323124232221141312112.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 简写

10、为简写为: （2-11） 其中其中 为单元节点力列阵，为单元节点力列阵， 为单元节点位移列阵，为单元节点位移列阵， 称称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵。系的矩阵。 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 中各元素的物理意义：中各元素的物理意义： (a) 单元的节点位移单元的节点位移 图图2.3 单元刚度矩阵第单元刚度矩阵第1列元素的意义列元素的意义 eeeKp ep e eK eK2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 在在 点固定，令点固定，令 点有如图点有如图2.3(a)所示的位移，即所示的位移，即有有 ，

11、 ， ， 。代入公式（。代入公式（2-10）中，得）中，得 （2-12） 由式（由式（2-12）可知，单元刚度矩阵）可知，单元刚度矩阵 中第一列元素的物理意义：中第一列元素的物理意义： 为了使梁单元产生如图为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点所示的位移，作用在单元节点上的节点力。力。 41312111444342413433323124232221141312110001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaamqmqjjiiji1if0i0jf0j eK2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 的物理意义：单元第个节点位移分量等于的物理意义：单元第个节点位移分量等

12、于1 1，其它节点位移，其它节点位移分量等于分量等于0 0时，对应的第时，对应的第1 1个节点力分量。个节点力分量。 的物理意义：单元第个节点位移分量等于的物理意义：单元第个节点位移分量等于1 1，其它节点位移，其它节点位移分量等于分量等于0 0时，对应的第时，对应的第2 2个节点力分量。个节点力分量。 的物理意义：单元第个节点位移分量等于的物理意义：单元第个节点位移分量等于1 1，其它节点位移，其它节点位移分量等于分量等于0 0时，对应的第时，对应的第3 3个节点力分量。个节点力分量。 的物理意义：单元第个节点位移分量等于的物理意义：单元第个节点位移分量等于1 1，其它节点位移，其它节点位移

13、分量等于分量等于0 0时，对应的第时，对应的第4 4个节点力分量。个节点力分量。 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 中元素中元素 的物理意义：单元第的物理意义：单元第 个节点位个节点位移分量等于移分量等于1，其它节点位移分量等于，其它节点位移分量等于0时，对应的第时，对应的第 个节点力分个节点力分量。量。11a21a31a41a eKlmmla2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 求单元刚度矩阵求单元刚度矩阵 的第一列元素，由叠加原理，可得：的第一列元素，由叠加原理，可得： （2-13） 其中，其中， 、 为图为图2.3（b）所示）所示 单独作用所产生的位单独作用所产生的位移，移， 、 为图为图2.

14、3（b）所示）所示 单独作用所产生的位移。单独作用所产生的位移。 图图2.3 (b) 节点节点i的节点力的节点力 eK01iiiiiifffifiiqif i im2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 教材有误教材有误 可得到可得到 ， ， ， （2-14） （2-15） 解方程（解方程（2-15）得：）得： （2-16） EIlqfii3322iiqlEI EIlmfii22EIlmii32213202iiiiqlmlEIEIqlmlEIEI212113612alEImalEIqii 对梁单元分析受力，如图对梁单元分析受力，如图2.32.3（c c）所示，列平衡方程）所示，列平衡方程 （2

15、-17） 图图2.3 (c) 单元的节点力单元的节点力解方程（解方程（2-17）得）得 （2-18） 2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析00lqmmqqijiji412313612alEImlqmalEIqqiijij2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 中第二列元素的物理意义是：中第二列元素的物理意义是： ， ， ， 时，作用在单元节点上的节点时，作用在单元节点上的节点力，力，如图如图2.42.4所示。所示。 求单元刚度矩阵求单元刚度矩阵 的第二列元素，的第二列元素，由叠加原理，可得：由叠加原理，可得： （2-19）解方程（解方程（2-19）得：）得： （2-

16、20） 图图2.4 单元刚度矩阵第单元刚度矩阵第2列元素的意义列元素的意义 eK0if1i0jf0j eK12023223EIlmEIlqEIlmEIlqfffiiiiiiiiii2212246alEImalEIqii2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 对梁单元分析受力，列平衡方程，解得对梁单元分析受力，列平衡方程，解得： （2-21） 同理，可求出单元刚度矩阵同理，可求出单元刚度矩阵 中的第三、四列元素，从而得到中的第三、四列元素，从而得到单元刚度矩阵单元刚度矩阵 。 （2-22） 4232226alEImalEIqjj eK eK 222232223232223234443424134

17、33323124232221141312114626612612264661261246266126122646612612lllllllllllllEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIaaaaaaaaaaaaaaaaKe2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 从式（从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵）可以看出，单元刚度矩阵 是一个对称矩阵，是一个对称矩阵，即即 。 将单元刚度矩阵将单元刚度矩阵 的公式，即式（的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁），应用于三个实际的梁单元，如图单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力

18、和节点位移的关系分别所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别见式（见式（2-23）、（）、（2-24）和（）和（2-25）。 图图2.5 三个单元的受力图三个单元的受力图 eKjiijaa eK2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 （2-23） （2-24） （2-25） 22112222312121111462661261226466126122fflllllllllllllEImqmq33222222323232222462661261226466126122fflllllllllllllEImqmq4433222233434333346266126122646612612ffll

19、lllllllllllEImqmq2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 单元的节点力和节点位移的关系，通常采用分块的方法表示，单元的节点力和节点位移的关系，通常采用分块的方法表示，如如2号单元的节点力和节点位移的关系见式（号单元的节点力和节点位移的关系见式（2-24），可表示为如下），可表示为如下形式：形式： （2-26） 3223323222322232322KKKKlEIpp2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析2.1.3 建立节点平衡方程式建立节点平衡方程式 取图取图2.1(b)中各节点为研究对象，如图中各节点为研究对象，如图2.6所示，列平衡方程式：所示，列平衡方程式： （2-27）

20、 图图2.6 各节点的受力图各节点的受力图00MFy2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 选取节点选取节点1为研究对象，分析受力，列平衡方程式（为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得），解得 （2-28） 选取节点选取节点2为研究对象，分析受力，列平衡方程式（为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得），解得 （2-29）)2646(2)612612(2222121311122113111llfllflEImMlflflEIqZ)2646(2)4626(2)612612(2)612612(23232223222121322122332232211322122llfll

21、flEIllfllflEImmMlflflEIlflflEIqqZ2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 同理，分别选取节点同理，分别选取节点3、节点、节点4为研究对象，分析受力，列平衡方程为研究对象，分析受力，列平衡方程式（式（2-27），解得），解得 、 和和 、 ，整个结构共得到，整个结构共得到8个平个平衡方程，称为有限元的基本方程，写成矩阵形式为：衡方程，称为有限元的基本方程，写成矩阵形式为： （2-30） 简记为简记为 （2-31）3Z3M4Z4M443322112222222222223443322112330000363600003243626003636612612000026

22、446626006126612126120000264600006126122fffflllllllllllllllllllllllllllllllllllllEIMZMZMZMZ KQ 2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 其中：其中： 整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束反整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束反力）；力）； 整个结构的节点位移列阵；整个结构的节点位移列阵； 结构的整体刚度结构的整体刚度矩阵，又称总刚矩阵。矩阵，又称总刚矩阵。整体刚度矩阵具有下列性质和特点：整体刚度矩阵具有下列性质和特点：对称性：对称性： 。奇异性：奇异性： ， 不存在，这是因为尚未加入边界约束条件

23、之前，不存在，这是因为尚未加入边界约束条件之前，整个系统可以作刚体运动，因而位移不是唯一的。只有加入边界约束整个系统可以作刚体运动，因而位移不是唯一的。只有加入边界约束条件后，约束了结构的刚体位移，才能使条件后，约束了结构的刚体位移，才能使 成为正定矩阵，从而得成为正定矩阵，从而得到位移的唯一解。到位移的唯一解。稀疏性：整体刚度矩阵中非零的元素往往分布在对角线主元素的邻近，稀疏性：整体刚度矩阵中非零的元素往往分布在对角线主元素的邻近，呈狭长的带状分布，这是因为任一节点只与围绕它的相连的单元发生呈狭长的带状分布，这是因为任一节点只与围绕它的相连的单元发生联系，而其他单元的节点位移不会引起该节点处

24、的节点力，所以整体联系，而其他单元的节点位移不会引起该节点处的节点力，所以整体刚度矩阵的每一行中会有大量的零元素。结构的节点数越多，整体刚刚度矩阵的每一行中会有大量的零元素。结构的节点数越多，整体刚度矩阵的这个特点就越明显。度矩阵的这个特点就越明显。主对角线上的元素恒为正。主对角线上的元素恒为正。 Q KjiijKK0K 1K K2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 叠加法形成整体刚度矩阵的具体步骤如下：叠加法形成整体刚度矩阵的具体步骤如下： 1）将单元刚度矩阵）将单元刚度矩阵 写成分块形式写成分块形式 （2-32）其中：其中： 单元号；单元号； 、 单元的两节点的编号；单元的两节点的编号；

25、 单元单元在节点在节点 的节点力向量；的节点力向量； 节点的节点位移向量；节点的节点位移向量； 单单元上，元上， 节点单位位移在节点单位位移在 节点引起的节点力向量。节点引起的节点力向量。 1号单元：号单元： （2-33） 2号单元：号单元： （2-34） 3号单元：号单元： （2-35） eKjiejjejieijeiiejeiKKKKppeijeipeiiieijKeji211221211121111211KKKKpp322332322232222322KKKKpp433443433343333433KKKKpp2 2）将整体刚度矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的节点数）将整体刚度

26、矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的节点数）4321444342413433323124232221141312114321KKKKKKKKKKKKKKKKQQQQ （2-362-36） K 2222222222223344343334333233232223222122121112111444342413433323124232212141312112330000363600003243626003636612612000026446626006126612126120000264600006126122000000lllllllllllllllllllllllllllllllllll

27、llEIKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK3 3）叠加形成整体刚度矩阵）叠加形成整体刚度矩阵 （2-37）2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析2.1.4 求解有限元基本方程求解有限元基本方程 分析图分析图2.1所示梁结构的边界约束条件，可以得出结构的位移边界条件所示梁结构的边界约束条件，可以得出结构的位移边界条件为：为： ， 载荷边界条件为：载荷边界条件为： ， ， 。 将边界约束条件代入有限元基本方程（将边界约束条件代入有限元基本方程（2-30），得），得 （2-39） 对式（对式（2-39）求解，可以求得节点的）求解，可以求得节点的未知位移值未知位移值： 将求得的

28、节点未知位移值回代入式（将求得的节点未知位移值回代入式（2-38），可求得节点的未知载荷值：），可求得节点的未知载荷值： 0141ff0433MZMZZ 2mM 2443322112222222222223443322110002330000363600003243626003636612612000026446626006126612126120000264600006126122000fffflllllllllllllllllllllllllllllllllllllEIMZMZmMZZMZ2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析2.1.5 举例举例例：如图例：如图2.7（a）所示梁，已知）所

29、示梁，已知 、 、 、 ，求，求 截面的转角及约截面的转角及约束力。束力。（a） 直梁模型直梁模型图图2.7 直梁直梁EIwLB2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析解：（解：（1）划分单元，对单元和节点进行编号，如图）划分单元，对单元和节点进行编号，如图2.7(b)所示所示 (b) 直梁的有限元分析模型直梁的有限元分析模型图图2.72.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析（2）分析每一个单元，得到单元刚度矩阵，并写成分块形式。）分析每一个单元，得到单元刚度矩阵，并写成分块形式。 直梁单元刚度矩阵直梁单元刚度矩阵 的公式前面已求得，见式（的公式前面已求得，见式（2-22），由此），由此可以得出可

30、以得出1号单元和号单元和2号单元的单元刚度矩阵号单元的单元刚度矩阵 和和 （2-40） （2-41） eK 1K 2K 12212111211122223146266126122646612612KKKKLLLLLLLLLLLLLEIK 233232223222222232222321612812121212128121612121212128242622262612261222262426261226122KKKKLLLLLLLLLLLLLEILLLLLLLLLLLLLEIK2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析（3）叠加法形成整体刚度矩阵。）叠加法形成整体刚度矩阵。 （2-42） 8/16

31、8/128/88/12008/128/128/128/12008/88/128/1648/126268/128/128/1268/12126120026460061261200222222223233232223222122121112111333231232221131211LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLEIKKKKKKKKKKKKKKKKKK2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析（4）求解有限元基本方程。有限元基本方程为：）求解有限元基本方程。有限元基本方程为： （2-43） 3322112222222233322118/168/128/88/12008/128/128/1

32、28/12008/88/128/1648/126268/128/128/1268/121261200264600612612fffLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLEIMZMZMZ2.1直梁的有限元分析直梁的有限元分析 分析结构的边界约束条件分析结构的边界约束条件 ，位移边界条件为：，位移边界条件为： ，载荷边界条件为：载荷边界条件为： 。将结构的边界约束条件代入有限元基本方。将结构的边界约束条件代入有限元基本方程（程（2-43），得），得 （2-44） 在上式中划掉已知位移所在的行和列，得在上式中划掉已知位移所在的行和列，得 （ 2-45）解之，可得解之，可得 （2-46） 033211fff1222wLM000008/168/1